谈高中数学规范化解题培养的几个有效途径

袁凤祥

[摘  要] 在数学考试中，很多学生常因解答过程不完整、数学语言表达不准确、数学符号应用不规范等情况而造成失分，出现这一现象的主要原因之一就是平时学习时不重视解题规范. 因此，在平时教学中，教师要从审题、转化、解答、书写等多方面入手，培养学生良好的解题习惯，以此促进学习成绩提升.

[关键词] 解题规范;解题习惯;学习成绩

任何学科都是学以致用的，数学学科自然也不例外，对于高中数学而言，其应用性特别强，主要原因就在于我国高中数学的知识体系已经非常严明，学生接受了数学知识后，自身的思维可以得到充分的培养与应用，而运用的主要场所就是解题. 一直以来，我国高中数学解题教学都非常重视过程与结果，强调用严密的推理过程获得正确的结果，这是学生解题的理想状态. 然而有一定经验的高中数学教师都知道，要达成这个理想状态并不容易，更多时候学生会在解题过程中出现各种各样的错误，表现出了非常不规范的一面. 要化解这一问题，就必须走规范化解题的道路.

一般认为，数学是一门严谨的学科，它要求解题时不仅结论叙述要精炼、准确，而且结论的推理过程也要做到严谨、周密. 然在现实教学中，部分学生对解题规范的认识存在一定的片面性，他们认为数学是严谨的，答案是唯一的，若公式、定理、解题思路等应用错误不可能得到正确的答案，结论正确才是最重要的，规范化并不会对解题结果造成影响，只要会就可以了，没有必要“吹毛求疵”;还有学生认为数学学习时间紧，平时学习时有些步骤可以省略，只要高考时能规范化书写就可以了，这样只关注“结果”和“分数”的片面认识影响了解题规范的形成. 要知道，数学是一门逻辑性较强的学科，若没有良好的解题习惯，当学生处理一些简单的问题时也许可以轻松应对，但当面对较为复杂的题目时往往会寸步难行，只有规范化解题才能使解题过程更加完整，使每步的实施都有理有据，使公式、定理的应用更加准确和规范，从而大大减少解题错误，逐渐养成良好的解题习惯和学习习惯，促进学生思维能力提升.

基于解题时出现的一些不规范问题，笔者结合具体实例谈谈几点规范化解题的培养途径，仅供参考.

[?]审题规范化

考前学生听得最多的话可能就是“考试时要认真审题”，看似一句简单的嘱托却透露出了审题的重要性，可以说审题是解题的基础和前提，只有审好了题才能快速、准确地形成解题思路，提高解题效率;只有审好了题才能有效避免烦琐的运算;只有审好了题才能避免因错看信息而造成错解，等等. 因此，学生解题时不能急于求成，要多角度观察题设信息，由表及里地分析出问题的实质，从而使解题过程有条不紊，快速高效.

实际教学中经常出现的问题是，尽管“认真审题”已经磨破了学生的耳朵，但是真正解题时依然会出现很多的审题问题. 说到底，出现这些问题的原因就在于学生审题不规范，因此审题规范化是解题规范化教学中的第一个重要环节. 从经验的角度来看，很多教师追求审题规范化时，会提出“画关键词”等方式;但是事实又表明，尽管有很多学生解题时也能够用画线或者画圈的方法标出题目中的关键词，但是这依然不能支撑起学生解题能力的提升. 这其中的原因又是什么呢？说白了，学生圈画关键词只不过是简单的模仿而已，当学生通过耳濡目染，知道了数学题目中哪些词是关键词后，再用不同的方式标志出来，这时圈画关键词实际上只具其形、并无其神. 很显然，这样的努力并不能促成审题规范化.

那么，具体应如何去审题呢？怎样审题才是规范化审题呢？笔者认为，具体可以从审词、审图、审式等角度进行. 之所以从这几个角度进行描述，是因为一个完整的题目通常是由文字和图形组成的——文字表达的题目信息，通常是数学题目的主干;图形是一种形象化的表达，与文字是匹配的关系. 数学是研究数与形的学科，先用文字来描述数与数之间的关系或提出与数有关系的问题，然后借助图形让学生更好地理解题目中的信息，这是数学题目的大致轮廓，而学生解题通常需要借助公式来完成. 由此可见，审词、审图、审式确实是解答高中数学题目的首要规范. 下面对这三者进行具体的阐述：

1. 审词

学生审题不能走马观花，要学会抓住关键词，从而透过关键词理清题目中的条件和结论，通过对条件和结论的挖掘找到问题的本质，从而高效解决问题.

例1 已知奇函数f（x）满足f（x）=f（-x-2），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则f（1812）的值为________.

解析：首先，当读到f（x）为奇函数时，可以写出f（-x）=-f（x）;其次，题目中的第二个条件为f（x）=f（-x-2），结合f（x）为奇函数这个条件将其转化成f（x）=f（x+4），转化后可以发现函数的周期性，这样运用函数的奇偶性和周期性使问题迎刃而解.

学生解题时不要着急入手，先逐词逐句进行分析，挖掘出题设中隐藏的信息、弄清已知和结论后，再结合解题经验制定合理的解决方案，这样在解题中可以少走弯路，精简计算量，提高解题效率.

2. 审图

图形往往比文字信息更加简洁、直观，认真审图不仅可以帮助学生理清题设中的文字信息，而且可以帮助学生挖掘出隐藏的条件，进而快速形成解题思路. 但是，在解题中也发现，部分学生对图形不够重视，数形结合意识淡薄，仅将图形作为审题辅助工具，而不重视挖掘隐藏其中的特殊关系，未能借助图形将已知和结论建立联系，致使图形的价值未能全部发挥，限制了解题思路的形成.

例2 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°. 如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是________.

解析：由图1可知，，，均为单位向量，∠AOC的大小影响着x+y的值. 本题的求解过程不唯一. 方法1：将向量间的关系2=（x+y）2转化为数量关系，得到（x+y）2-1=3xy，接下來利用基本不等式求解;方法2：结合图形，以O为原点，OA为x轴正方向建立平面直角坐标系，由此得出点A（1，0），B

-，

，设点C（cosθ，sinθ），将x+y的最大值问题转化为三角函数求最值问题.

通过审图更容易发现，，这三个向量的关系，便于学生将向量关系转化为数量关系. 另外，在方法2中，审图后建立了平面直角坐标系，使图形和已知条件联系得更加紧密，利用数形结合思想对条件进行转化，能高效地求解问题.

3. 审式

有很多数学题目中的等量关系是通过关系式的形式给出的，因此，学生要想顺利求解就需要认真分析关系式的特点，理解关系式中各量的本质联系，从而应用公式、定理进行转化，直至顺利求解.

例3 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+=6cosC，则+的值是________.

解析：已知条件+=6cosC中既有边又有角，而+中都为角，因此根据已知和结论的结构特征容易发现解题时需要进行边角转化. 于是根据余弦定理得+==6×，所以a2+b2=. 这样将角转化为边后再代入求解. 当然，求解时也可以用利用正弦定理将式子+=6cosC进行转化，从而将边转化成角. 总之，解题时学生要注意观察式子的结构特征，进而挖掘出关系式的内在联系，结合已有认知进行有效转化.

可见，审题是解题的关键，教师在日常教学中要重视学生审题习惯的培养，引导学生善于抓住关键词，注重挖掘图形中隐藏的条件，利用好关系式中的数量关系，进而让学生通过审题发现问题的本质特征，找到解题方法，从而高效地解决问题.

[?]转化规范化

数学是一个高度重视转化的学科，数学解题过程可以说就是一个不断转化的过程. 转化的过程越简洁、越符合逻辑，描述转化过程所用的数学语言就越规范，那么解题过程通常也就越规范. 实际教学中很多数学教师都知道转化的重要性，但是对于转化规范的教学，教师通常只是将一些标准的解题过程呈现给学生，然后让学生去模仿. 事实证明，这种简单的模仿只能够帮助学生打好基础，要想让转化变成高水平的规范，那就需要关注更多的细节. 笔者梳理了如下几点：

1. 注意条件转化的全面性

数学是一门非常严谨的学科，任何限制条件都可能会影响题目的最终结果，因此学生解题时一定要全面考虑已知条件，充分挖掘已知中的隐含条件，避免因考虑不周而出现不等价转化，最终造成错解.

例4 A={（x，y）

x2+mx-y+2=0，x∈R}，B={（x，y）

x-y+1=0，0≤x≤2}，若A∩B≠，求m的取值范围.

解析：联立方程y=x2+mx+2与y=x+1，得到关于x的方程x2+（m-1）x+1=0，由A∩B≠，原问题等价转化为“方程x2+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解，求m的取值范围”. 解题中，很多学生根据Δ≥0得到m≤-1或m≥3，却忽视了0≤x≤2这一限定条件;也有学生关注到“方程x2+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解”，但是没有找到解题思路，也没有得到答案. 仔细观察方程x2+（m-1）x+1=0，不难得出方程的两根之积xx=1，若将方程转化为函数f（x）=x2+（m-1）x+1，可知函数f（x）恒过点（0，1）. 相信当学生挖掘出这两个隐藏信息后，问题也就迎刃而解了.

为了提高学生解题的准确率，教学中要引导学生用全局的眼光去审视问题，关注题设中的每一个已知条件，从而培养思维的深刻性，提升解题的准确性.

2. 注意转化过程的准确性

在运用公式、定理解题时，学生必须充分考虑其适用条件，切勿机械套用和滥用而造成错解. 为了保证学生应用的准确性，引导学生将公式、定理中的限定条件与已知条件相对比，保证转化的准确性，从而在等价转化的前提下，寻找解题方案.

例5 已知△ABC为等腰直角三角形，直角顶点为C.

（1）在斜边AB上任取一点M，求AM

（2）在∠ACB的内部，以点C为端点任作一条射线CM，与线段AB相交于点M，求AM

解析：这是一道几何概型的概率问题，解题时很多学生分不清这是哪种几何概型而使解题出现了错误. 对于问题（1），在斜边AB上任取一点M，对象的活动范围是线段AB，其以长度为测度;而对于问题（2），在∠ACB的内部，以点C为端点作射线，对象的活动范围显然是在∠ACB的内部，因此其以角度为测度. 本题若想顺利求解就需要厘清构成事件的区域，区分好“长度”和“角度”，再抓住“等可能性”这一特点，顺利求解.

总之，数学解题过程可以看作是一个等价转化的过程，为了保证转化科学合理，学生从审题到解题都要保证过程的准确性，切勿盲目臆造而使解题偏离方向，从而出现错误. 同时，解题时要注意，转化的过程并不是唯一的，因此在日常训练中，应引导学生从不同的角度去思考和解决问题，进而使转化思路更加灵活、高效.

[?]解答规范化

高考中很多学生因书写不规范、数学语言和数学符合应用不准确而造成失分，明明可以得分的题目却因解答不规范而失分实属可惜. 因此在日常教学中，教师必须对学生的步骤书写和数学语言应用做出严格要求，尤其在平时练习和平时考试时一定要严格按照高考的打分标准进行评分，不要因平时的感情而影响学生最终的高考成绩，得不偿失.

应当说提出这一点对于当下的高中数学解题教学来说，有着非常重要的现实意义. 学生解答数学题目的过程，本质上是一个用自己所掌握的数学语言去阐述自己所理解的數学逻辑关系的过程. 学生解题若想获得成功，那就必须满足两个基本条件：一是确保自己所掌握的数学逻辑是准确的，二是保证自己所掌握的数学语言是精确的. 通常情况下，教师教学时重视第一个条件，对于第二个条件的努力往往是一些简单的重复. 而事实上，第二个条件正是当下很多学生解题规范化的瓶颈，要突破这个瓶颈就必须重视解答规范化的教学. 而且特别需要注意的是，解答规范化不能让学生简单地去模仿，而应当着力培养学生运用数学语言的能力，要让学生知道运用怎样的数学语言才能体现出数学概念之间严谨的逻辑关系. 这是学生的内在认识，也是解答规范化的着力点. 例如，求g（x）=sin

4x+

，x∈0

，的最小值时，学生直接写道：“由x∈0

，，所以g（x）的最小值为.”本题求解时学生没有按照规范进行书写，结论的得出显得尤为突兀，这样解题跨度较大，缺少相应的文字说明，证明过程和运算过程严重缺失，即使结论正确也很难得分.

总之，在解题过程中必须严格遵守解题规范，这不仅有利于成绩的提升，而且解题规范化可以使思维过程更加全面，有助于学习能力和解题能力提升. 作为高中数学教师，要认识到数学解题规范化的价值，要能够在解题规范化的过程中发现数学学科的教育价值.