谈谈利用基本不等式求最值的技巧

邱官莲

若a、b>0，则a+b≥2√ab，该式称为基本不等式.运用基本不等式求最值需满足三个前提条件：（1）两数或式均大于0;（2）当两数或式的和为定值时，其积取最大值;当两数或式的积为定值时，其和取最小值;（3）当且仅当两数或式相等时等号成立，简称为“一正”“二定”“三相等”.当直接用基本不等式求最值的条件不具备时，我们可以采用一些技巧将题目条件和目标式变形，以便利用基本不等式求得最值，常用到的技巧有：配凑、“1”的代换、分离常数、换元、消元等。

三、分离常数

有些分式较为复杂，无法直接运用基本不等式，此时不妨将分子配凑成分母的倍数或平方式，将常数和含有变量的式子分离，再通过添项、凑系数，配凑出两式的和，并使其积为定值，即可运用基本不等式解题.

四、换元

有些目标式较为复杂，其中含有根式、绝对值、高次幂，此时可使用换元法，用新变量替换目标式中的部分式子，只要保證变量是正数，并利于计算，便可利用基本不等式来求最值，在换元的过程中，要确保新旧变量的取值范围等价.

五、消元

有些目标式中含有多个变量或参数，无法直接运用基本不等式求最值，我们就可以采用消元法减少变量的个数，简化目标式，构造出使用基本不等式的三个前提条件，即可顺利解题，

总之，基本不等式是求最值的重要工具，同学们要仔细分析已知条件，建立目标式与已知关系式之间的联系，灵活运用配凑、“1”的代换、分离常数、换元、消元等技巧来将目标式变形，以便创造出运用基本不等式的三个条件，从而快速求得最值.

（作者单位：福建省龙岩北大附属实验学校）