揭秘数列考题的信息密码

涂天明

“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层.”今年数学高考试题之难超乎你想象，还上了舆论风口浪尖，颠覆了考生对数学的认知. 有考生戏称上午尚可本手妙手俗手的还还手，下午直接无从下手. 有这么难吗？真是内行看门道，外行看热闹. 作为数学的重要研究对象，数列的定位一直很明确，数列是特殊的函数，是离散函数. 它具有函数的属性，离散函数的图像是一些离散的点，它不连续但可数. 研究数列既有利于研究其它函数，又可以解决一些日常生活中的离散型模型的实际问题. 从内容看，数列的概念有直观想象与数学抽象，根据数列的前几项归纳出其通项公式，但要严谨是需要用数学运算与逻辑推理证明的，都是基于数学科核心素养展开的. 等差数列、等比数列是重点，按定义-通项公式-前n项和公式顺序研究是正确的，此乃数列之核心与本质，相关数学思想、方法、技巧蕴含其中. 初学就要善于用函数的观点看数列，方能站得高看得远，为后续数学分析中数列极限、级数、p阶等差数列等学习奠定基础.

一、数列考题呈现，体验雾里看花

题目：【2022年全国高考新课标I卷数学第17题】记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，数列{}是以公差为的等差数列.（1）求数列{an} 的通项公式;

（2）证明：++…+<2.

【一般解法】（1）∵a1=1，∴=1，由数列{}是以公差为的等差数列，知=1+=，即Sn=an. 当n≥2时，Sn-1=an-1，于是an=Sn-Sn-1=an-an-1，即an=an-1，即=. ∴=，=，=，…，=，将这些式子叠乘可得，···…·=×××…×==，∵a1=1，∴an=.

（2）由（1）知an=，∴==2（-），

∴++…+=2[（1-）+（-）+…+（-）]=2（1-）<2.

【点拨】国家为了突出高考选拔功能，今年高考数学试题难度偏大，从2021广东省中考数学试题已经露出端倪，难度变大是大趋势. 就本题而言，已知条件确实是意料之外，但就问的方式，还算中规中矩，虽然起点提高了，但毕竟还是基本方法，在情理之中. 等差数列通项公式、叠乘法、裂项求和、放缩法这些在备考时都是会重点关注的，不容忽视的是数学运算大且要求高，所以复习备考还需把握数列的核心与本质，提高数学运算能力也是基于数学核心素养的策略.

【优美解法1】（1）∵a1=1，∴=1，由数列{}是以公差为的等差数列，知=1+=，即Sn=an（到这里注意了，这是一个Sn与an的混合关系式，老师通常会告诉考生，要么化为an的递推关系，要么化为Sn的递推关系，当然也可化为Sn的递推关系），当n≥2时，Sn=an=（Sn-Sn-1），即Sn=Sn-1，即=. ∴=，=，=，…，=，将这些式子叠乘可得··…=×××…×==，∵S1=1，满足公式，∴ Sn=，∴an=Sn=·=.（后面略）

【点拨】本解法同一般解法对比，有点雾里看花的感觉. 同宗同源，本质相同，寻根溯源，都源自一个Sn与an关系式：an=S1，n=1

Sn-Sn-1，n≥2在学数列的概念时就会接触到. 等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式、数列求和都是核心内容，但本题切入到关于Sn与an的混合式Sn=an时，惯用的方法是化为通项an或前n项和Sn的关系式，均能上岸求出数列{an}的通项公式，第（2）小题裂项求和再放缩基本就算一马平川.

【优美解法2】（1）∵a1=1，∴=1，由数列{}是以公差为的等差数列，知==1+=，∴=1，即a2=3，同理=+=，∴a3=6，=+=2，∴a4=10.（这样规律就出来了，站在老师角度看，这显然是二阶等差数列）

∴a1=1

a2-a1=3-1=2

a3-a2=6-3=3

a4-a3=10-6=4

………

an-an-1=n

于是an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=n+n-1+…+2+1=，

即数列{an}的通项公式为an=（后面略）.

【點拨】云开雾散却晴霁，清风淅淅无纤尘.从过程看，根据递推关系先计算出数列的前4项：1，3，6，10，容易发现是二阶等差数列（通项公式是关于的二次函数式），根据前4项归纳出一个通项公式但不严谨. 新版教材选择性必修第二册P15页例2就是此类题，体现归纳推理. 另外，新版教材选择性必修第二册P13—P14等差数列的通项公式的导出用了“归纳可得”此类措辞，足见其合理性.云开雾散，为求严谨，采用叠加.

【优美解法3】（1）参照优美解法2，先计算出数列的前4项1，3，6，10，这样规律就出来了，a1=1=，a2=3=，a3=6=，a4=10=，于是猜想公式为an=（?），下面用数学归纳法证明：

1°n=1时，a1=1，=1，公式（?）成立.

2°设ak=，∵Sk+1=ak+1，ak+1=Sk+1=Sk+ak+1=ak+ak+1=·+ak+1，解得ak+1=，即ak+1=，即n=k+1时，公式（?）成立. 根据1°2°?n∈N?，公式（?）均成立. 后面略.

【点拨】用数学归纳法证明数列问题体现的是归纳推理，非常契合数列中的思想方法. 教材通过多米诺骨牌全部倒下的过程和证明一个数学问题过程的类比分析，揭示了数学归纳法的原理. 虽然数学归纳法是选学内容，着眼于后续学习，学有余力的考生很有必要学习它.

【优美解法4】（1）参照优美解法2，先计算出数列的前4项1，3，6，10，换个角度看规律，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4，…当n≥2时，an=an-1+n，于是叠加得公式an=（?），下面用数学归纳法证明：

1. n=1时，a1=1，=1，公式（?）成立.

2. 设ak=，n=k+1时，ak+1=ak+k+1=+k+1==，即n=k+1时，公式（?）成立. 根据1°2°?n∈N?，公式（?）均成立. 后面略.

【点拨】用数学归纳法证明同一个公式，为什么优美解法4比优美解法3简单很多，本解法更加优美呢？关键点就是本解法用的是an=an-1+n，关于an的递推关系而不是关于Sn与an的混合关系式. 借我一双慧眼吧，数列{an}原来是它（一个古老的离散型数列模型）：1刀把一块饼切成两块，2刀最多把一块饼切成4块，3刀最多把一块饼切成7块，…，n刀最多能将一块饼切成多少块？我吃了一块，还剩an块，试求数列{an}的通项公式.

二、核心素养考察，助力高考选拔

今年的数列考题可以用精彩纷呈来形容，加强素养考察，发挥选拔功能. 既研究了嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，又体验了中国古建筑的哲学与美. 既有传统的几个量a1，d，n，an，Sn（a1，q，n，an，Sn）之间的基本运算，又有像北京卷第21题这样比较抽象的创新题，对考生的创新能力要求明显提高. 有基于数学运算与数学建模的题型，又有丰富的文化内涵. 一并与你分享，赏析数列名题，既能抛砖引玉，又能助力下届高考.

1.“情理之中”篇

考生总奢望考题做过或练过，这也符合考生正常心理，但未必妥，面对同一份卷难免大家都会，或都不会，这样的考题区分度受局限.看看下面4例中规中矩，是情理之中的事.

【例1】（2022全国乙卷理科8）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=（ ）

A. 14 B. 12 C. 6 D. 3

【例2】（2022北京6）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}是递增数列”是“存在正整数N0，使得当n>N0时，都有an>0”的（ ）

A. 充分非必要条件   B. 必要非充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

【例3】（2022全国乙卷文科13）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若2S3=3S2+6，则公差d=______.

【例4】（2022全国甲卷理科18）记Sn为数列{an}的前n项和，已知+n=2an+1.

（1）证明：数列{an}是等差数列;（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值.

（答案：【例1】D. 【例2】A. 【例3】2.【例4】（1）略（2）-78.）

2.“意料之外”篇

以下这一组题明显立意抽象，背景丰富，很有创意，有文化禀赋也有美学底蕴. 加上难度加大，对考生能力要求大幅提高，出乎考生意料之外.

【例5】（2022全国乙卷理科4）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1=1+，b2=1+，b3=1+，…，依此类推，其中ak∈N?（k=1，2，…），则（ ）

A. b1

【例6】（2022浙江10）已知數列{an}满足a1=1，an+1=an-a2

n（n∈N?），则（ ）

A. 2<100a100

C. 3<100a100

【例7】（2022全国新课标II卷3）中国的古建筑不仅是遮风挡雨的住处，更是美学与哲学的体现，如图2是某古建筑（图1）的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的脊步比分别是=0.5，=k1，=k2，=k3，若k1，k2，k3是公差为0.1的等差数列，直线OA的斜率为0.725，则k3=（ ）

A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9

【例8】（2022北京15）已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn=9（n=1，2，…），给定下列四个结论：①数列{an}的第二项小于3;②数列{an}是等比数列;③数列{an}是递减数列;④数列{an}中存在小于数列的项. 正确命题的序号是________.

【例9】（2022全国新课标II卷17）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.（1）证明：a1=b1;（2）求集合{k│bk=am+a1，1≤m≤500}的元素个数.

【例10】（2022天津18）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1.（1）求{an}与{bn}的通项公式;

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：（Sn+1+an+1）bn=Sn+1+an+1-Snbn;

（3）求（ak+1-（-1）kak）bk.

【例11】（2022浙江20）已知等差数列{an}的首项a1=-1，公差d>1，记{an}的前n项和为Sn，

（1）若S4-2a2a3+6=0，求Sn;

（2）若对每一个n∈N?，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn，成等比数列，求d的取值范围.

【例12】（2022北京21）已知Q∶a1，a2…an为有穷整数数列，给定正整数m，对任意n∈{1，2，…m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+ j（j≥0）使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+ j =n则称为m-连续可表数列.

（1）判断Q∶2，1，4是否是5-连续可表数列？是否是6-连续可表数列？说明理由;

（2）若Q∶a1，a2，…，ak为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4;

（3）若Q∶a1，a2，…，ak为20-连续可表数列，且a1+a2+…+ak<20求证：k≥7.

答案与提示：

【例5】可用赋值法：取an=1，依题意得b1=2，b2=，b3=，b4=，b5=，b6=，b7=，b8=，…，分子分母都成斐波拉契数列，验算知b4-b7=-=-<0，且故选D.

【例6】提示：∵a1=1，a2=∈（0，1），同理易得an∈（0，1）.

由题意，an+1=an（1-an），即==+，

∴-=>.

即->，->，->，…，->，（n≥2），

叠加加可得-1>（n-1），即>（n+2），（n≥2）

∴an<，（n≥2），即a100<，100a100<<3.

又-=<=（1+），（n≥2）

∴-=（1+），-<（1+），-<（1+），…，-<（1+），（n≥3），

叠加可得-1<（n-1）+（++…+），（n≥3）.

∴-1<33+（++…+）<33+（×4+×94）<39，

即<40，∴a100>，即100a100>.

综上：<100a100<3. 故选：B.

【例7】提示：设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，依题意k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，且直线OA的斜率为=0.725，即=0.725，解得k3=0.9，故选D.

【例8】① ③ ④.

【例9】提示：（1）设{an}公差d，依题意a2-b2=a3-b3，即a1+d-2b1=a1+2d-4b1，即d=2b1，同理a2-b2=b4-a4，即a1+d-2b1=8b1-（a1+3d），即2a1=10b1-4d=10b1-8b1=2b1，∴a1=b1.

（2）由（i）知d=2b1=2a1，∴bk=am+a1?b1·2k-1=a1+（m-1）d+a1=b1+2（m-1）b+b1，即2k-1=2m，又1≤m≤500，即2≤2k-1≤100?2≤k≤10，即满足集合{k│bk=am+a1，1≤m≤500}的元素个数是9.

【例10】提示：（1）an=2n-1，bn=2n-1.（2）依题意易知Sn=n2，Sn+1=（n+1）2，∴（Sn+1+an+1）bn=（（n+1）2+2n+1）2n-1=（n2+4n+2）2n-1=（2n2+4n+2-n2）2n-1=2（n+1）22n-1-n22n-1=（n+1）22n-n22n-1=Sn+1an+1-Snbn，即原式成立.

（3）提示：（ak+1-（-1）kak）bk=222k-1+（8k-4）4k-1=（4n-1）++（-）4n+1=+.

【例11】提示：（1）依题意∵S4-2a2a3+6=0，∴-4+6d-2（-1+d）（-1+2d）+6，解得d=3（∵d>1），∵Sn=-n+）=.

（2）∵an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn 成等比数列，∴（an+1+4cn）2=（an+cn）（an+2+15cn ），即cn2+（-15an -an+2+8an+1）cn +[an +1][2]-anan+2=0，即cn2+（-14an+6an+1）cn +[an +1][2]-anan+2=0，即Δ=（-14an+6an+1）2-4（[an +1][2]-anan+2）=32[an +1][2]-160anan+1+192a

2

n≥0，即[an +1][2]-5anan+1+6a

2

n≥0，∴（an+1-2an）（an+1-3an）≥0，即（（n-2）d-1）（（2n-3）d-2）≥0，當n=1时化为（d+1）（d+2）≥0成立，当n=2时，（-1）（d-2）≥0，∴d≤2. 当n≥3时，化为（n-3）（2n-5）≥0恒成立. 综上知d的取值范围为（1，2].

【例12】提示：（1）对Q∶2，1，4;有1，2，2+1，4，1+4而6不存在，所以Q∶2，1，4是5-连续可表数列，不是6-连续可表数列.

（2）若k≤3，记为a，b，c则a，b，c，a+b，b+c，a+b+c一共才6个和，小于8;k=4时，取Q∶2，4，1，3满足题意，∴k的最小值为4.

（3）若k≤5，则a1，a2，a3，a4，a5最多可以表示（1+2+3+4+5=）15个和值，小于20，不合题意. k=6时，a1，a2，a3，a4，a5，a6最多可以表示21个和，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6<20，即其中必有负数.

1°若a2<2，则a1+a2，a2+a3+a4+a5+a6∈{1，2，…，20}，即a1，a3+a4+a5+a6必有一个是20，若a1是若干个连续数和中最大的，则a1+a2+a3+a4+a5+a6>a1，矛盾. 同理若a3+a4+a5+a6若干个连续数和中最大的，则a1+a2+a3+a4+a5+a6>a3+a4+a5+a6，也矛盾.

2°同理可证a3，a4，a5也不可能为负.

3°若a1<0，则必有a2+a3+a4+a5+a6=20，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6<20，∴19∈{a1+a2+a3+a4+a5+a6，a2+a3+a4+a5，a3+a4+a5+a6}，若a1+a2+a3+a4+a5+a6=19，则a1=-1，若a2+a3+a4+a5=18，则a6=2，此时a3+a4+a5+a6=17，a2=3，则a1+a2=a6=2矛盾. 若a3+a4+a5+a6=18，则a2=2，a6=3，注意到a3+a4+a5=15，∴{a3，a4，a5}={4，5，6}，若a3=4，则a2+a3=6矛盾. 若a4=4，则要么a1+a2+a3=6矛盾，要么a2+a3=a5+a6=8矛盾. 若a2+a3+a4+a5=19，则a6=1，这时a1+a2+a3+a4+a5+a6=18，a1=-2，a3+a4+a5+a6=17，这样a2=3，a1+a2=a6矛盾.

若a3+a4+a5+a6=19，则a2=1，这时a1<0，a1+a2≤0，这样若干个连续数和将不足20，矛盾.

4°由对称性a6<0也不可能，∴k≥7.

三、深挖数列教材，寻觅信息密码

在高考备考这项活动中，如果把考生看成运动员，老师就好比教练. 如果把考生看成演员，老师就是导演. 所以角色定位必须清晰. 区区一个二阶等差数列尚能把考生弄成此样，高数中难啃的骨头何其多？数列的概念是研究的基础，也是重点. 等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式是核心内容，需要重点关注.

1. 从数列教材中提炼数学方法

数列概念的研究方法，详细分析典型实例后，归纳出它的共同特征，由此抽象出数列的一般定义. 然后教科书就会把它和函数关联这也是编者的初衷. 数列是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）的离散函数. 既然是离散函数研究数列就要遵循函数的研究方法，教科书P3到P5分别用表格、图像、通项公式表示数列也是为了契合函数的三种表示方法列表法、图像法、解析式. 与此同时，离散函数有其特殊性，因此还可以用前n项和Sn、递推关系等来表示. 研究过程中，数学方法页蕴含其中，比如：

不完全归纳法就在数列的概念部分根据数列发前几项归纳出其一个通项公式; 叠加法源自等差数列通项公式的推导，叠乘法等比数列通项公式的推导;裂项求和法源自等差数列的定义an+1-an=d（常数）的变形形式=（-）（d≠0）;错位相减法源自等比数列前n项和公式的推导;分段求和法源自一道习题的解法;倒序相加法源自等差数列前n项和Sn公式的推导，即两项和对称性，也叫高斯法;数学归纳法在最后一节，带星号，时选学内容，供学有余力的考生参考.

2. 把等差数列与等比数列提升到数列的核心内容

教科书从一般到特殊，按“概念-实质-应用”的顺序，重点研究了等差数列、等比数列. 而等差数列、等比数列的研究，按“定义-通项公式-前n项和Sn公式”的顺序. 复习时以此为核心内容，注意思想方法的提炼，很多技巧、玄机隐含其中.这里略举几例：

（1）等差数列的定义an+1-an=d，可以变为an+1=an+d或an=an+1-d，说明等差数列{an}中，倒序也是等差数列，且公差为-d.

（2）等差数列的通项公式an=a1-（n-1）d，an=am-（n-m）d可变为d==，这与斜率公式高度契合，即公差的几何意义就是直线y=dx+b（an=a1-（n-1）d）的斜率.

（3）等差数列的前n项和公式Sn=，可以变式为==，即等差数列{an}前n项的平均数等于其首末项的平均数.

（4）等差数列的前n项和Sn=还可优化成S2n-1=（2n-1）an体现出等差中项的性质.

（5）等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d，an=am+（n-m）d与等比数列的通项公式an=a1qn-1，an=amqn-m高度契合（为大学学习近世代数奠定基础）.

（6）等差数列的前n项和Sn=na1+d与等比数列的前n项积[Tn=a1nq][]高度契合，这里还可类比等差数列前2n-1项和S2n-1=（2n-1）an，得等比数列的前2n-1項积T2n-1=an2n-1.

（7）等比数列的前n项和Sn=na1，（q=1）

，（q≠1）以分段形式出现的. 当等比数列的公比q时以字母形式出现时，注意分类讨论. 如此等等，举不胜举. 这些都可以设置问题情境，让考生通过学习与探究去发现，发现的越多，应对高考底气就越足.

四、结束语

命题风格告诉我们，试题难度加大，区分度极强，那种投机取巧靠刷题考高分的时代结束了. 新的课程标准引领下，是开启基于数学科核心素养的课堂教学时代了，能力要求提高了. 数列同其它内容一样，承上启下，要谋求学习模式的改变，变学生被动接受为主动探究. 数列这一部分内容要求考生有一定创新能力，知识的定位、能力的拿捏、创新的要求等就清清楚楚摆那里. 剩下的就是我们如何去面对，如果能以立德树人为导向，基于数学科核心素养开展课堂教学，以课本为本，科学备考. 回归到数学的本质，那一切都在可控状态、情理之中，否则还是走老路吃老本，难免会在你意料之外.

责任编辑 徐国坚