例谈求函数值域的三种路径

吴荣

求函数的值域问题侧重于考查函数的图象、单调性、解析式、定义域.此类问题的难度一般不大，通常要求根据函数的解析式求函数的值域，函数的解析式不同，其求值域的途径也不同.本文主要谈一谈求函数值域的三种路径，

一、数形结合

在解答函数问题时，借助函数的图象来分析问题，往往能有效提升解题的效率.在求函数的值域时，可根据函数的解析式画出函数的图象，或根据代数式的几何意义绘制出相应的几何图形，通过分析图象或图形中点、线的位置关系，找出临界的情形，从而求得函数的值域.

在采用数形结合法求函数的值域时，要深入挖掘代数式的几何意义，将其进行适当的变形，使其与直线的斜率公式、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、圆锥曲线的方程等靠拢，据此画出几何图形，通过数形结合求得函数式的最值.

二、采用反函数法

利用反函数法求函数的值域，需根据函数的解析式求得其反函数，即将x、y的位置替换，用y表示出x，那么原函数中y的取值范围即为反函数的定义域.通过求反函数的定义域，进而求得函数的值域，

该函数式较为复杂，直接求其值域较为困难，于是采用反函数法，求其反函数，根据对数函数的定义求得函数的定义域，进而得到函数的值域，

三、换元

对于一些较为复杂的函数式，通常可采用换元法来求函数的值域.可将函数式中频繁出现的式子、绝对值内部的式子、根号下的式子用一个新元替换，以便去掉绝对值符合、根号，将函数式简化，求得换元后的函数式的取值范围，即可求得函数的值域，

运用换元法求函数的值域，关键在于选取合适的代数式进行换元，在换元的过程中，要确保自变量的取值范围保持不变，

求函数值域的途徑很多，除了上述三种途径，还有利用判别式法、分离常数、利用函数的单调性等，在求函数的值域时，同学们要学会仔细分析函数式的结构特征，将其进行适当的变形，通过换元、构造几何模型、求其反函数，来求得函数的值域.

（作者单位：江苏省如皋市第二中学）