绝对值概念及其应用的教学思考

2022-05-30赫秀辉

数学教学通讯·初中版 2022年7期

赫秀辉

[摘要] 绝对值作为初中数学的基本概念之一，在数学中具有广泛的应用. 作为初中数学起始章节的重要内容，是教学的难点. 文章从概念本质和概念应用两个角度来阐述对这部分内容的教学思考.

[关键词] 绝对值;概念;教学;解题

绝对值是初中数学中最基本的概念之一，它是以数轴作为桥梁，利用“距离”这个基本的几何量来定义的. 绝对值的概念是有理数一章中教学的难点，同时也是学生学习的难点，因此教师有必要围绕概念的教学进行深入的考量，从概念的理解与应用两个方面有效实施教学.

对绝对值概念的理解

1. 从定义看概念的教学

在教材中，绝对值是以数在数轴上的点与原点的距离来定义的，即用“距离”来定义绝对值，这体现了绝对值的本质. 对学生而言，借助数轴理解绝对值的定义，是直观而容易的. 然而，教材配置的练习中缺少用绝对值的几何意义解决问题的题目. 既然是从几何角度定义的，应该让学生通过解决问题充分体会这一本质.

教材对于绝对值的代数意义，只用“由绝对值的定义可知” ，并且分为三类情况来表述，形式上使用了分类思想. 事实上，一个数的绝对值仍然是一个数，只是依据数的不同属性得到不同的值，它应是一个完整的数. 因此，用一个式子来表达更准确，即应该表示为a=a

（a>0），

0（a=0），

-a（

a<0），这样的表达有利于学生完整理解概念，并且整个表达形式与高中相关问题的表达形式是一致的.

值得注意的是，绝对值的代数意义既是从代数的角度表达绝对值，把绝对值作为一个完整的“数”来理解，也给出了求一个数绝对值的具体方法. 它是学生在解题中常用的方法，因此不能忽视它.

2. 从定义看知识的完善

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：对数学基础知识的教学，不但要注重知识，还要注重知识的“生长点”和“延伸点”，注重知识间的逻辑联系，使学生会把局部数学知识置于整体知识体系中，从而加强对数学的整体把握和宏观认识. 绝对值作为一个数学概念，不是孤立的，它是数学概念中的一个有机部分，也是学习理解其他数学知识的工具. 在教学中，教师要引导学生联系前面的内容，帮助学生建立知识间的联系.

绝对值的概念是建立在数轴和相反数的基础上的. 一个数和它的绝对值具有确定的对应关系：一个数确定了，它的绝对值是唯一确定的数. 反之则不然，a确定了，对应的数a也是确定的，但可能不唯一.具体地说，若绝对值是正数，对应的数a有互为相反数的两个值. 若绝对值是零，对应的数a是零. 有的学生对于“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”记得很熟，但是往往在已知绝对值求字母的取值时漏掉一种情况，缺乏对这种对应关系的理解. 在教学中，应该注意强化学生这种对应的理解.

教学中要引导学生在绝对值的学习中进一步理解有理数的意义，即利用绝对值来说明正数、负数的意义. 一个数由符号和绝对值构成，例如-3，“-”号表示这个数的属性，即表示一个负数，而3表示这个数的绝对值. 从数轴上看，“-”号表示这个数的位置在原点的左侧，3表明它与原点的距离是3个单位长度. 这样的理解有助于学生对于一个数形成完整的认识，也有助于建立知识之间的内在联系. 此外，绝对值符号a中的a既可以是一个具体的数，也可以是一个代数式. 在后面学习整式、方程以及不等式的相关内容中，也需要注意深化对a的理解和应用.

绝对值概念的应用

促进深度思维的数学概念教学，关键在于深层理解概念并能迁移运用其解决问题. 绝对值的定义是概念，也是方法，而且非常明显的具有代数和几何两种意义. 绝对值综合问题的解决应紧紧围绕概念进行.

1. 代数意义的理解

为了加深对概念本身的理解，化简含有几个绝对值符号的代数式，是常见的题目，解决这类问题的常用方法是利用绝对值的代数意义，将绝对值符号化去，将其转化为不含绝对值的问题.

例1 （化簡绝对值）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，化简：a-b+a+c+c-b.

解答由 a，b，c在数轴上的位置可知 a<0，b<0，c>0，且a

上面的问题是利用数轴上数的位置确定了数的正负，然后再利用绝对值的代数意义去掉绝对值符号，属于概念的直接应用. 对于含有字母的问题，仅从数的角度去理解即可.

从概念可以得出，一个非零数和它的绝对值或是相等或是互为相反数，因此它们的商等于1或者是-1. 据此可以设计下面的问题.

例2如果abc<0，求++的所有可能值.

解答因为abc<0，所以a，b，c中有两个大于0，一个小于0或三个都小于0. 所以原式 =-3或1.

2. 几何意义的应用

从绝对值的定义我们知道，a的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离. 相应地，x-a的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离. 在这个意义下，某些问题很容易得到解决.

例3已知x-2=1，求x的值.

解答（从几何意义去理解）方程x-2=1表示在数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离是1，于是容易求出数x的值为1或3.

当然，此题也可以把x-2看作一个数，再根据绝对值的意义直接得到关于x的一元一次方程，这种方法可以在后面方程学习中得以深化. 此题看似是方程问题，但是在第一章中的学习中，用绝对值的几何意义去解决更符合学生认知，是对概念的进一步深化. 按照这个思路，求x-2>1或是x-2<1中未知数x的取值范围，对学生而言也不是难事.

例4求y=x-2+x+3的最小值.

解答方法一（利用绝对值的几何意义），x-2的几何意义是数轴上表示x的点M与表示2的点A之间的距离. x+3的几何意义是数轴上表示数x的点M与表示数-3的点B之间的距离. 要求y的最小值，其实就是求这两个距离之和的最小值. 显然，当点M在点A与点B之间时，这个和最小，且最小值为5.

方法二（依据绝对值的代数意义，使用“零点分段法”化简x-2+x+3，得到一个分段函数，再根据函数的性质得到最小值），因为当x=2时，x-2=0，当x=-3时，x+3=0，于是我们可以用-3和2将x的取值分为三段，得到分段函数y=-2x-1（x≤-3），

（-3

2x+1（x≥2），于是可求出這个函数的最小值为5.

上述两种方法都是依据绝对值的意义，显然几何意义对于解决此类问题更简捷. 更能体现出概念本质. 根据绝对值的几何意义容易得到：

当且仅当a≤x≤b时，y=x-a+x-b（a≤b）取得最小值. 进一步推广：

当a≤x≤a时，

x-a+

x-a+…+

x-a（n为正整数，a≤a≤…≤a）取得最小值，即当零点个数为偶数时，x取最中间两个零点间的任何一个数时，y都可取得最小值.

当x=a时，y=