运用反证法解答证明题的步骤

吴青青

证明题经常出现在各类试题中.此类问题的命题方式多种多样，通常可采用分析法、综合法、换元法、数学归纳法等进行求证.当遇到正面的情况较多、反面的情况较少，或正面的情况较为复杂、反面的情况较为简单的证明题时，采用反证法来求证往往比较有效.反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同，即原命题和原命题的否定是对立的，当原命题为真时，则原命题的否定为假;原命题为假，则原命题的否定为真.

运用反證法解答证明题的步骤为：

1.先假设原命题不成立，即在原命题的条件下，结论不成立;

2.根据题目所给的条件确定要证明的方向和目标;

3.将假设当作已知条件，选择合适的公式、定理、定义、性质等进行推理、运算;

4.推出与已知条件或相关的公式、定理、定义、性质等相矛盾的结果，判定假设不成立，从而间接地证明原命题成立.

下面，我们结合几个例题来进行探讨.

本题若从正面求解，需分析多种情况：a，b，c，d 中有1个是负数;a，b，c，d 中有2个是负数;a，b，c，d 中有3个是负数;a，b，c，d 中有4个是负数，而其反面情况只有一种：a，b，c，d 都不是负数.采用反证法，从问题的反面入手进行求证，这样能简化解题的过程.

本题若直接求证较为困难，于是采用反证法，假设过直线外一点有2条直线与这条直线平行，然后根据公理：过同一点的2条直线相交，推出与其相矛盾的结论，从而证明假设不成立.

要直接证明 a2+ a <2与 b 2+ b <2不可能同时成立，较为困难，于是转向问题的反面：a2+ a <2与b 2+ b <2同时成立，采用反证法来进行证明.先假设 a2+ a <2与 b 2+ b <2同时成立，再两次运用基本不等式和不等式的传递性证明假设不成立，从而证明原命题成立.

当题中已知条件不足或正面的情况较复杂时，可运用反证法求证，通过假设原命题的结论不成立，分析问题的反面情况，从而使问题轻松得解.运用反证法证明命题的关键是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立.在作出假设时，必须注意以下两点：（1）分清命题的条件与结论，并明确结论与假设之间的逻辑关系;（2）结论的反面常常不止一种情形，需在提出假设后，分别对各种情况进行归纳，做到无一遗漏.