如何用Euler公式推导与证明三角函数公式

胡长好

三角函数中的基本公式共有数十个，其关系错综复杂，很多同学难以理清其关系，只能靠机械记忆，来熟悉、掌握这些公式.对此，笔者尝试用 Euler 公式的极简形式：e iα= cos α+ isin α（其中i ）2=-1及同角的三角函数关系式 cos 2α + sin2α=1推导出三角函数的基本公式，以便帮助大家从一个新的角度理解并掌握三角函数的基本公式.

若 x 为实数，则函数 e x 的 Maclaurin 级数展开式为：

这就是著名的 Euler 公式.

在 Euler 公式中，若α=π，则 e iπ= -1，其中 e 和π为超越数，i 为虚数单位，这个公式将数学中最重要的四个常数，以极其简洁的方式联系在一起.

下面用 Euler 公式来推導与证明三角函数中的一些基本公式.

1.两角和公式：

证明：

2.两角差公式

证明：

3.二倍角公式

证明：

4.万能公式：

证明：

5.三倍角公式：

证明：

6. De Moivre 公式：

证明：

7.半角公式I：

证明：

8.半角公式II：

证明：

9.诱导公式I：

证明：

10.诱导公式II：

证明：

11.诱导公式III：

证明：

12.积化和差公式：

证明：

13.和差化积公式：

证明：

14.辅助角公式：

证明：

用Euler公式来推导与证明三角函数公式的过程比较简洁，其思路也比较简单.在推导和证明的过程中，同学们要注意选择合适的公式，将Euler公式与三角函数中的基本公式关联起来，合理进行推理、运算.