几类线性规划问题的解法分析

魏上茗

线性规划问题经常出现在高考数学试题中.此类问题通常会要求同学们从实际问题中抽象出二元一次不等式，在了解二元一次不等式的几何意义的基础上，画出二元一次不等式组所表示的平面区域，并求出最优解.但问题中的目标函数经常会有所变化，常见的形式有直线型、分式型、平方型，且解法各不相同.下面结合实例，谈一谈三类线性规划问题的解法.

一、直线型目标函数

直线型的目标函数一般形如 z =ax + by（ab ≠0），这类问题通常要求根据二元一次不等式组，求目标函数 z =ax + by（ab ≠0）的最值.求解此類线性规划问题，一般需将函数 z =ax + by 转化为直线的斜截式方程：y =-  x + ，根据二元一次不等式组画出可行域后，在可行域内讨论直线的截距的最值.通过求直线的截距的最值来间接求出 z 的最值.

由于直线的截距有正有负，所以取最值的情形有所不同.当 b >0时，截距 z b 取最大值，此时 z 也取最大值，当截距 z b 取最小值时，z 也取最小值;当 b <0时，截距 z b 取最大值，此时 z 取最小值，当截距 z b 取最小值时，z 取最大值.

例2.某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg，其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅能保证供应谷物饲料50000kg，问怎样混合饲料，才使成本最低.

解：

本题是一道实际应用问题.解答此类线性规划问题，需首先仔细读题，根据题意设出变量，建立关于变量的不等关系式以及目标函数.而本题中的目标函数为直线型，所以需将其转化为直线的截距式，在可行域内寻找直线的截距取最小值时的点，即可解题.一般地，线性目标函数的最优解一般会在可行域的顶点或边界处取得，我们可以重点研究可行域的顶点或边界上的点.

二、分式型目标函数

分式型目标函数一般形如 z = y - b x - a .求解此类线性规划问题，需根据目标函数的几何意义：已知点（a， b）与可行域内的点（x，y）连线的斜率.当斜率取最大值时，z 取最大值;当斜率取最小值时，z 取最小值.而直线的斜率 k = tana 受倾斜角 a 影响：（1）当倾斜角 a 为锐角时，斜率 k 大于0，a 越大，斜率 k 越大;（2）当倾斜角 a 为钝角时，斜率 k 小于0，且 a 越大，斜率 k 越大.在求斜率的最值时，需在可行域的第一、二象限内讨论直线的倾斜角的变化情况.

本题的可行域在第一象限，所以只需讨论直线的倾斜角在（0，90°）范围内的变化情况，可将直线 y = zx 绕着原点旋转，在可行域内找出直线的倾斜角最大或最小，即斜率取最值时的点，即可解题.

三、平方型目标函数

平方型目标函数形如 z =（x - a）2 +（y - b）2，其几何意义是可行域内的动点（x，y）与已知点（a，b）之间的距离.可根据两点间的距离公式或点到直线的距离公式来求目标函数的最值，需要注意的是最终结果应该是距离的平方.

本题中的直线2y -1=0与 x 轴平行，而点（-1，0）在 x 轴上，可根据平行线之间距离的性质求目标函数的最小值.

一般地，根据代数式的几何意义可知平方型目标函数 x 2+ y2表示点（x，y）与原点（0，0）间的距离，平方型目标函数（x - a）2 +（y - b）2表示点（x，y）与点（a，b）间的距离.在求目标函数的最值时，只需明确其几何意义，根据平面几何中的公式进行求解即可.

可见，虽然目标函数的形式不同，但是其求解的思路基本一致：第一步，根据题意构建二元一次方程组和目标函数;第二步，根据约束条件画出可行域;第三步，判定目标函数的类型：直线型、分式型、平方型，明确其几何意义;第四步，结合平面几何知识，寻求动直线的纵截距的最值、动直线的斜率的最值、动点与已知点之间的距离的最值;第五步，求得目标函数的最值.解答线性规划问题，关键要会根据二元一次不等式组画出可行域，明确目标函数的几何意义，通过数形结合，求得问题的答案.