基于逻辑推理能力发展的单元教学设计

黄佩

[摘  要] 《普通高中数学课程标准（2017年版）》（简称“新课标”）提出：教师不仅要关注课堂教学目标，还要注重单元教学目标的设计，这对促进学科核心素养的发展具有重要影响. 文章以“正弦函数、余弦函数的单调性”教学为例，具体从“理清结构，提出问题”“明晰策略，类比研究”“单元联系，化归转化”“单元梳理，拓展延伸”等方面展开论述.

[关键词] 逻辑推理;单元教学;函数

1931年，美国的莫里逊在《中学数学实践》中，首次提出了单元教学法，他认为单元教学是指以学科框架体系内的内容组织进行的教学，它的范围并不局限于教材中所呈现的“知识单元”，还包括以某个主题知识、数学思想方法、基本能力等为主线的教学形式[1]. 而逻辑推理能力作为基本的数学思维方式，是数学学习必备的思维品质，对开发学生智力、发展数学思维以及培养科学精神有着直接影响.

[?]基本理论

逻辑推理是指从一些命题或事实出发，根据一定的规律，推导出其他命题的过程. 包括从一般到特殊（演绎为主）与从特殊到一般（归纳、类比）两类. 逻辑推理过程主要存在以下几个步骤：①发现并提出命题;②了解推理的基本规则与形式;③探索并表征推理过程;④建构知识体系;⑤表达与交流.

钟启泉教授提出：基于逻辑推理能力发展的单元教学实施过程一般遵循“分析、设计、开发、实施与评价”五个步骤，也就是经典的“ADDIE模型”;而后，吕世虎教授在此基础上又进行了补充与完善. 但不论哪种模式的应用，都以下列三个问题为思考方向：教什么？怎么教？成效如何？

教学实践告诉我们，以单元教学模式培养学生的逻辑推理能力，是发展数学核心素养的基础与关键. 相比每节课的课堂教学设计，单元教学有更多的时间与空间调整教学的节奏. 同时，单元设计的注意点有：①设计框架要覆盖基本教学要素，体现出整体性与统一性;②分析应贯穿教学始终，每个分析都要讲究有据可依;③从单元到课时，要有明确的有序性和层次性.

[?]教学设计

1. 理清结构，提出问题

三角函数作为一类特殊的函数，其图像与性质的研究与一般函数图像与性质的研究有着一定的共同点，基本是先对基础的定义进行分析，而后对图像与性质着手研究，两者都存在丰富的逻辑推理过程与内涵. 同样，在单元教学模式下，也是借助图像来反映相关函数的单调性、周期性、对称性等，且研究方法也有高度的相似性.

师：通过之前的学习，大家说说当我们遇到一类新函数时，需要研究它的哪些性质？

生1：奇偶性、单调性、对称性等.

师：很好！关于正弦函数、余弦函数的周期性的研究方法，大家还有印象吗？

生2：我记得是先研究了正弦函数的周期性，在此基础上再研究了余弦函数的周期性.

生3：其实正弦函数、余弦函数的周期性的研究，就是用适当的语言符号来表达图像周而复始的规律. 如诱导公式sin（2kπ+α）=sinα，就是将定义域R上的正弦函数转化成一个周期内（区间长度为2π）的正弦函数.

师：看来大家对正弦函数、余弦函数的周期性已经有了比较深刻的理解，根据以往的学习经验，大家觉得本节课我们会研究什么内容呢？

生4：根据以往的学习经验，我认为本节课应该要根据三角函数图像来探究正弦函数、余弦函数的奇偶性或单调性等方面的知识，而后用规范的语言进行表征.

师：分析得不错，本节课我们着重研究正弦函数、余弦函数的单调性. 按照习惯，我们要先研究哪个函数呢？

生5：先探索正弦函数，而后根据其与余弦函数的联系，拓展到余弦函数的研究上.

此过程，教师从单元结构性的角度进行引导，首先激起了学生的回忆：①正弦函数、余弦函数的定义、图像与周期性等;②一般情况下，研究函数基本会有一个套路，即“定义—图像—周期性”;研究正弦函数、余弦函数的周期性，要经历“正弦函数—某周期上的正弦函数—图像特征—结论”.

以上引导是为接下来研究正弦函数、余弦函数的单调性做铺垫，让学生大概了解接下来要研究的主题与方向. 这种引导方式，蕴含有一般研究结构对特殊问题的引导作用，其中不乏演绎推理、类比、合情推理等逻辑推理过程.

2. 明晰策略，类比研究

纵观整个单元，之前对三角函数的奇偶性、增减性等性质的研究，都富含研究函数性质的通用方法，一般遵循以下四个过程：①观察图像，发现特征;②严谨表达，获得定义;③多方证明，验证性质;④实际应用，解决问题. 这里所研究的三角函数的单调性和学生之前所研究过的其他函数的单调性的方法具有高度一致性.

再将眼光放到小单元来观察，正弦函数、余弦函数单调性的研究与学生之前接触过的三角函数周期性的研究，在方法上是高度相似的. 类比其思想方法，可先观察正弦函数、余弦函数的图像，从增减性的特征出发，尝试用严谨的数学语言进行表征，再利用获得的结论去验证三角函数的增减性，最后应用此性质来解决实际问题.

师：之前我们对三角函数周期性的研究，对本节课正弦函数、余弦函数单调性的研究有什么帮助吗？

生6：从两方面来看：①类比三角函数周期性研究的过程，我们可以从y=sinx的图像周而复始的特点出发，运用诱导公式sin（2kπ+α）=sinα，将正弦函数的单调性简化到区间长度为2π的周期进行分析、研究;②直接观察、分析正弦函数在一个周期（区间长度为2π）内的图像，找出其单调性.

师：很好！你们能找出y=sinx在一个周期内的单调性吗？

生7：在区间[0，2π]内，y=sinx存在三个单调区间，即单调递增區间有0

，2π，单调递减区间为

师：如此来说，y=sinx在0，2π内存在三个单调区间，根据其周期性再获得其他区间上的单调性，虽然具有可行性，但比较麻烦，大家想想是否有其他较简单的方法.

生8：可将y=sinx的变量区间[0，2π]转化为-

，，区间长度同样为2π，但单调区间只剩下了两个，分别在-

，上单调递增，在

，上单调递减.

师：通过怎样的方式能将y=sinx在一个周期上的单调递增推广为整个定义域上的单调递增呢？

生9：结合图像与周期性来分析，比如，把y=sinx的单调递增区间

，往左或右平移2π的整数倍，也就是将单调递增区间

，加或减2π的整数倍即可获得y=sinx所有的单调递减区间.

师：如何表达这些单调递增区间？

生10：将y=sinx在区间

，上的图像往左或右平移2π，可得y=sinx的单调递增区间为2π

+. 以此类推，平移k（k∈Z）个2π，可得y=sinx所有的单调递增区间为2kπ

师：那么y=sinx的单调递增区间是否可以表示为

+呢？

生11：不行，若k≠k，所对应的区间不在同一个周期内，图像就存在有增有减的情况.

师：那么y=sinx所有的单调递减区间又是怎样的呢？该如何表示？

生12：同样借助平移的方式，将y=sinx的单调递减区间往左或右平移整数个2π，可得单调递减区间是2kπ

+，2kπ

+（k∈Z）.

师：现在我们一起来回顾一下，探究y=sinx的单调性的过程为：根据y=sinx的周期性，将研究其单调性的眼光从整个定义域转向周期

，;将得到的单调区间

，或

，往左或右平移整数个2π，即得y=sinx在整个定义域上的单调区间为2kπ

-，2kπ

+（k∈Z）或2kπ

+，2kπ

+（k∈Z）. 这是通过周期性把无限的定义域转化到一个局域周期的过程.

三角函数作为特殊的周期函数，需要着重突出其周期性的研究. 对正弦函数、余弦函数图像的研究，可以借助“诱导公式一”，将实数定义域转化为

，这个局域区间进行分析.

问题：我们该如何利用三角函数的周期性认识三角函数的其他性质？

这是一个将无限研究转化为有限研究的问题，也就是将实数定义域上的正弦函數、余弦函数转化成某个周期上的正弦函数、余弦函数，再去探寻其性质. 充分体现出了函数在一般与特殊之间的转化、类比等逻辑推理过程.

3. 单元联系，化归转化

研究完y=sinx的单调性后，就需要探索类似于y=cosx，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的三角函数了，如此才能体现出学习的完整性，即从简单的正弦函数—余弦函数—一般的正弦型函数、余弦型函数.

师：之前画图研究三角函数的周期性等性质时，都是从y=sinx着手进行的，而后又研究了哪些三角函数？是怎么研究的？

生13：继y=sinx后，一般会研究y=cosx，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）等三角函数的图像与性质. 研究过程中，都是将问题化归成基本的三角函数进行分析的，如y=cosx就是类比y=sinx进行分析的;y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）均通过换元，化归成y=sinx或y=cosx进行分析.

师：这么来看，接下来我们该研究y=cosx，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）等三角函数的单调性了. 现在请大家先思考、再合作，看看能否自主获得y=cosx的单调性.

学生合作学习后获得结论：y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）或[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）;单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）.

师：那么大家能求出y=3sinx与y=sin

2x+

的单调性吗？

生14：类比之前的方法，借助整体思想令μ=ωx+φ，把一般的正弦型函数、余弦型函数化归成基本的正弦函数、余弦函数即可;或借助平移的方式将余弦函数化归成正弦函数进行分析.

……

师：综上所述，你们觉得本节课的单调性学习与之前的函数周期性研究，具有怎样的异同点？

生15：它们的研究过程具有高度相似性，且解决的问题也差不多.

与三角函数图像、三角函数周期性研究方式进行类比，将基本的正弦函数过渡到余弦函数，再到一般的正弦型函数、余弦型函数的研究，这里涉及对研究对象和研究方法的类比，从周期性研究到单调性研究的推理过程，反映出了类比推理法在教学中的重要作用.

同时，在研究三角函数增减性、奇偶性的过程中，常蕴含着重要的整体思想，它能将一般的三角函数如y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的增减性、对称性等的研究，令μ=ωx+φ转化成基本的三角函数如y=Acosμ的研究，从而类比推理到正弦函数、余弦函数的性质.

4. 单元梳理，拓展延伸

通过对以上正弦函数、余弦函数的研究，可见逻辑推理能力在教学中的应用十分普遍. 鉴于此，教师应引导学生站到一个较高的角度去完成单元小结梳理，以深化学生对逻辑推理能力应用的认识与理解，并顺利地将新知建构到认知体系中.

本单元教学，可在最后环节安排探索与发现内容，要求学生根据单位圆中，三角函数线来研究正弦函数、余弦函数的性质，这是用三角函数线研究三角函数性质的方向，对发展学生的逻辑推理能力具有显著的推动作用.

师：根据以上教学过程，大家能对本节课所涉及的知识进行一个梳理吗？（要求涵盖内容、研究途径、关系等）请大家先独立思考，然后以小组合作学习的方式进行讨论分析.

在师生、生生的通力合作下，获得了如图1所示的结论.

师：观察我们所梳理出来的这个关系图，比较、分析研究正弦函数、余弦函数性质时用到的三角函数线这个方法与之前我们所研究的一般方法，在哪些地方有着相似性？

生16：之前我们都是利用三角函数图像来研究正弦函数、余弦函数相关性质的，而这里是用三角函数线来研究正弦函数、余弦函数性质的，都经历了从特殊到一般、由形到数的过程. 同时，三角函数图像和三角函数线都是通过与周期性的类比来分析的，不同周期下的相同的终边也体现了周期性.

师：借助周期性，可将函数单调性的研究转化到一个周期内的分析，那么函数的奇偶性对函数单调性的研究有没有什么帮助呢？

生17：亦可通过对称性特征简化研究过程.

师：非常好！不论是周期性，还是对称性，它们都能简化正弦函数、余弦函数的单调性研究，类比这种研究方法，我们可以将其应用到其他更多的函数研究中.

纵观本单元教学的前后联系，在内容方面，正弦函数、余弦函数的图像源于三角函数线;在方法方面，函数单调性等性质的获得，主要源于对图像的观察.

总之，数学是一门系统性的学科，单元内容间有着千丝万缕的联系. 从单元视角下，通过逻辑推理发现相关内容的性质与内涵，并加以培养与应用，能有效地促进学生形成可持续性发展的能力，为核心素养的形成与发展奠定基础[2].

参考文献：

[1]  章飞，顾继玲. 单元教学的核心思想与基本路径[J]. 数学通报，2019，58（10）：23-28.

[2]  章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续4）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考，2019（28）：7-11.