数缺形时少直观 形缺数时难入微

摘 要：文章围绕2022届高三八省联考中的圆锥曲线大题进行研究，通过不同角度的探究，给出了该问题的5种解题方法，并进一步作了相应的方法总结，然后在课本中找出该题的“题根”，最后对此题还进行了推广拓展和变式探究.

关键词：八省联考;圆锥曲线;解法探究;课本溯源;拓展推广

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0052-05

2022年高三八省联考试卷第21题是一道新颖的解析几何大题，它采用开放性的二选一题型，给了学生很大的自由发挥空间.主要考查了圆锥曲线方程求解、四边形面积最值、三等分点问题，试题稳中求新，体现了考题的基础性、综合性、创新性，考查了学生数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养和关键能力，本文从该题的解法探究入手，然后再回到课本中追本溯源，最后对此题进行一般化推广和变式探究，以期对教学、研究、学习提供帮助.

1 试题呈现

题目（2022年高三“八省八校”联考第21题）已知双曲线Γ：x2a2-y2b2=1a>0，b>0过点

P3，6，且Γ的渐近线方程为y=±3x.

（1）求Γ的方程;

（2）如图1，过原点O作互相垂直的直线l1，l2，分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，点A，D在x轴同侧，请从①②两个问题中任选一个作答：①求四边形ABCD面积的取值范围;②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD方程;若不存在，说明理由.

2 解法探究

探究思路1 （1）题难度不大，略.对于（2）题，选择①，求四边形ABCD面积的取值范围时，其通解通法是使用函数法，考虑利用直线AB的斜率来表示四边形的面积.

探求思路2 如果不建立面积关于直线斜率k的函数，也可以选择用点的坐标来表示面积，即采用点驱动的方法，也可以处理此题.

探究思路5题中直线AB和直线CD都经过原点，这里还可使用极坐标方程来求弦长.

解析5以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设Aρ1，θ，Dρ2，θ+π2，因双曲线极坐标方程为ρ2cos2θ-ρ23sin2θ=1，

3 追本溯源

这道八省八校解析几何大题使用的方法多样，其实课本早有铺垫，它严格地贯彻了源于教材，高于教材的命题原则.它与人教版选修4-4中第15页习题有着很大的相似性：

已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a>b>0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB.

（1）求证：1OA2+1OB2为定值;

（2）求△AOB面积的最大值和最小值.

由此启发我们在教学中要回归教材，一要让教材和教辅资料各尽其责、物尽其用，防止本末倒置;二要重视教材中在知识发生和发展中呈现的那些经典的思维模式;三要注意挖掘教材中例题习题背后广泛而深远的意义，提炼更深层次的公式和结论，使学生深化相关知识.

4 推广探究

经深入思考，通过纵向、横向和逆向的方法进行探究，得到此试题有如下拓展推广结论：

结论1经过原点作两条互相垂直的直线交双曲线x2a2-yb22=1a>0，b>0于四点，则此四点围成的四边形的面积的取值范围是2a2b2b2-a2，+@.

证明以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两条直线交双曲线于A，B和C，D四点，设Aρ1，θ，Dρ2，θ+π2，因雙曲线极坐标方程为

结论4 经过原点作两条垂直的直线交双曲线x2a2-yb22=1a>0，b>0于A，B和C，D四点，并过原点作OE⊥AD，垂足为点E，则 OE必为定值a2b2a2-b2.

事实上，因OE为定值，故点O在直线AD上的射影是以O为圆心，以a2b2a2±b2为半径的圆，这里我们把这个圆命名为双曲线或椭圆的基圆.并且此圆恰为四边形ABCD的内切圆，由此可得下面的结论5：

结论5 已知圆锥曲线x2a2±yb22=1，直线l是圆x2+y2=r2的任意一条切线，与圆锥曲线交于A，B两点，则OA⊥OB的充要条件是r=a2b2a2±b2.

结论6 经过椭圆x2a2+yb22=1a>b>0的左焦点作两条互相垂直的直线交椭圆于A，B和C，D四点，则此四点围成的四边形的面积的取值范围是8a2b4a2-b22，2b2.

题1 （2016年高考全国Ⅰ卷理数20题）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E，设点E轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

题2 （2013年高考Ⅱ卷理数20题）过椭圆x2a2+yb22=1a>b>0右焦点的直线x+y-3=0交椭圆于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12，又C，D是椭圆上两点，且CD⊥AB，求四边形ABCD面积的最大值.

综上所述，解析几何综合题通常基于几何性质或定理出发，通过特殊化，变更条件和结论来命题，特别对椭圆和抛物线的对偶性质，教师要挖掘问题的本质和内涵思想方法，要研究习题的变式推广，发展学生思维;要研究一题多解，培养学生的创新意识.

参考文献：

[1]肖骁.揭开面纱 还原本质——二道高考试题赏析[J].福建中学数学，2014（05）：14-16.

[2] 罗增儒.解题分析——人人都能做解法的改进[J].中学数学教学参考，1998（07）：29-30.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：王东海（1974.12-），男，安徽省肥东人，中学一级教师，从事高中数学教学研究.