探讨有约束条件下水平盘上物体做圆周运动的临界条件

邓柳咏　李广凌

摘 要：在水平面做圆周运动的物体是常见的现象，比如：水平面转弯的汽车，水平转盘上的物体等等，同时，研究匀速转动的水平盘上的物体运动特点也是高考中比较重要的考题设计模型，比如2014·新课标全国卷Ⅰ第20题.在高考复习备考中，加强学生对水平转盘上圆周运动规律的认识是非常必要的.本文通过分析一道关于匀速转动水平盘上物体运动的临界条件来得到一个有用的结论，并探讨可以推广的分析方法.

关键词：临界状态;水平圆盘的圆围运动;系统质心;隔离体

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0110-03

题目 如图1所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量分别为mA和mB的物体A 和B;它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA和RB，且RA

该题目主要是考查有约束条件下匀速转动水平盘的临界状态的分析，解题的关键是判断发生滑动时作离心运动时的状态，究竟是物体A离心运动，从而拉动物体B，还是物体B离心运动，从而拉动物体A.

思路分析 假设两物体刚好发生滑动时，A作离心运动，B作近心运动，列出各自的牛顿第二定律方程，联立解出对应的角速度，并讨论对应的运动状态是否存在.图2

分析过程 假设两物体刚好发生滑動时，由于绳子的作用，A作离心运动，B作近心运动， A和B受到圆盘的摩擦力为滑动摩擦力，分别表示为fA=μAmAg和fB=μBmBg.对A和B受力分析，如图2所示，应用牛顿第二定律：

（1）mARA-mBRB>0，则假设是成立的，得到临界角速度大小表达式为：

讨论 对比③式和⑥式，可以得出下列可以直接应用的结论：

（1）系统刚好发生滑动时，物体的运动状态由mARA-mBRB的数值决定.若mARA>mBRB，则物体A离心运动，从而拉动物体B;若mARA

（2）临界角速度的大小既与系统 “质心”的轨道半径有关，也与接触面的粗糙程度、接触面的正压力有关，可以简单表示为ω=μAmAg+μBmBgr.

应用 如图3所示，匀速转动的水平圆盘上放有质量分别为2 kg和3 kg的小物体A、B，A、B间用细线沿半径方向相连.它们到转轴的距离分别为rA=0.2 m、rB=0.3 m.A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍.g取10 m/s2，现极其缓慢地增大圆盘的角速度，当两物体刚好发生滑动时，圆盘的角速度约为.

解答 由前文分析可知，先找到系统 “质心”的轨道半径r，由于A、B是分布在转轴的同侧，则有系统“质心”轨道半径为r=mARA+mBRB=1.3kg·m，由③式或⑥式，可写出系统的临界角速度大小的表达式为ω=μAmAg+μBmBgr，代入数据可得ω=20013rad/s，约为ω≈4rad/s.

概而论之，对于有约束条件的水平面的圆周运动，通过引入系统 “质心”的轨道半径r，其临界条件可以简单表示为ω=μAmAg+μBmBgr，其中r由mARA和mBRB的数值关系以及A、B两个物体处于转轴的同侧或异侧（相对于转轴的空间位置）共同决定.同时若A、B两个物体处于转轴的异侧，根据mARA和mBRB的数值关系可以简单地判断发生滑动时的运动状态.

深入探讨 回归问题可以知道，上文得到的临界角速度的表达式属于我们常说的“二级结论”.在应用时，“二级结论”有特定的情景要求，使得其适用性受限.为了解决适用性受限的问题，现在利用上文的提到的分析方法来分析水平盘上作圆周运动的其他种情况来来深入探讨一般的分析方法.

如图4所示，粗糙水平圆盘上，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴匀速转动，A的质量为mA，B的质量为mB.已知A、B到转动轴的距离为r，A与B间的动摩擦因数为μAB，B与转台间的动摩擦因数为μ，（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g）.现缓慢地增大圆盘的角速度，请分析需要什么条件才能使A与B保持相对静止.

结合情景观察，可能出现两种不同的运动情景：

（1）物体A和B同时向外作离心运动.

（2）物体A作离心运动，物体B还可以跟随圆盘作圆周运动.

分析方法 隔离分析物体A和B的受力情况，假设可能存在情景（2），列出各自的牛顿第二定律方程组，并结合情景所隐含的数量条件，解出特定的数量关系，并讨论对应运动状态是否存在.解答过程如下：

若物体A作离心运动，物体B还可以跟随圆盘作圆周运动，从动力学角度可得到以下动力学条件：fAB=μABmAg，f<μ（mA+mB）g，结合条件和联立⑦⑧，可得到：此运动状态的动力学条件为：μ>μAB，对应的临界角速度为ω=μABgr.同理可得，若物体A和B同时向外作离心运动，动力学条件和临界角速度分别为：μ<μAB，ω=μgr.联系单个物体在水平圆盘上做圆周运动的情况，上述情况的结论与单个物体的情况是一致的，但对一些学生的理解来说，“叠体型”问题由于有一定的关联性，学生很难理解其中的逻辑关系和深刻的物理含义.经过上述处理后，我们可以知道“叠体型”物体在水平面作圆周运动的临界角速度条件与单个物体是一样的，都可以用公式ω=μgr来描述，而发生相对滑动的物体则由接触面的摩擦因数来决定.

综上所述，通过对物体在水平面上作圆周运动临界条件的分析，可以归纳出分析临界条件的方法，其可以大致分为三大部分：结合观察分析可能存在的运动情况，并写出对应的动力学条件;隔离分析在不同运动情况下各个物体的受力特点，列出对应的牛顿第二定律方程组;联立解出牛顿第二定律方程组，并讨论数量关系的物理意义.将上述方法应用在不同的情景，如“叠体型”和有约束条件的物体.“叠体型”物体在水平面上作圆周运动的问题，虽然物体间相互影响，但其临界角速度还可以简单表达为ω=μgr，且接触面的摩擦因数决定发生相对运动的物体.有约束条件的物体，引入系统 “质心”的轨道半径r，其临界条件可以简单表示为ω=μAmAg+μBmBgr，并分析系统 “质心”的轨道半径r的特点来判断发生相对运动的情景.

参考文献：

[1]温后欣.物体在水平转盘上做圆周运动的临界条件及应用[J].数理化学习（高中版），2021（04）：48-50.

[2] 展宗程.随圆盘做圆周运动问题的教学与拓展[J].物理教学，2019，41（08）：18-20.

[3] 施玉华.物体在水平盘面上的匀速圆周运动分析[J].高中数理化，2018（12）：24-25.

[4] 陈志军.物体随转台做匀速圆周运动问题的教学研究[J].物理教学，2017，39（01）：19-21.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：邓柳咏（1981.12-），男，广东省湛江人，硕士，中学一级教师，从事中学物理教学研究.