从“直观判断”到“逻辑论证”

吴红英

[摘  要] 数学复习课是巩固阶段性学习成果、提升数学能力的重要课型，在复习课中，教师要通过引导学生进行合理猜想、逻辑推理、理性论证，让学生由感性认识上升到理性认识，提升学生的学科综合素养.

[关键词] 直观判断;逻辑论证;数学能力

数学复习课一直是教师较难把握的一类课型，如何提升复习效果，避免“炒冷饭”，让复习课上出新意，上出特点，是他们一直研究的课题.复习课没有固定的教材和习题，也没有新鲜的素材，教师要通过自己的知识体系和理解认识进行教学，帮助学生进行阶段性的复习巩固，提高解题能力，构建知识体系. 在实际教学中，有些教师的复习课只是把知识点进行罗列，然后通过讲题完成复习，学生往往只是得到了零散的知识和会做几道题，那么这一阶段需要掌握哪些数学方法，体会什么数学思想，学生无法感受到. 为此，笔者在复习全等三角形一课时，从数学猜想开始，引导学生一步步探索数学知识的发生过程.

课堂实录

1. 课堂导入

播放视频《有趣的方块》，视频内容介绍：

（1）一个长方形由24块木块组成.

（2）第一步，将左上方的一个木块拿掉，并将右斜方梯形形状的木块移出来.

（3）第二步，移动左边的竖侧方块放到右斜方向空出的位置.

（4）第三步，将第一步拿掉的梯形形状木块放回左侧.

（5）经过移动变化之后的图形仍然是一个长方形.

（6）拿掉一個木块，为什么还是一个长方形呢？

视频连续滚动播放，教室里很安静，学生默默观看. 当第三遍播放结束时，学生开始讨论. 有学生说：好神奇，为什么拿掉一块木块，图形还是没有改变呢？这时有个学生说，如果继续再按照这个步骤做一次，图形还是不变吗？如果这样，那木块永远不会少吗？学生哈哈大笑. 过了一会儿，有一位男生又站了起来，这个图形还是有变化的，它的面积好像变小了. 学生们纷纷动手尝试，确认了这名学生的想法.

师：现在我们用几何画板来演示一下，看一看到底是什么情况.

几何画板展示（如图1所示）完，学生看得更清楚了，这个长方形的长变了.

师：这个神奇的视频告诉我们，有时候“眼见不一定为实”，数学需要用证据来说话，所以有时还需要借助工具以及数学知识来帮助我们去证明.

2. 图形探究

师：老师会一种神奇的证明方法，可以证明任意一个三角形都是等腰三角形或是一个等边三角形.

生：不可能.

师：那我们拭目以待吧.

案例1 如图2所示，画一个三角形ABC，作∠BAC的角平分线AO，作BC边上的中垂线DO，两条线相交于点O，尝试证明AB和AC相等.

生1：由AO是∠BAC的角平分线，所以∠BAO和∠CAO相等，由于OD是BC边上的中垂线，所以OB和OC相等. 由△BAO和△CAO相似，可以证明AB和AC相等.

师：同学们，这位同学分析得对吗？

生2：我认为是错的，因为这个三角形全等的判定依据是错的.

师：那么你有什么办法可以证明AB和AC相等吗？

学生们开始自己思考，自己作图并讨论.

生3：我是通过作辅助线证明的，如图3所示，过点O作OE垂直于AB，OF垂直于AC，垂足分别为E和F，这样可以证明AE和AF相等.

师：怎么证明呢？

生4：由于AO是∠BAC的角平分线，所以∠EAO和∠FAO相等，因为OE垂直于AB，OF垂直于AC，所以∠AEO和∠AFO相等，都为直角. 在△AEO和△AFO中，∠EAO和∠FAO相等，∠AEO和∠AFO相等，因为两个三角形全等，所以AE和AF相等.

师：很好，那么接下来怎么才能证明AB和AC相等呢？

学生异口同声地说，证明EB和FC相等.

师：那么谁来展示一下呢？

生5：因为OD是BC边上的中垂线，所以OB和OC相等，因为OE垂直于AB，OF垂直于AC，所以∠OEB和∠OFC相等，并且都为直角. 在直角三角形BEO和直角三角形CFO中，OE和OF相等，OB和OC相等. 因为直角三角形BEO和直角三角形CFO全等，所以BE和CF相等. 由AE加BE的和等于AB，AF加FC的和等于AC，所以AB和AC相等.

经过学生们的思考和讨论，教师与他们一起复习了判定全等三角形的方法，学生们纷纷表示怀疑，难道真的任意一个三角形都是等腰三角形吗？可是这不可能啊！

师：大家一定会觉得很奇怪吧！那同学们再讨论思考一下，看看是什么问题导致的呢？

生6：老师，我仔细观察了刚才的证明是正确的，只有一种可能就是图有问题.

学生纷纷恍然大悟，肯定问题在这里.学生还纷纷提出了自己的意见，有的说是角平分线的问题，也有的说是中垂线的问题，还有的认为是中垂线和角平分线的交点问题.

师：既然同学们觉得老师的图画得有问题，那么同学们尝试一下，能画出一个标准的图形吗？

3. 操作实践

学生纷纷拿出作图工具开始尝试，教师进行巡课和指导.

步骤：先任意作一个三角形，再作BC边上的中垂线和∠BAC的角平分线.

学生经过自己的实践操作，发现∠BAC的角平分线和BC边上的中垂线的交点不是像课件上显示的在△ABC的内部，而是在三角形的外部.

学生通过自己的实践操作，发现原来问题就在作图上面.看到这个结果，学生终于长舒了一口气.

师：经过刚才的实验，我们是否可以总结这样一个定理，三角形任意边的中垂线与这条边所对的角平分线的交点一定在三角形的外面.

（学生陷入了思考）

生7：老师，我觉得不一定，我们只画了一种三角形，三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，我们必须把每一种都试一下，才能确定刚才的判断能不能成立.

师：好的，那么下面大家分小组进行讨论和交流一下.

生8：我们经过讨论，觉得这个判断是对的，课前的证明是不可能的.

4. 推理论证

学生觉得今天的学习已经告一段落了，教师继续追问.

师：刚才我们只是通过作图发现了结论，但是数学问题我们还需要进行理论证明，如何证明我们的这个结论是正确的呢？

教室里的氛围又安静下来，学生纷纷觉得无从下手.

师：看来这个问题把大家难倒了，如果无法直接证明，我们是否可以换一个角度来解决呢？

生9：我们可以假设交点在三角形的内部，如图4所示，如果是等边三角形，那么角平分线和对边中垂线的交点就在三角形的内部，反之则交点在外部.

（学生纷纷表示赞同）

师：大家觉得他的证明没有问题吗？

学生又開始疑惑了，难道还有问题吗？

生10：我觉得这个图有问题，如果是等边三角形的话，那么这个角的角平分线和对边中垂线的交点应该是重合的，没有交点. 同样等腰三角形也有三线合一的性质，因此，当一个三角形是等腰三角形时，顶角的角平分线和底边中垂线也是没有交点的，当三角形不是等腰三角形时，则满足交点在三角形的外部.

（学生不由自主地发出了感叹声）

师：这节课同学们冲破了错误的理论的重重迷雾，拨云见日，最终获得了正确的答案，在这个过程中，我们不仅学会了作图，复习了全等三角形的相关知识，而且也认识到许多直观的现象不一定是正确的，要用科学的理论进行验证，多思多辨.

反思总结

1. 从直观观察到逻辑论证，培养科学的态度

科学的理性精神可以帮助学生更加客观理性地看待世界，在数学课堂中，学生可以通过观察、实践、思考、内化逐渐形成思考问题的方法和态度. 本课中教师从一个有趣的问题引导学生进入复习，让学生初步认识直观观察的弊端和引入理论证明的必要性. 从最初的感性认识上升到理性认识，学生完成了思维的飞跃，培养了科学的态度.

2. 巧妙设计增加课堂趣味，提升复习效果

复习课不像新授课那样有新鲜感，如何调动学生的兴趣是教学中的难点，因此教师需要在教学设计上下功夫. 教学中教师要改变讲得多、总结归纳少，让学生做得多、思考少的现象. 数学复习课要从学生发展的角度，提升学生的综合素养. 教师要通过巧妙的设计，使不同层次的学生都能有所发展，从感性的认识升华到认识的感悟，提升复习课的有效性.

总之，有效的复习课能帮助学生建构知识体系，渗透数学思想，提炼数学方法. 教师要为学生创设思维空间，鼓励学生尽情探究，充分发展. 复习课的教学要始终以学生为主体，从“学”的角度进行教学设计，只有关注学习目标的实现，才能达成复习的效果，提升学生的综合素质.