夯实基础，拓展宽度，建构体系
2022-05-30王伟
王伟
[摘 要] 初三一轮复习是夯实基础知识，提升解题能力的关键，教师在教学中要让学生在掌握基础知识的基础上，开阔视野，建构知识体系，实现学习认识的升华.
[关键词] 基础知识;知识体系;一轮复习
初三一轮复习既是基础知识的系统复习，也是学生从更高角度认识数学知识的关键. 一轮复习如果仍然等同于新课的讲授，逐一进行知识点的讲解，或者落入讲题的俗套，就达不到复习应有的作用. 初三一轮复习首先在于打好基础，能熟知各个知识点的含义及其应用，其次要从更高的视角引导学生建构知识体系，并且通过理解知识的内涵和外延，拓展知识的宽度，实现能力的提升[1]. 本文以“锐角三角函数”第一课时的复习为例，谈一谈笔者在教学中的实践和思考，主要涉及锐角三角函数、特殊角的三角函数和解直角三角形等相关知识.
夯实基础知识
复习课在教学中一般都从知识点开始，但是却往往让学生觉得提不起兴趣，感觉太空洞. 为了改变这种情况，笔者通过以训练代讲解的方式，将知识点的复习融入试题当中，让学生通过试题复习相关知识点的概念、公式和定理等等. 在题目设计上，难度降低，有针对性，覆盖面广，注重条理清晰. 学生在独立思考的基础上，通过试题回顾和整理相关知识，夯实基础，也在一定程度上训练了自身运用知识的技能.
本课的基础训练题如下：
在Rt△ABC中，∠C为直角.
（1）若AC和BC的长度分别为4和3，①求AB的长度是多少;②求sinA，cosA和tanA分别等于多少.
（2）若∠A=30°，斜边AB的长为20，那么AC的长是多少？
（3）若AC的长为，BC的长为，那么∠B是多少度？
（4）若sinA的值为，AC的长为2，那么BC的长是多少？
通过以上的试题训练，学生能在完成试题的过程中调动相应知识和概念的记忆，对其进行整理和回顾，进而师生共同总结本课的相关知识点，建构起知识框架：
（1）在Rt△ABC中，两个锐角的度数相加等于90°.
（2）在Rt△ABC中，三条边之间满足两条直角边的长度的平方和等于斜边的平方，也就是勾股定理.
（3）在Rt△ABC中，边和角之间的关系：
正弦：sinA的值等于∠A的对边和斜边的比值.
余弦：cosA的值等于∠A的邻边和斜边的比值.
正切：tanA的值等于∠A的对边和邻边的比值.
（4）特殊角30°，45°，60°的三角函数值.
设计意图 学生经过试题训练后，在教师的引导下，自主建构知识框架，在训练过程中通过自己的参与体会知识的发生过程，更加深刻地理解了知识的含义，培养了自主学习的能力.
典型例题训练
初三一轮复习中试题的训练必不可少，在选题时要注意试题的典型性、创新性和启发性，通过典型试题的呈现，将知识点进行深入挖掘和探索，以變式训练、一题多解等方式进行多角度的考查，通过少而精的题目训练巩固知识，全面覆盖，提高复习的效率，脱离“题海”战术. 在试题训练中渗透数学方法，感悟数学思想，理解数学的本质，提升综合素养.
问题1：计算：（2cos45°-sin60°）+tan30°.
设计意图 特殊三角函数的复习需要有针对性地进行计算练习，因此选择了问题1进行计算，使学生能够通过计算熟练地说出并计算出特殊三角函数的数值.
问题2：（1）如图1所示，△ABC的顶点都在正方形的格点上，求cos∠ABC的值.
（2）如图2所示，△ABC的外接圆为☉O，且☉O的半径为2，AC的长为3，求sinB的值.
设计意图 本题考查锐角三角函数的运用，第一小题通过正方形网格图进行了直角三角形的构造，在直角三角形中运用函数知识进行求解. 第二小题则通过圆与三角形的关系构造直角三角形，并利用圆的相关性质和定理进行解题. 两道题的训练都体现了知识的综合运用，有助于学生构建知识框架. 三角函数的求解方法有三种：第一是利用特殊角三角函数值;第二是直接运用三角函数的定义;第三是需要构造直角三角形进行求解[2].
问题3：（1）在△ABC中，∠A=30°，∠C=105°，BC的长为2，求AB的长.
（2）如图3所示，☉O上有一点A，过点A的直线与半径OC的延长线相交于点B，且OC和BC相等，AC等于OB的一半. ①证明AB与圆O相切;②若∠ACD=45°，OC的长为2，求弦CD的长.
设计意图 两个小题分别从含有30°和45°角的直角三角形以及综合题进行考查，凸显了教学的重点，第二小题可以通过条件转化，发现与上一题中的△ABC相类似，应用了数学的化归方法，体现了教师在例题设计和选取时注意知识点的相关性和条理性. 在进行训练时，教师要启发学生思考，通过问题引导学生进行比较、归类和总结，提升学生的解题技巧，而不能将解题思路直接告知. 在上面两组题的训练之后，学生对于一些难度较高的复杂题型如何解决也有了思路，如可以利用转化构造、化归的思想将复杂的问题简单化，提高解题效率.
问题4：在△ABC中，AB和AC相等，AB边上的高为CH，且cos∠ACH的值为.
（1）求tanB的值;
（2）正方形DEFG是△ABC的内接正方形，EF在BC边上，BC的长度等于，求正方形DEFG的边长.
设计意图 本题具有一定的挑战性，教师可以引导学生进行小组合作，分类讨论. 学生需要先根据题意画出图形，再根据题意思考三角形的高在三角形内或在三角形外. 教师在适当提醒的基础上给予学生充分的思考空间和时间，对于学生讨论的结果不急于判定，而是让学生充分暴露思维的缺陷，在师生总结时再给予纠正和升华.
经过基础题型梳理知识点，典型试题训练知识的运用，还需要通过巩固训练加深学生的印象，巩固所学，全面提升. 巩固训练题的选择要做到覆盖题型全面，如填空题、解答题都要有，选择的题既要有基础题，又要有难度较高的综合题，这是对中考题的题型演练，适应中考题的解题氛围.
本课设计了如下的巩固练习：
1. 在Rt△ABC中，∠C为直角，sinA的值是，则cosA的值是多少？
2. 计算：（π-2011）0+（sin60°）-1-tan
30°-+.
3. 如图4所示，l，l，l，l四条直线相互平行，且相邻两条平行线之间的距离都是1，若正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，那么sinα的值是多少？
4. 如图5所示，在矩形ABCD中，AB和BC的长度分别是10和8，AD上有一点E，沿CE将△CDE进行翻折，点D正好落在AB边上，求tan∠AFE的值.
5. 如图6所示，以△ABC的一边AB为直径作☉O，BC交☉O于点D，点D恰好为BC边的中点，过点D作☉O的切线与AC相交于点E.
（1）求证：DE与AC垂直;
（2）如果∠ABC=30°，求tan∠BCO的值.
6. 能力提升题：正方形ABCD的边长为3，射线BC上有一点E，且BE等于CE的2倍，连接AE与射线DC相交于点F，如果△ABE沿直线AE进行翻折，点B落在点B处.
（1）如图7所示，若点E在线段BC上，假设AB与DC相交于点M. ①请分析△AME的形状;②求线段CF和DM的长.
（2）求sin∠DAB的值.
设计意图 一轮复习是一次全面的复习，不仅包括了对知识点全面系统地复习，还包括了知识技能和数学方法的复习，而数学方法的应用只有在系统的题目训练中才能得到体现. 故而巩固习题的训练要遵循覆盖全面、题型丰富的原则，使学生形成系统和扎实的知识基础，提升学生的综合素质.
教后反思
初三一轮复习对于提高中考的解题能力至关重要，因此一轮复习受到了广大教师和学生的特别关注，笔者认为在一轮复习中要关注以下几个方面：
1. 夯实基础，拓展视野
中考一轮复习是全面梳理知识的关键，在复习中以课时章节为单位，构建知识之间的纵横联系，以点带面，以面串线，注意覆盖面广，拓展学生视野. 结合中考的考点进行全面覆盖，力求没有知识点的遗漏，通过具体的试题将知识点进行具体化，在试题的练习中进行知识点的巩固和强化[3].
2. 构建联系，训练思维的广度
一轮复习要避免零碎复习，要着力构建知识的网络，抓住主要线索. 在复习中不能只是停留在表面知识点的复习，教师要进行深度挖掘，发展思维品质，使学生逐步具备建立数学模型、猜想和验证的能力，提升解决综合问题的能力. 如本文中的训练巩固部分，教师通过精心的问题设计、丰富的手段，发展学生的思维，提升学生思维的发散性、创新性，拓展课堂的宽度.
3. 提升高度，升华对问题的认识
一轮复习不同于以往的新授课和单元复习，不仅要进行解题训练，还要提升解决问题的视角，从更高层次解决问题. 如教师可以引导学生联系实际感悟题目之间的内在联系，也可以让学生通过动手操作，探究问题的本质. 也就是在复习过程中，注意数学方法的总结和数学思想的渗透，不断提升学生的能力和素养.
总之，初三一轮复习的重要性不言而喻，教師要高视角、宽角度地进行知识体系的建构，在问题引领中推动学生主动探究、主动总结，不断提升解题技巧，增强学习的信心，为中考取得优异成绩奠基.
参考文献：
[1]王道勇. 读出初中数学“策略型”阅读理解题的“步骤”[J]. 中小学数学，2020（Z1）：68-69.
[2]史宁中. 学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J]. 中小学管理，2017（01）：35-37.
[3]朱晓楠. 基于核心素养下的数学教学研究[D]. 辽宁师范大学，2011.
