对《课标(2022年版)》“结构化的课程内容”的理解

周佳泉

2022年4月，最新修订的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）新鲜出炉。《课标（2022年版）》以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，全面贯彻党的教育方针，遵循教育教学规律，落实立德树人根本任务，发展素质教育。它是中国教育改革向深水区持续推进的最新成果，是保障中国义务教育工作持续、有效开展的基石。

《课标（2022年版）》的主要变化之一，是优化了课程设置。落实党中央、国务院“双减”政策要求，在保持义务教育阶段九年9522总课时数不变的基础上，调整优化课程设置，设计体现结构化特征的课程内容。当前，虽未见到体现“结构化”课程设置的最新教材，却可以通过新《课标（2022年版）》文本的仔细阅读窥见一斑。现以“数与代数”领域为例，试述己見：

一、理解数概念和数运算本质的一致性

《课标（2022年版）》更加强调数概念和数运算本质的一致性。由此，把过去孤立的整数、小数、分数（百分数）的认识及其运算方法高度整合，成为具有共同内涵的“数群”，打通了整数、小数、分数（百分数）概念及其运算之间的“隔断”，既降低了学生学习的难度，又提高了学生学习的整体效率。具体体现在以下三个方面：

（一）突出建立“计数单位”的重要作用

《课标（2022年版）》明确指出：数的认识与数的运算具有密切的联系，既要注重各自的特征，也要关注二者的联系。也就是说：数的认识是数的运算的重要基础，数的运算是在数的认识的基础上进行的;同时，通过数的运算又加深了对数的深刻认识。

因此，理解数的产生及演进过程是数的认识学习进阶中极其重要的一环。量是刻画客观世界的手段，数是对量的抽象，任何一种数的产生都源自生产、生活的实际需求。在数产生之初，都要有一个大家公认的“标准”——即计数单位。例如：在远古时代，人们狩猎时对猎物数量的刻画，是以不分大小但完整的个体作为单位来计量，于是产生了“一（个）”的计数标准——也就是最初的整数的计数单位。随着数量的增加，以“一（个）”为计数标准的数不能满足需要时，又把原来的10个“一（个）”合并“凝结”成更大的计数单位“十”。并以此类推，创造了更大的计数单位“百”“千”“万”……反向思考：当原来的以“一（个）”为计数标准的数在刻画客观事物的数量时显得太过“粗犷”、不够精微时，又把“一（个）”拆分成更小的计数单位“十分之一（0.1）”“百分之一（0.01）”……在不需要以“十”累进或以“十”拆分的情况下，又产生了任意等分的计数标准“二分之一”“三分之一”……以这些计数单位为“准则”、为“样板”，大千世界的万事万物之数量，就可以囊而括之。

可见，计数单位是“数”之“根脉”，各种系列数的产生，均由计数单位开始。

（二）凸显各种数的计数原理本质一致

各种系列数的“群落”，无一不是计数单位个数累加的结果。几个“一”就是“几”，几个“十”就是“几十”，几个“百”就是“几百”……小数、分数的计数方法与原理概莫能外。这样，我们用“0～9”十个数字与“一（个）”“十”“百”“千”等计数单位组合，就能表示无穷无尽的整数。整数与小数点、分数线的组合，使原来的整数系在微观尺度上向着精细化的方向不断演进，并使得原来相邻两个整数之间的“缝隙”变得无限“广阔”，使得“数”在刻画客观世界的时候几乎无所不能，体现出了“尽精微，致广大”的神威。

无独有偶，在图形与几何领域也同样存在相似的结构——长度是长度单位的累加，面积是面积单位的累加，体积是体积单位的累加，乃至角度是角度单位的累加。这种结构化的思维方式，通过高度匹配的课程载体——教材呈现给学生，学生的学习效率无疑会大大提升，并有力促进学生的内部学习活动向高阶思维的层次迈进。

（三）理解各种数“运算”的法则本质相似

各种数的运算，归根到底其实就是相同计数单位个数的累加或拆分。相同计数单位个数不均等地累加或拆分，就是加法与减法;均等地累加或拆分，就是乘法或除法。

无论何种运算，它们都遵循一个基本原则——只有相同计数单位的个数才能直接相加减。学生在低年级的整数加减法中，借助直观操作表象就能很好地理解——“1个十”的“1”与“2个一”的“2”不能直接相加，因为如果直接相加，得到的既不是“3个十”也不是“3个一”，减法亦然。同理，小数加减法也是如此。分数加减法的理解相对更隐蔽一些，但是通过直观图形也能很好理解“分数单位不同不能直接相加减”（如图1、图2）。

乘法和除法是加减法的“升级版”，无非就是把相同加数的个数按“组”来累加或拆分。虽然，小数和分数乘除法的理解要更困难一些，但其根本仍然是建立在相同计数单位个数的累加或拆分基础之上的。

二、具体应用中体会数量关系的一般性

世界是变化的，万事万物，方生方灭。常见数量关系的归纳总结，让我们把复杂的事物变化关系用最简洁明了的方式表达出来。

（一）数量关系具有简洁性

结合学生的生活经验，以富有挑战性的现实生活情境为载体，引导学生逐步抽象出加法模型，用于表现“总量等于各分量之和”的各种情况;用乘法模型表现“与个数有关”和“与物理量有关”的两大类现象。

（二）数量关系具有一般性

在实际的问题情境中，学生通过解决问题可以深刻地体会到：无论是以何种数的形式来计量的数量，求“几个部分量的总和”或是“已知总和求其中一个部分量”都用加法模型。尤其是类似的问题：湖里原来有26只天鹅，先飞走了7只，又飞走了14只，一共飞走了多少只天鹅？就是把两次飞走的天鹅数量看作两个部分，求这两个部分的总和用加法。再如购物问题：无论购买何种商品，也无论商品的单价与数量多少，求总价都是把若干个单价相加，都是用单价×数量来解决。

通过这样的学习体验，学生能够初步体会同一系列数量在类似的情境中的关系都是相同的。换言之，只要是这一类数量，只要是相同的问题情境，解决问题的“程序”都是一样的。

（三）数量关系具有互通性

加法模型与乘法模型既可以结合起来表达更加复杂的情况，也可以在某些具体情境下互换互通。例如：以“加法模型”为主干、以“乘法模型”为分支，就直观地表达了“相遇问题”的一般数量关系——“甲车路程+乙车路程=总路程”。再如：以“乘法模型”为主干、以“加法模型”为分支，就能简洁地表达“涨价问题”的数量关系“现在单价×数量=总价”，其中用“原价+涨价部分”表达“现在单价”。以上是两种基本模型的结合。

而两种模型的互换，则体现着学习者对同一数学问题中数量“聚焦”的差异。如：对“乘法分配律”的理解——每张课桌80元，每把椅子40元。买20套课桌椅一共需要多少元？既可以用加法模型表达为“课桌总价+椅子总价=全部总价”，也可以用乘法模型表达为“每套课桌椅单价×数量=总价”，乘法分配律的理解就顺理成章了。

三、未知转化为已知策略运用的进阶性

《课标（2022年版）》中多次强调通过“将未知转化为已知”的学习策略，以此助力学生形成初步的推理意识。通过类比迁移，把“相似”的知识加以对照，找出相似的学习“路径”，就能做到化“新”为“旧”，化“难”为“易”，让学生的数学知识越学越“少”，真正做到结构化地学习。

例如在学习小数加减法中，可以借助“元角分”知识，把小数加减法转化为整数加减法计算再还原，在此基础上再借助计数器联想整数加减法的算理理解小数加减法的算理。同理，在异分母分数加减法中，让学生借助直观图形（前文图1、图2）理解统一分数单位的必要性，从而把异分母分数加减法转化为同分母分数加减法来计算。在小数乘法中，是用假设的方法把小数乘法转化为整数乘法计算，再利用积的变化规律进行“还原”。

在“图形测量”中，也有这样的学习“路径”。面积计算的通则是“每行的面积单位个数×行数=面积单位总数”，体积的计算则是“每层的体积单位个数×层数=体积单位总数”。

在“未知转化为已知”策略的学习进阶中，都遵循这样的基本规律：先学习掌握“原型”，再在低阶“变型”情境中简单类比，最后在高阶“变型”情境中迁移应用。这对激发学生在后续学习中的想象力与创造性，具有极其重要的价值。

结构化的课程内容，是促进学生结构化思维形成的重要途徑。每一位小学数学老师，都应该积极行动起来，把数学书教得越来越“薄”的同时，把学生的数学品质养得越来越“厚”。