新课标“统计与概率”内容分析：从结构到要求

吕世虎，颜飞

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“统计与概率”内容进行了结构化设计，使主题更加明确，核心内容更加突出，更有利于核心素养的培育;内容呈现按照“领域+学段”的思路设计，在“内容要求”的基础上增加了“学业要求”与“教学提示”等表述形式，使课程标准更具操作性与指导性;内容要求依据“数据分类”“数据的收集、整理与表达”“随机现象发生的可能性”“抽样与数据分析”“随机事件的概率”这五个主题由浅入深、层层递进，注重整体性与阶段性，关注学生的认知发展规律，并融入了百分数、平均数分布式计算的方法等，以适应大数据时代的发展。

关键词：数学课程标准;义务教育;统计与概率;课程内容;结构化

吕世虎教授团队的《义务教育数学课程标准（2022年版）》课程内容深度分析系列文章之一。回顾中华人民共和国成立以来，历次颁布的小学和初中阶段的数学课程标准（教学大纲），统计内容一直都有设置，而概率内容在2000年以前均没有设置。在21世纪的义务教育课程改革中，“统计与概率”内容在数学课程中得到了很大的发展，不仅作为独立的学习领域，而且在学习要求上更加聚焦“统计观念”和“数据分析观念”的培养。参见：刘久成.小学统计教学六十年发展研究[J].数学教育学报，2011（5）;谢益民.义务教育数学课程标准与初中数学教学大纲比较研究[J].数学教育学报，2003（1）。本文从内容结构、内容呈现、内容要求三方面对《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）中的“统计与概率”内容做具体分析。

一、新课标中“统计与概率”内容结构分析

数学课程标准中，内容结构主要是指不同学段的课程内容所涵盖的知识领域及其主题的分布。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）将义务教育阶段分为三个学段（小学分为两个学段，初中为第三学段），而新课标将义务教育阶段分为四个学段（小学分为三个学段，初中为第四学段）。两版课标均设置了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域。与2011年版课标相比，新课标明确和整合了各领域下的主题。其中，统计与概率领域的主题变化不大（如表1所示）。

由表1可知，与2011年版课标相比，新课标明确了“数据分类”主题。数据分类是信息分析的基础，其本质是根据信息对事物分类。学生在学前阶段已经有对事物进行分类的活动经验，比如果蔬分类、垃圾分类等。在第一学段，以“数据分类”主题为切入点，有利于学生顺利进入统计与概率领域的学习。因此，第一学段“数据分类”主题的教学目标主要是帮助学生从一般意义的事物分类过渡到统计学中的数据分类。同时，数据分类是数据整理的基础，比如制作条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数直方图等的第一步就是数据分类或分组。

新课标将“简单数据统计过程”主题改为“数据的收集、整理与表达”主题，并贯穿于第二、第三学段中，明确地体现了统计的核心内容。本次课程标准修订聚焦于数学课程应着力培养的学生核心素养。学生的数学核心素养需要通过相应的数学核心内容去发展。数据的收集、整理与表达是数据统计的具体过程，也是数据分析的关键步骤。新课标中，根据学生的认知发展规律，第二学段处理的数据相对简单一些，用条形统计图与平均数基本上可以描述其特征;第三学段处理的数据相对复杂一些，增加了折线统计图、扇形统计图以及百分数来刻画其特征。2011年版课标将百分数内容设置在数与代数领域，而新课标将其设置在统计与概率领域。事实上，百分数的本质是对两个数量倍数关系的表达，不仅可以表达确定数据，而且可以表达随机数据。新课标将百分数作为表达统计量的形式，更多地应用于随机数据的表达，比如下雨概率、经济增长率、投篮命中率等。这可以让学生初步感受数据的随机性，为决策提供依据。

与2011年版课标相比，新课标中“抽样与数据分析”“随机现象发生的可能性”“随机事件的概率”三个主题在表达上变化不大，只是将“事件的概率”变更为“随机事件的概率”。第四学段设置的“抽样与数据分析”主题，是“数据的收集、整理与表达”主题的延续，标志着该学段的统计内容由描述统计进入推断统计。具体来看，要求采用“抽样”的方法收集数据，其目的是通过样本的特征推断总体的特征。同时，对“统计图”和“统计量”的内容在前三个学段的基础上做了进一步的扩充。“统计图”中设置了频数直方图、箱线图等，“统计量”中设置了众数、中位数、方差、四分位数等。其中，箱线图、四分位数为新增内容。此外，在大数据分析的背景下，还融入了分布式计算平均数与百分数的内容，增加了数据分组的内容。“随机现象发生的可能性”“随机事件的概率”两个主题分别设置在第三、第四学段中，主要从定性与定量两个层次刻画随机现象。

二、新课标中“统计与概率”内容呈现分析

数学课程标准中，内容呈现主要是指课程内容的设计思路与表述形式。新课标中，“统计与概率”内容的设计思路和表述形式有新的变化。

（一）“统计与概率”内容设计思路分析

2011年版课标按照“学段+领域”的思路设计课程内容，统计与概率领域的内容分散在三个学段中呈现。而新课标按照“部分+领域+学段”的思路设计课程内容，统计与概率领域四个学段的内容按照小学、初中部分集中呈现，顺序展开。每个学段都有明确的主题（有的主题贯穿于不同学段），有效衔接形成整体。这种“领域+学段”的设计思路，突显了统计与概率领域的核心内容，加强了主题之间的联系，体现了内容统整的理念，在一定程度上避免了知识的碎片化，有助于教材编写与教学设计中明确核心内容，凸显核心内容与核心素养的关联，推动核心素养的落实。

（二）“统计与概率”内容表述形式分析

与2011年版课标相比，新课标中课程内容的表述形式不仅有“内容要求”，而且增加了“学业要求”“教学提示”，即从“学什么”“学到什么程度”“怎样学”三个方面全面地表述课程内容。这加强了课程标准在教材编写、教学设计以及教学评价中的操作性與指导性。以统计与概率领域第一学段的“数据分类”主题为例，具体表述如下：

【内容要求】

会对物体、图形或数据进行分类，初步了解分类与分类标准的关系，形成初步的数据意识。

【学业要求】

能依据事物特征，按照一定的标准进行分类;能发现事物的特征并制订分类标准，依据标准对事物分类;能用语言简单描述分类的过程;感知事物的共性和差异，形成初步的数据意识。

【教学提示】

要重视对接学生学前阶段已有的生活经验，鼓励学生在活动中学会物体的简单分类，在亲身参与的动手活动中感悟分类的价值，在分类的过程中认识事物的共性与区别，学会分类的方法。鼓励学生运用文字、图画或表格等方式记录并描述分类的结果，体会如何用数学语言表达现实世界，形成初步的数据意识，为后续学习统计中的数据分类打好基础。

由此可知，“数据分类”主题的内容要求主要是对学习范围的表述，包括物体、图形或数据的分类以及分类标准等。学业要求主要是对学习程度的表达，比如：按照给定标准对事物进行分类;自己制订标准对事物进行分类;能用语言简单描述分类的过程，为数据分类奠定基础。教学提示则主要是对相关内容教学实施的建议，比如：重视对接学生学前阶段已有的生活经验，设计合适的教学活动，帮助学生形成初步的数据意识，为后续学习统计中的数据分类打好基础。

三、新课标中“统计与概率”内容要求分析

新课标中，统计与概率领域下设置了“数据分类”“数据的收集、整理与表达”“随机现象发生的可能性”“抽样与数据分析”“随机事件的概率”五个主题。这些主题分布在各个学段，内容要求由浅入深、层层递进。以下具体分析这五个主题的内容要求。

（一）“数据分类”内容要求分析

“数据分类”主题设置在第一学段中，但该主题的相关内容贯穿于整个统计与概率领域。数据分类的本质是根据信息对事物分类，主要包括两个层面。一是对“事物”分类，比如生活中物体的分类、数的分类、图形的分类等。这种对事物的分类可以看作初级的数据分类，即在一组事物中把具有相同属性的事物作为一类，比如按大小分类、按颜色分类、按形状分类、按摆放的位置分类等。二是对通过调查等取得的“数据”分类。解决问题时经常需要调查研究或实验探究，收集数据，通过具体调查或实验取得数据是统计分析的前提，数据整理的第一步就是分类。

第一学段要求“会对物体、图形或数据进行分类，初步了解分类与分类标准的关系，形成初步的数据意识”，目的便是让学生经历从事物分类到数据分类的过程。这一学段的教学要和学生的学前经验结合起来，尤其要注重过程，让学生参与分类的活动，感知分类的价值与方法。第二、第三、第四学段均要求会利用统计图整理与表达数据，而统计图的学习与数据分类紧密相关：制作统计图的第一步就是对收集到的数据进行分类或分组。其中，数据分组在大数据分析中非常重要，其本质就是数据分类，比如，频数直方图事实上是对数据按照确定的组距和组数分类的直观表示。此外，第四学段设置了“按照组内离差平方和最小的原则进行数据分类”的内容，这是统计学意义上对数据分组的具体方法。虽然可以有各种方法对数据进行分组，但使得“组内离差平方和达到最小”的方法是最传统的，也是非常合理的。综上，数据分类的教学应该有意识地渗透数据分类的思想，注重数据分类的过程，让学生体会数据分类的必要性，掌握数据分类的基本方法与应用。

（二）“数据的收集、整理与表达”内容要求分析

“数据的收集、整理与表达”主题贯穿于第二、第三学段中。这一主题主要围绕数据分析的过程展开，包括收集数据，整理数据，利用统计图表、平均数和百分数等表达数据等。这是描述统计的主要内容，也是第四学段中推断统计内容学习的基础。数据是统计的基本要素，不同学段学生的生活经验与认知发展存在差异，因此，第二、第三学段虽然都设置了“数据的收集、整理与表达”主题，但是所针对的数据的复杂程度是有区别的。具体来看，第二学段要求在“具体实例”中经历简单数据分析的过程，重点是让学生在具体实例中感受数据中蕴含着丰富的信息，并采用简单的方法整理和表达数据及其特征;第三学段则要求根据“实际问题”经历数据分析的整个过程，重点是让学生在实际情境中收集数据，并采用合适的方法整理和表达数据，解决简单的实际问题。随着所面临的问题以及数据复杂程度的增大，处理数据的方法也逐渐丰富，这主要体现在统计图与统计量两方面。

在统计图方面，新课标在统计与概率领域设置的统计图包括条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数直方图与箱线图。其中，第二学段要求学习条形统计图;第三学段要求学习折线统计图和扇形统计图，对扇形统计图只要求认识并知道其功能;第四学段要求学习频数直方图、扇形统计图和箱线图，对扇形统计图进一步要求会制作，对箱线图只要求会从图中看出数据分布信息，不要求会画。这五种统计图均是直观描述数据的重要方法，且各具优势。条形统计图可以直观呈现不同类别数据数量的多少;折线统计图不仅呈现了不同类别数据数量的多少，而且反映出其数量的增减变化;扇形统计图可以直观呈现不同类别数据数量在整体中的占比情况，可以用百分数表示;频数直方图可以直观呈现不同类别数据出现的频数分布情况;箱线图可以直观呈现数据分布情况。因此，教学中，要让学生充分认识各种统计图的特点，能根据不同的实际情况选择更适合的统计图;同时，要引导学生理解，选择哪种统计图来表征数据，只有合适与不合适之分，没有对与错之分。

在统计量方面，新课标在统计与概率领域设置的统计量包括平均数、中位数、众数、离差平方和、方差、四分位数、百分位数等。其中，第二学段学习平均数，具体要求是：“知道用平均数可以刻画一组数据的集中趋势，知道平均数的统计意义;知道平均数是介于最大数与最小数之间的数，能描述平均数的含义;能用平均数解决有关的简单实际问题，形成初步的数据意识和应用意识。”这不仅说明了平均数的教学要求，而且阐明了平均数的本质。教学时，要从现实生活问题入手，让学生通过调查研究或实驗探究，收集数据，体会平均数产生的必要性，知道平均数可以刻画数据的集中趋势和代表一组数据的“整体水平”，培育学生的数据意识。第三学段没有要学习的统计量，但将百分数作为表达统计量的形式来学习，目的是让学生结合扇形统计图，了解百分数的统计意义，利用百分数认识现实世界中的随机现象。因此，百分数的教学，要从真实的问题情境出发，创设认知冲突，让学生真切地感受到百分数好似一把标尺，使不好比较的两个量变得可以比较，使不容易比较的两个量变得容易比较，进而感受到百分数可以帮助人们作出判断和预测，体会到百分数的价值。第四学段不仅要学习刻画数据集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数等），而且要学习刻画数据离散程度的统计量（离差平方和、方差）和刻画数据分布位置的统计量（四分位数、百分位数）。这些统计量都能反映数据的特征，但各具特点。例如，平均数、中位数、众数均能反映数据的集中趋势，但它们作为一组数据的代表又具有不同的特点：平均数由所有数据计算产生，能充分反映数据提供的信息，因此在现实生活中应用较广，但它容易受到极端值的影响;中位数对极端值不敏感，但它没有利用数据中的所有信息;众数只能反映一组数据中出现频次最多的数据，也没有利用数据中的所有信息。因此，教学中，要引导学生根据实际情况选择合适的统计量刻画数据的特征。

（三）“随机现象发生的可能性”内容要求分析

“随机现象发生的可能性”主题设置在第三学段中，主要是对不确定现象的定性描述。自然界和人类社会中的现象可以分为两类：一类是在一定的条件下，必然会发生（出现）的现象，称为确定现象，如“地球围绕太阳转”“水从高处往低处流”“同性电荷相互排斥”等;另一类则是在相同的条件下，试验或观察之前不能确定会出现哪种结果，不同次的试验或观察会得到不同的结果的现象，称为随机现象，如向上抛掷一枚硬币，事先无法确定硬币掉下来后哪一面朝上，不同次的抛掷会出现“正面朝上”和“反面朝上”两种不同的结果。

第三学段有关可能性的教学内容主要包括两方面：一是通过实例认识到生活中有些事情的发生是不确定的，而不确定的事件中可能发生的不同结果的可能性是有大小的;二是初步学会根据所有可能发生的情况，正确判断某种结果发生的可能性大小。教学中，可以组织学生抛掷硬币，每回抛掷相同的次数，收集到正面朝上和反面朝上的次数可能不相同。也就是，让学生通过实验，了解简单的随机现象，定性描述随机现象发生的可能性大小，体会利用数据提供的信息可以帮助人们进行判断;同时感悟对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，只要有足够多的数据就可能从中发现规律，从而发展学生的数据意识、归纳能力和创新意识。因此，渗透随机思想是“随机现象发生的可能性”教学的核心。

（四）“抽样与数据分析”内容要求分析

“抽样与数据分析”主题设置在第四学段中，主要还是围绕数据分析的整个过程展开，但是以推断性统计分析为主（“数据的收集、整理与表达”主题以描述性统计分析为主）。由此，可以呈现统计解决问题的完整思路：收集数据，整理与描述数据，分析数据，利用数据解释或说明问题。

第四学段中，收集数据的方法主要是简单随机抽样。实际问题中，很多情况下收集全部研究对象的数据有困难，只能从全部研究对象中抽取一部分作为代表。例如，要收集电器产品使用寿命的数据，需要对电器产品通电使用，直到用坏为止。这是一种破坏性的收集数据的方法，因此，在研究中不能对全部产品使用。

整理与描述数据可以使用统计图，如条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数直方图等。条形统计图、折线统计图和扇形统计图（直观认识）在第二、第三学段学习过，频数直方图和扇形统计图（绘制）是第四学段要学习的重点内容。

分析数据主要是提取数据信息，即数据的数字特征，包括刻画数据集中趋势的平均数、中位数与众数，刻画数据离散程度的方差和刻画数据分布位置的四分位数、百分位数等;还可以根据这些统计量画出箱线图，直观地反映一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值的情况。

最后，利用数据解释或说明问题主要是利用样本的数字特征估计总体的数字特征，利用样本的变化趋势估计总体的变化趋势。

此外，第四学段还融入了分布式计算平均数或百分数的内容，这与我们所处的大数据时代紧密相关。首先，大数据最主要的两个特征是“数据量大”“类型繁多”，对数据进行快速计算和有效分类是高效发挥数据资源价值的手段。如今，阿里云、腾讯云等产业均是依靠大数据分析运营的，它们分析数据的主要方法是分布式计算。这种计算方式将需要解决的问题分解成许多小的部分，分配给多台计算机处理，这样可以大大提高计算效率。因此，义务教育阶段的数学课程融入分布式计算的思想，是对当前时代发展的一种适应。

（五）“随机事件的概率”内容要求分析

“随机事件的概率”主题设置在第四学段中，主要是对随机现象的定量描述。随机现象的特征是：可能发生，也可能不发生;可能以这样的程度发生，也可能以那样的程度发生。但是，许多随机现象发生的可能性大小是可以预测的。这一主题的内容提供的是一种不确定的思维方式，主要引导学生从不确定的角度观察世界。

第四学段关于概率的教学内容主要包括两部分：一是用古典概型刻画概率，二是用频率刻画概率。其中，用古典概型刻画概率是在简单随机事件背景下的。简单随机事件的特征是：所有可能发生的结果的个数是有限的，每个可能的结果发生的概率是相等的。在這样的背景下，可以刻画由某些可能的结果构成的随机事件的概率：用随机事件包含的可能结果数除以简单随机事件所有的可能结果数。这是用理论模型（经验公式）来刻画随机事件的概率。但不是所有的随机事件都符合古典概型的特征，例如抛掷一枚图钉，“针尖朝上”和“针尖朝下”的概率并不相等。这时，就不能用古典概型刻画概率，而可以用频率刻画概率。这是用一些经验数据来刻画随机事件的概率。事实上，用频率估计概率更具有一般性，既能刻画简单随机事件条件下随机事件的概率，也能刻画不满足这一条件的随机事件的概率。在这一过程中，能体会到每次试验结果的不确定性和大量重复试验得到的数据所蕴含的规律性。因此，“随机事件的概率”的教学应该让学生经历通过随机试验收集频率数据的过程以及利用古典概型公式计算概率的过程，用频率估计概率，用概率定量描述随机现象发生的可能性大小，理解概率的意义。