关于野二次函数的图像与性质冶的教学探讨

许浩

［摘  要］ “二次函数的图像与性质”的教学过程需要遵从研究函数图像的基本思路，类比一次函数梳理教学主线，突出教学重点；采用描点画图的方式构建二次函数图像，通过数形结合、对比分析生成相应的结论；同时设计多层次问题引导学生探究，强化知识，提升学生的思维.

［关键词］ 二次函数；图像；性质；主线；作图

“二次函数的图像与性质”是初中数学的重难点内容，是继一次函数的图像与性质的探究后又一典型函数的探究. 通过探索二次函数的图像与性质，有助于学生深刻理解二次函数，是后续解决问题的知识基础. 下面结合教材梳理主线，开展教学探讨.

回顾类比中梳理主线

学生在前面已经深入学习了一次函数的相关内容，掌握了一次函数的图像与性质，虽然二次函数与一次函数的性质有着显著的不同，但整体上的研究思路、内容和方法是相一致的. 可以引导学生回顾一次函数的知识内容，用以探索二次函数的图像与性质，梳理教学主线.

一次函数的探究是围绕三大内容开展的：一是解析式的形式；二是研究过程；三是研究内容. 对于二次函数图像与性质的探究，同样需要把握上述三大内容，即引导学生从概念出发，关注二次函数的解析式；探索二次函数图像与性质的研究方法；探讨二次函数图像与性质要研究的具体内容.

在概念探究中，引导学生从全局与局部的关系出发来思考问题，把握二次函数的概念，关注二次函数的解析式. 即从函数的概念出发，引导学生辨析二次函数的概念，并引出二次函数解析式的两种基本形式：一般式y=ax2+bx+c（a≠0），顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）. 开展两式的变式互化训练，为后续的图像与性质的探究做铺垫.

在二次函数图像与性质的研究中，引导学生类比一次函数，构建二次函数图像与性质的研究方案，为后续分析问题、解决问题提供途径. 整体上采用知识探究的方式，生成“定义探究→图像性质→性质应用”系统的研究主线，引导学生体验探究活动，积累探究经验. 而在性质的探究过程中合理渗透思想方法，由易到难逐层剖析.

对于二次函数的研究内容，同样类比一次函数，主要集中在以下几点：一是图像的特征；二是函数的性质；三是具体的研究步骤；四是研究方法. 其中，图像的特征研究中关注函数曲线的形状、位置和关键点；性质研究中关注因变量y随自变量x的变化规律；而研究步骤需要引导学生掌握“作图→观察”的研究思路；同时在研究过程中要合理采用分类讨论、数形结合、对比分析等思想方法.

描点画图中构建二次函数图像

描点画图法是绘制二次函数图像的重要方法，教学中要引导学生关注该方法的具体步骤，掌握性质分析的方法. 描点画图法的教学指导可分为四个环节：列表、描点、连线、特征分析. 具体教学以简单的、具有代表性的二次函数y=x2为例，具体探究过程如下.

教学中，首先引导学生观察二次函数y=x2的特征，猜想该函数的图像形状，在此基础上按照描点画图法的流程进行探究.

（1）列表：引导学生围绕x=0进行正负对称取值，并计算对应的y值完成列表.

列表完成后，不必急于描点，而是引导学生观察表格中的数对是否具有对称性.

（2）描点：在该环节引导学生构建平面直角坐标系，在坐标系中根据表格中的数对描点. 同时引导学生重温平面直角坐标系的构建方式，理解坐标系的原点、坐标轴、正方向和象限等概念.

（3）连线：连线时引导学生思考用何种线来连接（是直线，还是平滑的曲线），并解释具体的原因. 教学中让学生对比一次函数思考二次函数的连线方式——利用光滑的曲线连点，如图1所示.

（4）分析：分析环节是对二次函数性质的直观归纳. 教学中让学生思考系数a的符号，基于符号开展性质分析，即按照如下顺序逐层分析：系数a的符号→开口方向→图像对称轴→图像最低点→图像两侧的变化趋势. 引导学生系统地完成二次函数y=x2的图像特征及性质的概括.

同样以函数y=x2的图像为例，引导学生提取图像的最低点的坐标——（0，0），以图像的对称轴为界，将曲线分割为两部分，分别分析图像的单调性：

在对称轴的左侧（x<0时）：y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧（x>0时）：y随着x的增大而增大.

二次函数的性质探究则应立足二次函数解析式与图像，构建图像与解析式的联系. 教学中以特殊的二次函数为例，采用绘图、分析的方式，引导学生直观分析，深刻理解二次函数的单调性. 探究分析环节要注重思维的逻辑性，由“式”到“形”，再由“形”总结规律.

对比分析中归纳总结

对于二次函数图像与性质的全方位归纳，建议采用数形对比、特殊到一般的方式，即利用具体函数的直观图像进行对比分析，归纳总结一般函数的图像性质. 教学中建议结合二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0），探索二项式系数a的符号和大小以及k对二次函数图像的影响. 因此探究教学可以分三步进行：第一步，以特殊函数为例，描点画图作图像；第二步，观察图像，猜想规律；第三步，總结概括，生成函数图像与性质.

1. 探索二次项系数a的符号对二次函数图像的影响

教学中同样以较为简单的特殊的二次函数为例，利用画图描点法绘制图像. 如分别绘制y=x2和y=-x2的图像，如图2①和图2②所示.

以上述实例引导学生观察两个二次函数图像的相同点和不同点，并结合二次函数图像分析二次项系数a的符号对其的影响，引导学生构建“a的符号”与“抛物线开口”之间的联系.

2. 探索二次项系数a的大小对二次函数图像的影响

显然，二项式系数a的大小对二次函数图像也具有一定的影响，教学中可以针对a的大小来作图探究. 在同一平面直角坐标系中绘制不同二次函数的图像，如图3所示，引导学生分别探究y=2x2，y=x2，y=x2，以及y=-2x2，y=-x2，y= -x2的图像的开口大小，让学生从a的视角作出相应的猜想.

3. 探索顶点式中的k对二次函数图像的影响

在顶点式中的k的影响探究中，给出二次函数的顶点表达式y=a（x-h）2+k（a≠0），引导学生明晰（h，k）为抛物线的顶点坐标. 先在同一平面直角坐标系中绘制y=2x2+1和y=2x2-1的图像，如4图所示；然后引导学生从下述方向进行探究：一是解析式的异同点，二是图像的异同点. 即关注顶点式中的k值的不同，明晰k值与顶点坐标之间的联系——k值将影响抛物线的顶点坐标，决定二次函數图像的位置.

活学活用中完成知识强化

二次函数的图像与性质属于初中数学的重难点内容，知识的规律性极强，探究教学中要注意知识的应用，即设计合理的变式问题，引导学生探究思考，帮助学生内化吸收，锻炼学生的思维. 问题设计建议从以下两方面入手：一是基本规律调用分析，二是综合性问题探究分析. 前者注重基础知识的规律，后者则应引导学生掌握问题的分析方法.

问题设计1：已知二次函数y=mx2经过点A（-2，-8）.

（1）求该二次函数的解析式，并判断该函数是否存在最大值或最小值；

（2）分析点M（2，-8）是否位于此抛物线上？

（3）试求该抛物线上纵坐标为-4的点的坐标.

教学立足三个小问，分三个环节进行引导：

环节1：引导学生重温待定系数法，结合点的坐标计算二次函数的解析式.

环节2：重温二次函数的性质规律，即a>0时，函数有最小值；a<0时，函数有最大值，且函数的最值实则就是抛物线顶点的纵坐标.

环节3：构建点的坐标与二次函数解析式的联系，即二次函数图像上的点满足其解析式.

问题设计2：现有函数y=kx2和函数y=kx+k，在同一平面直角坐标系中，两图像的大致位置关系是下图中的（  ）

该问题设计有一定的拓展性，旨在考查学生对函数位置关系的理解，教学中需要引导学生按照如下思路进行分析：①思考k对一次函数的位置的影响；②思考k的符号对两函数单调性的影响；③思考两函数相对的位置关系.

总之，“二次函数的图像与性质”教学是一个动态分析、图像观察、结论归纳总结的探究过程，对学生各方面的能力有着较高的要求. 教学中要合理设计环节，采用科学的探究方法，引导学生直观分析、分类讨论、严谨论证，完成知识生成. 过程教学注重将数学思想融入性质探究中，促进学生知识与能力的双重提升.