借助韦恩图直观理解事件的独立性

程明春

[摘  要] 事件的独立性是一个相对抽象的概念，文章借助韦恩图直观分析事件独立性的本质，并进一步分析互斥事件与独立事件的关系，以及两两独立与相互独立的区别.

[关键词] 独立事件;韦恩图;直观想象

在概率的学习中，如何判断和理解事件的独立性是一个难点.部分情况可以凭直觉去判断[1]，大多数时候则需要用概率关系去判断. 但因为概率关系较抽象，使得学生对事件独立性的理解不够深刻，甚至出现了错误. 本文借助韦恩图，让事件独立性直观地呈现出来，并借此去分析互斥事件与对立事件的关系，以及相互独立与两两独立的区别.

相互独立事件

定义[2]：对任意两个事件A与B，如果P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

所以事件A与B相互独立？圳P（AB）=P（A）P（B）.

相互独立事件与互斥事件的关系

命題1：对于事件A与B，若P（A）>0，P（B）>0，则有：（1）若A与B独立，则A与B不互斥;（2）若A与B互斥，则A与B不独立.

下面我们思考：如果事件A与B不互斥，那么A与B独立吗？

对立事件的两个易错点

1. 将互斥事件理解为独立事件

例1 一个袋子中有标号为1，2，3，4的四个球，除标号外没有其他差异. 从中摸取一个球，设事件A=“摸到1号球”，B=“摸到2号球”. 试分析A与B是否独立.

解析：容易错误地认为，在韦恩图（图2）中，表示事件A与事件B的区域不相交，故觉得它们是独立的. 错因在于：A与B在韦恩图中不相交，描述的是在一次试验中A与B不能同时发生，即A与B是互斥关系;而A与B独立，描述的是A的发生与否不影响B发生的概率. 在该例中，若A发生，则B必然不发生，即A的发生会影响B发生的概率，所以A与B不独立.

2. 将两个事件看成两个试验

例2 一个袋子中有标号为1，2，3，4的四个球，除标号外没有其他差异. 从中有放回地摸球两次，设事件A=“第一次摸到1号球”，B=“第二次摸到2号球”，试分析事件A与B的关系.

事件A，B，C两两独立与P（ABC）=P（A）P（B）P（C）的关系

教材中提到：当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一般不成立.用以下两个例子来说明该结论.

通过上面两个例子，可以看出事件A，B，C两两独立与P（ABC）=P（A）P（B）P（C）没有蕴含关系. 下面结合韦恩图给予一种直观解释.

因为事件A与B独立时，P（ABC）=P（AB）P（CAB）=P（A）P（B）P（CAB），故P（ABC）=P（A）P（B）P（C）等价于P（C）=P（CAB）=P（ABCAB），即得如下结论：

命题3：当P（A）>0，P（B）>0，P（C）>0时，若事件A，B，C两两独立，则P（ABC）=P（A）P（B）P（C）等价于P（C）=P（CAB），等价于事件C与AB独立，等价于事件C在样本空间Ω中的概率与事件ABC在样本空间AB中的概率相等.

一般地，事件A，B，C两两独立是指P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）;事件A，B，C相互独立是指A，B，C两两独立，且P（ABC）=P（A）P（B）P（C）. 从上面的例子可以看出，三个事件两两独立不能推出它们是相互独立的.

数学上有很多较为抽象的概念，通过某种工具或者某种方法让其更直观地表达出来，有利于降低初学者学习概念的难度，有利于初学者理解概念的含义和本质，提高其学习数学的兴趣.

参考文献：

[1]  金天寿. 对事件独立性的再认识[J]. 数学通报，2012，51（03）：24-26.

[2]  人民教育出版社课程教材研究所.普通高中教科书数学必修第二册（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2019.