求联求变重认知 学法指导贯始终

[摘  要] 基于“西蒙数学”理论，从认知心理学的角度思考，以学习者为中心设计“角的运算”认知工作单，提出几何规则课的教学要注重“知识求联、技能求变”，强调学法指导、重“教”到重“学”的转变.

[关键词] 西蒙数学;自适应学习;认知心理;学法指导;角的运算

课例背景

2020年12月，华南师范大学数学教师教育专家工作室与广州市王杰航名教师工作室、广州市郑燕名教师工作室联合举办西蒙数学研讨会，其主题为“认知心理学视角下的数学教学”，此课例是研讨会上的一节展示课.

教材内容分析

本节是义务教育教科书人教版《数学》七年级上册第4章“几何图形初步”第3节“4.3.2角的比较与运算”的教学内容. 角的和差、角平分线的定义性质等，是比较基础的几何知识点，有着广泛的应用，也是后续学习三角形、四边形等内容的必备基础. 本节课主要是通过对线段求值与角度求值的比较与归类，探索角的和差表示、角平分线的定义、性质及其应用. 因此，除了具体的知识技能外，还需要让学生感受类比的思想方法，为今后的学习打下基础.

学情分析

七年级学生初具抽象思维能力、逻辑思维能力，直观思维比较突出，模仿学习能力较强. 任教的7班，学习基础较好，经过3个月的磨合后，他们对数学的学习兴趣更加浓厚. 再结合他们的年龄和心理特征，可采用“问题解决”“题组教学”的形式贯穿课堂，尽可能多地让学生动手操作、运算、及时反馈，突出新知识的探索过程. 习题设置须注意梯度的设置，并搭建脚手架助其理解应用.

考虑到任教班学生的整体学习能力较好，将“角的比较与运算”的内容分2课时完成，在课程标准的基础上，适当增加拓展内容，促其深度学习. 在第1课时中，学生探究了角的比较、无图形背景的纯角度计算（含度、分、秒等单位）. 本节课是第2课时，在线段求值、角度的大小比较的基础上，学习角度求值，学生比较容易接受. 在学生对“利用和差、中点等特殊点的性质、方程思想”求线段，有所理解之后，再迁移到学习角度的求值就水到渠成. 同时，要把文字语言与图形语言匹配起来，对部分学生而言仍较困难，因此教学重点放在，通过类比，学习角的和差、角平分线的定义、性质及其应用. 解决无图问题时，辅以适当的示例，指引学生对文字语言、图形语言、符号语言的准确表达.

目标分析

1. 教学目标

（1）类比线段的学习方法，理解角的和差，发现、理解角平分线定义、几何意义及由其推出的数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行综合描述.

（2）在应用以上方法求角度过程中，体会整体思想、方程思想、分类讨论等思想方法.

2. 教学重点

类比线段的和差、中点性质，发现角度的和差表示方法、角平分线的定义、性质.

3. 教学难点

复杂图形中角的识别及和差表示，缺图时根据文字材料对应画出图形.

教学过程

1. 知识建构

（1）情境导入

①泊松分酒问题

设计意图  创设一个有趣味的问题情境，引发学生从事理到数理的思考，为学习新知识设悬念，激发求知欲. 为避免不良影响，课堂导入时将“分酒”改为“分水”.

提问：给出长度分别为15 cm、10 cm两条线段，你能画出多长的线段？

②用三角板画特殊角

将已知长度的两条线段叠合，可得到新长度的线段. 同样，将不同角的边叠合在一起，使其顶点重合，且其中一边重合，可得到新的角.

试用一副三角板画出尽可能多的特殊角（30°，60°，90°，75°，15°角除外）.

设计意图  利用实物进行教学，让学生充分动手操作，在观察、想象、展示等活动中，感受角的和差的产生过程.

（2）角的和、差

①如图1、图2所示，根据所画图形，识别角的和与差.

◆∠AOB是______与_______的和，记作∠AOB =______+_______;

◆∠ACB是_______与_______的和，记作∠ACB =_______+________;

◆类似地，∠HOG是______与______的差，记作∠HOG =_____ -______. ∠HFG是______与______的差，记作∠HFG =_____ - ______.

在∠AOB的外部OA左侧多画一条射线OD，则∠CO D=______+_______=_____ - ______.

②如图3所示，射線OC，OD在∠AOB内部，∠AOB=80°，∠AOD=60°，∠BOC=45°，求∠DOC的度数.

设计意图  通过示例演练、“例中学”，学生可以不必经过陈述性知识阶段而是通过程序式获得感知. 学生经过两个题目的仿照练习，在演练中不知不觉地明确角的和、差表示方法.

（3）角的平分线

类比线段中点，尝试说出角平分线的定义：__________________叫角平分线（二等分线）.

符号语言：如图4所示， 因为 FG是∠HFO的平分线，所以∠OFG=∠HFG=∠HFO，∠HFO=2∠HFG=______.

类似地，还有三等分线、四等分线、五等分线……n等分线.

设计意图  从线段中点到角的平分线，形成正迁移，发展学生合理猜想的能力，体会类比思想. 同时通过“几何模型—图形—文字— 符号”的学习程序，让学生多方位理解角平分线的性质.

2. 学习迁移

（1）已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分线，则∠BOM=______.

（2）如图5所示，∠AOB=80°，若OC，OD，OE，OF是∠AOB的五等分线，则∠AOF=_______°，∠EOB=________°，∠COF=______∠DOB.

设计意图  第（1）题直接应用角平分线性质，第（2）题通过五等分线求角度、角之间的关系，体会角度的倍、分关系. “做中学”体现学生由模仿学习到再创造，在解决问题中体验成功的快乐，又能获得大量的隐性知识，增强题感，训练直觉思维，促进学生对知识的获取和认知技能的發展.

（3）已知∠AOB=80°，OM平分∠AOB，以射线OB为一边的∠BOC=30°，求∠COM的度数.

（4）已知∠AOB=80°，以射线OB为一边的∠BOC=30°，OM平分∠AOC，求∠COM的度数.

小结：__________________

设计意图  第（3）（4）题缺图，渗透分类讨论思想，当图形位置未定时，要考虑存在不同情况. 第（4）题改编于七年级《阳光学业评价. 数学》下册（广州市教育研究院研发）第119页中的问题探究“已知线段AB=8 cm，直线AB上有一点C，且BC=3 cm，M是线段AC的中点，求AM的长. ”从线段的分类迁移到求角度的分类，体会“角与角组合时，当角的一边位置不确定时，可以得到不同大小的角”.

（5）如图6所示，O是直线AB上一点，∠AOC=53°18′， 若OM，ON分别平分∠AOC、∠BOC. ①∠BOC=______;②∠AOM=______;③求∠NOM的度数;④题目中的∠AOC度数改为α°，其他条件不变，求∠NOM的度数.

小结：__________________

设计意图  本题源自人教版七年级上册数学教材第136页例1，将原题中的“∠AOC=53°17′”改为“∠AOC=53°18′ ”，同时增加用平分线求角度，改度数是为了降低计算对角平分线性质应用的影响. 第④问，让学生感受整体思想、从特殊到一般的思想，进一步理解出现双平分线时，局部角度的大小，不影响整体的结果.

3. 能力拓展

已知∠AOB内部有两条射线OM，ON，OM将∠AOB分成两部分，∠AOM ∶ ∠MOB =2 ∶ 3. ON也将∠AOB分成两部分，∠AON ∶ ∠NOB=4 ∶ 1，且∠MON=30°. 求∠AOM，∠NOB的度数.

设计意图  题目不配图，需根据文字材料对应画图才能解决问题，且涉及角度和差、比例等多个知识点，更能训练优等生的数学思维和规范表达能力. 形式不同的习题，培养学生解题的变通性、灵活性和创造性. 尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求.

4. 总结与反思

求角的方法有：________________

以怎样的方式去研究角度求值：_________________________________

易错点：______________________

数学思想方法：________________

设计意图  引导学生自行小结本节课的知识要点及数学思想方法，使知识系统化.

5. 课后作业

（1）如图7所示，用“=”“>”或“<”填空.

①∠AOC_____∠AOB+∠BOC;

②∠AOC____∠AOB;

③∠BOD-∠BOC____∠COD;

④∠AOD____∠AOC+∠BOD;

⑤如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC____∠BOD.

（2）射线OC在∠AOB内部，下列选项不能判定OC是∠AOB平分线的是（      ）

A. ∠AOB=2∠AOC

B. ∠AOC=0. 5∠AOB

C. ∠AOC +∠BOC=∠AOB

D. ∠AOC =∠BOC

（3）如图8所示，已知O是直线AB上一点，∠AOC=63°，射线OD，OE将∠BOC三等分，则∠AOD=________°.

（4）如图9所示，已知O是直线CD上一点，OA平分∠BOC，∠AOC=35°，求∠BOD的度数.

（5）如图10所示，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数.

6. 板书设计

[4.3.2角的比较与运算（2）

——角的和差        例题

1. 角的和差        练习

2. 角平分线定义与性质：

符号语言：]

7. 附件

“线段求值”认知工作单（此处略）.

教学设计的立意

1. 教法

本节课以“类比法”为主线开展教学活动. 教学中通过创设问题情境，借助研究线段求值的方法，不断提出富有启发性、挑战性的问题，激发学生的探究欲望，类比发现角度的和差、角平分线的定义、性质和求法.

2. 学法

借助“西蒙数学”理论设计认知工作单，用于导思、导学、导练，让学生的学习有章可循. “西蒙数学”源自美国科学家赫伯特·西蒙（H.A.Simon）.三十多年前，身披“认知心理学家”“人工智能之父”“诺贝尔经济学奖得主”之誉的西蒙，因为认知心理学上的共识，与中国科学院心理学家朱新明双剑合璧，对 “自适应产生式系统”进行深入的研究，并建构了“示例演练”学习模型[1]. 近二十年来，华南师范大学数学科学院谢明初教授，结合数学学科“高度概括和抽象”等特点，在原有的模型基础上，运用建构主义和情境认知理论，从教法学法等多个角度，对数学教学进行哲学的阐述，提出了“西蒙数学教学法”[2-6]. 这是建立在“人类自适应学习”理论基础上，将人工智能和现代认知心理学研究成果运用于数学教学的现代教学法，其核心理念是将部分陈述性知识转化为程序性知识呈现出来，通过“例中学、做中学”帮助学生深入学习数学.

利用工作单，以问题串的形式，一步步引导学生积极思考，同时借鉴前面所学的线段求值的思路、方法，探索角度的求法，促其从“被动学习”变为“主动学习”，经历“观察、类比、发现、归纳”的过程，多种感官参与学习活动，真正成为学习的主体，在探索中发展运算能力、推理能力.

教学反思

1. 立足建构主义，设“工作单”导思导学

建构主义的学习观认为，学习活动并非对已有知识的简单接受，而是以主体已有的知识和经驗为基础的主动建构，这种建构是无法由他人来代替的. “西蒙数学”主张以“知识建构——学习迁移——能力拓展——总结与反思”的框架，设计、编写认知工作单，把数学知识的传授转换成数学认知工作单的学习，使学生的学习转变为探索式的建构学习.

本节课中，在知识建构的环节，先是以“泊松分酒”的数学名题，创设了趣味性情景，引发学生思考其与新知的联系;再通过以三角板画特殊角的活动，并以产生式理论为指导设计问题，形成题组，让学生在“做中学”体会角的和差表示. 这些设计根据学生现有水平，遵循“小步教学、及时反馈”的原则，以示例的方式助学生建构新的知识. 后面的学习迁移，以问题串的形式呈现求角的变式练习，学生即思即做即评，及时反馈，强化学生的自我效能感;能力拓展环节，设置涉及方程思想、整体思想，综合性更强的题目，供学有余力的学生挑战;总结与反思，用以归纳求线段与求角的异同、解题规律、思想方法，这些环节体现出对知识的精加工.

2. 遵循认知规律，学习迁移求“联”求“变”

按照教育心理学的观点[7]，初中生思维发展的主要特点是思维逐步符号化，但在抽象概括事物属性时，大多数仍依赖感性经验. 如果解决问题所需的抽象概括水平超出他们的心理水平，思维自然也就中断，从而成为思维障碍. 因此多位学者提出建议，要遵循认知规律，在数学教学的疑难抽象处，使用形象直观的方法有效化解难点. 因此，在开始的三角板画特殊角及定义角平分线的环节，都是以直观的方式，让学生感知图形与几何语言的匹配，再逐渐深入知识点的应用.

另一方面，本节课主要采用类比的方式展开教学活动. 认知心理学认为，类比学习的一般过程主要包含信息输入、模式匹配、检验、修正等步骤[8]. 在线段求值到角求值的类比学习过程中，学生会先对角的和差表示等内容进行表征，再根据求线段长度的策略、方法的相似性，建立两者之间的联系，再通过同化或顺应，获得解决求角相关问题的方法.

在较复杂的学习过程中，布鲁纳、维果斯基等建构主义者皆有共识，他们提出要搭建认知支架，对高层次的学习而言尤为重要. 本节课的学习迁移部分，以题组的形式呈现应用角平分线求角的变式训练，并进行题后小结. 前两题较简单，属于较低的认知起点，通过样例学习即可解答，第（3）（4）题开始增加难度，从有图到无图，前后联结，形成有梯度的认知序列，助学生迁移到较高级的学习，再通过小结方法，从具体到抽象概括，形成规律. 这样的设计，落实了“四基”中的基础知识与基本技能，也切合了西蒙数学“知识求联、技能求变”的理念.

3. 精讲在关键处，学法指导贯彻始终

西蒙数学强调学生的自主学习为主，教师予以学法指导，在合适时机启发思考、指引方向. 这与自新课改以来“将更多时间还给学生”的理念如出一辙.

从课型的角度分类，本节课属于数学规则课，教学指向发现角的和差表示的规则，并以此规则去解决求角大小的问题. 根据广州市教育研究院谭国华的研究[9]，数学规则课型的教学，可结合皮连生所创的“六步三段两分支”教学模型，在第二个转化阶段，提供合适的学习样例，并通过变式练习，帮助学生明确、熟悉运用规则解决问题的程序与步骤.

本节课已提供了学习材料，学生在认知工作单的学习中，通过“例中学”熟悉规则，在学习迁移的“做中学”应用规则，教师只需在学生对概念、性质的认识模棱两可时，归纳知识要点时，在其疑惑处或认知障碍处，以设问、追问的方式加以点拨. 本节课的难点在于，解决无图问题时要根据文字材料对应画出图形，再利用角平分线的性质及角的和差表示方法求解. 当学生出现错漏时，笔者并非直接点破，而是提出问题：“当题目没有配图时，要注意什么问题？只有某种情形吗？”

还有另一处细节，在复习提问“给出长度分别为15 cm、10 cm两条线段，你能画出多长的线段？”时，笔者追问“怎样画？”并以两支铅笔示意，启发性地提问：“把铅笔看成两条线段，两笔拼接时，不共线可以拼成原来的长度和的线段吗？”帮助学生从“线段的和差必须共线共端点”的认识，过渡到后面理解“角的和差必须共顶点且一边重合”.

另外，在本节课的学习过程中，要求学生带上前面学习使用的“线段求值”认知工作单，进行类比学习. 在知识建构环节中的线段、角的和差表示，中点、角平分线的定义、性质，还有学习迁移环节中的分类讨论求线段、角度，能力拓展环节中的方程思想求线段、角度，以及最后的“总结与反思”等部分，皆以类比的方式设计的. 当学生无法继续向下进行学习时，都可以通过对照“线段求值”认知工作单，回顾相关的方法，并将其迁移，解决求角问题，整堂课皆有学法指导贯穿其中.

4. 注重归纳总结，数学思想无痕渗透

西蒙数学注重概括总结，有题后小结、课堂总结，归纳知识要点、易错点、数学思想方法等. 如在学习迁移第4题后，要求学生小结应用角平分线性质求角的基本思路及无图时的注意事项、分类讨论的思想方法. 课堂教学不能仅限于完成练习、就题论题，更重要的是通过分析、处理问题，寻求题目当中蕴含的精髓，通过解一道题，融会贯通之后，晋级为解一类题，并能分析、归纳解决问题的方法，从中学出新意.

数学教学除了归纳知识外，还要注重数学思想方法的渗透. 新课改强调“四基”，其中之一就是基本的数学思想方法. 数学知识是具体化的、显而易见的，而思想方法是隐性的、抽象的. 本节课涉及类比思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，这些思想的渗透体现在教学的各个环节. 数学思想方法的学习，犹如一个人修炼内功，因此，在平常的教学中，教师要有意识地渗透数学思想方法，帮助学生提升无形的能力.

5. 把控教学节奏，合理利用生成资源

重新审视本节课，尚有一些不足之处.

一是课堂节奏前松后紧. 画角活动耗时过多，对后面的学习造成影响. 此环节可做以下优化：设计问题链，（1）类比线段的和差，利用长度为45 cm和30 cm的线段，可画出长度为75 cm、15 cm的线段. 类似地，利用45°、30°的角，可画出多大的角？（2）三角板中还有哪些角度？两两组合，能画出多大的角？（3）这些角有何共同特征？之后可分组请同学板书演示或投影展示，随后再顺理成章带出“利用和差表示角”.

二是未能充分利用课堂生成的错误资源. 请学生上台展示时，学生出错，未能及时得到正确答案，遂请其他同学更正. 学生在练习过程中不可避免會出现错误，一个学生的错误，也可能是其他学生出现的同类错误，这种错误暴露出他们思维的误区，或是对角的认识不足，或是未能找到和差的本质. 这是生成性的错误资源，更应充分利用. 可细加引导，让其自行改错，助其建立信心，然后再即兴作简单变式，让其他学生巩固和差求角的知识点.

借助西蒙数学理论，以认知工作单为载体展开教学，问题成串设计，形成题组，利于引发学生的思考，促其有意识地发现知识、运用知识、归纳知识. 学生在各个活动环节，提取出概念、理解原理，不知不觉中习得新知与技能，获得问题的解决方法，再应用法则、规律，加深认知理解. 只要材料组织合理，使其适合学生的认知特点，学生便能自行学习，或在教师的指导下拾阶而上，掌握基础知识和基本技能，并积累活动经验，习得基本思想方法.

参考文献：

[1]Zhu X M，Simon H A. Learning Mathema-tics from Examples and by Doing[J]. Cognition &  Instruction，1987（4）：137 -166.

[2]谢明初主编. 义务教育教科书：初中数学高效学习版（七年级上册）[M]. 上海：华东师范大学出版社，2019.

[3]谢明初，彭上观. 数学学习理论的演变[M]. 上海：华东师范大学出版社，2020.

[4]古土城，刘晓锐. 西蒙数学教学理论下的初中数学教学设计[J]. 中学数学研究（华南师范大学版）， 2016（06）：11-14.

[5]古土城. 借助“西蒙数学教学法”提升初中生数学能力实证研究[J]. 中学数学教学参考，2017（33）：65-70.

[6]姜云囡，古土城. 基于西蒙教学法与“5W2H”分析法改进公式教学探微——“完全平方公式”教学“跟踪·改进”实例[J]. 数学教学通讯，2016（23）：2-5.

[7]林崇德. 发展心理学[M]. 北京：人民教育出版社，2008.

[8]喻平. 数学教学心理学[M]. 北京：北京师范大学出版社，2018.

[9]谭国华. 高中数学规则课型及其教学设计[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2013（13）：1-4+5.