试题洞明皆学问 “生”动溯源即文章
2022-05-30林凤梅蔡海涛
林凤梅 蔡海涛
［摘 要］ 研究近年的高考数学试题，发现比较大小的问题频频出现.文章以一道2021年高考试题为例，引导学生思维“动”起来，尝试多种思路分析，挖掘解法的背景，总结归纳一般求解策略，突破解决该问题的难点.
［关键词］ 高考试题；比较大小；探本溯源
高考试题是命题专家团队的智慧结晶，具有规范性、权威性和科学性，认真研究高考试题的重要性不言而喻. 每一道高考试题往往都是一个精彩的世界，它除了考查学生的知识、能力、思想、素养，具有较强的选拔功能外，还对中学教学起到了积极的导向和促进作用.通过研究近年的高考数学试题，细细地品味，不知不觉会感叹高考试题演变的趋势，会流连于试题所蕴含的深刻背景，会痴迷在各种精妙的解法里，真是越品越有味，题题都精彩.
笔者研究近年高考试题，发现比较大小的问题频频出现，无疑是高考命题的一个热点考向，如2021年高考全国乙卷理科第12题、2021年高考全国乙卷文科第12题、2021年新高考Ⅰ卷第7题、2020年高考全国Ⅰ卷理科第12题、2020年高考全国Ⅱ卷理科第11题、2020年高考全國Ⅱ卷文科第12题、2020年高考全国Ⅲ卷理科第12题、2020年高考全国Ⅲ卷文科第10题、2019年高考全国Ⅰ卷理（文）科第3题、2019年高考全国Ⅱ卷理科第6题、2019年高考全国Ⅲ卷理科第11题、2019年高考全国Ⅲ卷文科第12题等.这类试题主要考查幂函数、对数函数的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性和创新性.这类试题往往需要构造一个与待证不等式相关的函数，进而利用导数工具研究函数的单调性、最值来解决，学生解决该问题的难点主要在于如何构造函数.本文从一道2021年的高考题谈起，研究这类问题的破解之道.
[?]试题呈现
（2021年高考全国乙卷理科第12题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1.则（ ）
A. a C. b 分析：本题考查大小比较问题，这类问题利用近似估值计算往往无法解决，难度较大，难点是将各个式子的共同量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. 通过对数运算和对数函数单调性的研究不难对a，b的大小做出判定，由a=2ln1.01=ln1.012=ln（1+0.01）2=ln（1+2×0.01+0.012）>ln1.02=b，得b [?]解法分析 解法1：令f（x）=ln -x+1，则在x∈（1，+∞）内，f′（x）=-<0，所以函数f（x）在（1，+∞）内单调递减，所以f（） 令g（x）=2ln -x+1，则在x∈（1，3）内，g′（x）=>0，所以函数g（x）在区间（1，3）内单调递增，所以g（）>g（1）=0. 所以a>c. 综上，a>c>b. 评析：解法1先令=x，再把a，b用x表示出来，从而构造函数f（x）=ln -x+1与g（x）=2ln -x+1，利用函数导数分析函数的单调性，结合f（1）=0，g（1）=0得c与a，b的大小关系. 这种构造函数的方法，即先取一个量为x，其他量用x表示出来，从而实现函数构造. 解法2：令f（x）=2ln（1+x）-+1，则f（0）=0，f′（x）=-=. 因为1+4x-（1+x）2=2x-x2=x（2-x），所以当0 令g（x）=ln（1+2x）-+1，则g（0）=0，g′（x）=-=. 由于1+4x-（1+2x）2=-4x2，当x>0时，1+4x-（1+2x）2<0，即g′（x）<0，所以函数g（x）在区间（0，+∞）内单调递减，所以g（0.01） 综上，b 评析：解法2将0.01换成x，构造函数f（x）=2ln（1+x）-+1，g（x）=ln（1+2x）-+1，利用函数导数分析其单调性，结合f（0）=0，g（0）=0即可得出c与a，b的大小关系. 解法2与解法1的思路类似，区别之处是解法2先对式子进行了变形，使构造的函数比较简洁. 解法3：令f（x）=2ln（1+x），g（x）=ln（1+2x），h（x）=-1，显然f（0）=g（0）=h（0）=0，a=f（0.01），b=g（0.01），c=h（0.01），f′（x）=，g′（x）=，h′（x）=. 当x∈（0，0.01）时，f（x），g（x），h（x）单调递增，易知1+2x>>1+x. 又f（0）=g（0）=h（0）=0，从函数图像可知，在区间［0，0.01］内，因为起点的函数值相同，增长速度大的终点的函数值更大，所以由f（x），g（x），h（x）的增长速度可知g（0.01） 评析：解法3类似于解法2的思路，构造函数f（x）=2ln（1+x），g（x）=ln（1+2x），h（x）=-1，比较三个函数导数值的大小得到f（x），g（x），h（x）的增长速度大小，可得c与a，b的大小关系. [?]背景溯源 本题的常规解法如上述三種解法，继续探究会发现其背景深厚，内涵丰富，别具匠心. 背景1：贝努利不等式. 利用贝努利不等式（1+x）α≥1+αx（α≥2，x>-1），有（1+0.01）2>1+2×0.01=1.02，所以a>b. 背景2：泰勒展开式. 根据泰勒展开式有ln（1+x）=x-+-…，-1=x+x2+x3+…=x-x2+x3-… 则a=2ln（1+0.01）=2 0.01-+-… =0.02-0.012+×0.013-… b=ln（1+0.02）=0.02-+-…=0.02-0.01×0.02+-… c=-1=×0.04-×0.042+×0.043-…=0.02-0.01×0.02+-… 综上，b 背景3：常见不等式“ln（1+x）≤x（x≥0）”的加强. 由解法2知，当x≥0时，g（x）=ln（1+2x）-+1≤0，所以ln（1+x）≤-1；又-1≤x，所以不等式“ln（1+x）≤-1≤x”是“ln（1+x）≤x（x≥0）”的加强. [?]解后反思 1. 同构视角构造函数 同构式不等式是指除了变量不同， 其余地方均相同的不等式［1］. 在大小比较问题中，如何构造函数是个难点，常用方法是先化同构式.如以上三种解法都是先比较几个式子的结构特点，往往选择一个较简单或是与其他有关联的式子，用变量x替换后，再把其他式子也用x表示出来，进而构造相应的函数. 同构变形常用的方法有：相同变量放一边；运算形式变相同；指数、对数混合的一般统一化为以e为底的对数. 2. 归纳方法领悟思想 本题解决难点是不能将不同形式表示的量转化为同一类型的表达形式，恰当地构造函数，解题困惑的原因在于无法合理应用化归与转化思想及函数与方程思想.这启发教师应将理性思维的培养贯穿教学过程，强调数学建模的过程教学，加强代数式合理变形的训练，关注一题多解，加强思想方法的渗透. 3. 联想类比揭示本质 波利亚指出：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”不少学生解题后，校对好答案就“万事大吉”，很少适度进行联想，包括部分教师教学时往往也是就题论题，浅尝辄止，缺乏对题目的深层挖掘.特别是高考这样经典的试题，往往意蕴深远，解题后尝试多问“为什么”，适度进行联想、类比、深化，将会透过表象发现问题的本质，长此以往积累解题经验，以达到“做一题、通一类”的效果，从而提升学生的数学核心素养. 参考文献： ［1］ 温伙其. 构造函数 破解大小比较［J］. 中学数学研究（华南师范大学版），2020（08）：22-24.
