激活思维 灵动课堂

何伟

[摘  要] 教学中，教师要切实从学生实际出发，以发展学生为目标，少一些“灌输”，多一些“引导”和“点拨”，以此激活思维，诱发思考，提升教学有效性. 文章以“等比数列的前n项和”为例，对不同设计、呈现方式进行对比和分析，展示自主探究的价值，谈几点对“生本课堂”建构的建议，以期学生能够真正参与课堂，让课堂更有效、更高效.

[关键词] 激活思维;有效性;自主探究

在一次校内技能大赛上，数学组以“等比数列的前n项和”为题开展同课异构课，各位教师精心筹备，耐心打磨，数学课堂呈现了别样精彩. 笔者在听课、评课中收获颇丰，现简单呈现不同设计的教学片段，并进行了比较研析，若有不当之处请同人指正.

[?]研探教学模式

1. 方案1（借助情境，铺设方法台阶）

师：课前大家已经阅读了“棋盘上的麦粒”这个故事，谁来说一说国王需要给大臣多少麦粒？

生1：S=1+2+22+…+263①.

师：很好，这个就是我们今天研究的课题：等比数列的前n项和公式.

师：如果国王愿意加倍给大臣麦粒，此时国王需要准备多少麦粒呢？

生2：这个简单，每个格子都乘2就可以了，也就是2S=2+22+23+…+264②.

师：你能算出国王多给大臣多少麦粒吗？

生3：②式与①式相减，得S=264-1.

师：很好，这样①式和②式中许多相同的项通过相减即可消除，我们将该方法称为“错位相减法”. 现在我们逐渐向一般化推广：若公比为q，首项为1，等比数列的前n项和是什么？

生4：S=1+q1+q2+…+qn-1③.

师：很好. 这里的S如何求解呢？

生5：qS=q1+q2+q3+…+qn④，④式与③式相减，得（q-1）S=qn-1，故S=.

师：若等比数列的首项由“1”变为“a”，又该如何办呢？

学生通过模仿，轻松得到S=.

师：我们也可以将S=记为S=. 注意，此时q≠1，当q=1时，S=na.

师：除了应用错位相减法外，你还能想出其他方法吗？

学生沉默，接下来在教师的提示和指导下，学生又找到了另外两种推导的方法.

从以上教学过程可以看出，教师借助具体情境为学生提供了解决问题的方案，降低了思维的难度，由特殊到一般的推广符合学生的认知水平，易于学生理解和接受[1]. 但是该方法是教师直接抛出的，难免让学生产生困惑，例如这里的“2”是教师直接给出的，没有体现学生的思维过程：为什么是“2”呢？“2”是怎么出现的呢？虽然在一般化的证明中学生找到了解决问题的方案，但那仅是一种简单的套用，自主探究流于形式，并没有引发学生的深度思考，这样学生只会对错位相减法感到惊讶，难以产生深刻的印象，也难以重视;学生的思路被教师牵着走，难以激发探究热情，难以体会自主探索带来的成就感.

另外，教学中教师铺设了S，2S，求S时学生必然会选择②-①，虽然①-②和②-①在本质上没有区别，但是学生在没有理解和掌握错位相减法的前提下，若让学生将两式混减，无疑会增加学生的负担，不利于培养学生错位相减法常规操作习惯.

不过，以上教学过程也有其一定的优势，对于学习能力一般的学生来说，通过教师铺设方法的台阶，为学生提供探究线索，让学生在由特殊到一般的推导过程中能够“跳一跳，摘桃子”. 同时，在教师的点拨下，学生快速地找到了解决问题的方案，节省了学生探索的时间.

2. 方案2（借助猜想，寻找思维台阶）

通过课前导学，给出课题：如何求解S=1+2+22+…+263.

师：1=21-1，1+2=3=22-1，1+2+22=？（学生积极参与）

生1：1+2+22=7=23-1.

师：很好，那么1+2+22+23=？

生2：1+2+22+23=15=24-1.

经历以上思维过程，由不完全归纳法，猜想得S=1+2+22+…+263=264-1. 教师继续引导，猜想得1+2+22+…+2n-1=2n-1，30+31+32+…+3n-1=，40+41+42+…+4n-1=，继而通过猜想得出一般的结论：q0+q1+q2+…+qn-1=（q≠1）.

这样，通过以上猜想，等比数列的前n项求和公式呼之欲出——a+aq1+aq2+…+aqn-1=（q≠1）. 最后，在教师的点拨和启发下，运用错位相减法进行验证.

数学猜想作为一种创造性的思维活动，是数学学习中最积极、最活跃的因素之一，是推动数学发展的强大动力. 在数学教学中，教师应创设一定条件引导学生进行数学猜想，以此发展学生的逻辑推理能力和总结概括能力，培养学生敢于创新、勇于探索的精神. 本课突出了“归纳—猜想—证明”的数学思想方法，激活了学生的认知结构. 通过试真推理，从结构分析获得数学灵感，归纳猜想出了等比数列的前n项和公式，是一种较好的寻求结果的方法. 但是对于本课，学生通过猜想得到了结论，这样让学生失去了探究未知的热情，有可能造成学生解决问题的内驱力不足，影响学生后续推理验证的热情，影响学生思维能力的发展和提升.

3. 方案3（巧妙启发，为思维发展架桥铺路）

师：相信课前导学内容大家都已经认真阅读了，現在谁来说一说，每个格子所放的麦粒数可以看成什么数列？

生1：首项为1、公比为2的等比数列.

师：若想求出64个格子的麦粒数总和，其实质是求什么呢？

生2：求这个等比数列的和，S=1+2+22+…+263.

师：很好，如何算这个式子就是我们本节课研究的主题. 若将其符号化，即算S=a+a+a+…+a+a.

师：在此之前，我们学习过什么数列的求和公式？

学生齐声答：等差数列.

师：等差数列的求和公式是什么？（教师点名让学生回答）

生3：S==na+d.

师：很好. 那么对于等比数列，我们能不能也像等差数列那样，用已知的相关量将其简洁地表示出来呢？

师：我们学习过等比数列的定义及通项公式，并有等差数列的学习经验，那么运用这些已有知识和经验，你们是否能够推导出等比数列的前n项和呢？（教师预留5分钟让学生合作探究）

生4：根据定义可将S=a+a+a+…+a+a写成S=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①，两边同时乘q，得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn-1+aqn②.

师：同时乘q的目的是什么？（师追问）

生4：获得相同的项，由①-②得（1-q）S=a-aqn，所以S=（q≠1）.

師：很好，非常新颖，若q=1呢？

生4：若q=1，则S=na.

师：非常好的方法，我们一起回顾一下，以上推导有哪几个关键的步骤呢？

学生通过回顾一致认为，乘公比、错位、相减为推导的关键. 此时学生的思维活跃，教师顺势让学生尝试应用其他方法继续探究，但学生并没有提出新方法，于是教师给出了另外一种推导方法：

因为a=aq，a=aq，a=aq，…，a=aq，所以a+a+…+a+a=q（a+a+a+…+a），S-a=q（S-a），（1-q）S=a-aqn……

在本课教学中，从学生的已有经验出发，引导学生类比等差数列求和公式，寻找等比数列求和公式的推导方法，符合学生的认知结构特点和思维发展规律. 对于等差数列与等比数列的前n项和公式的推导，虽然错位方法不同，但是其数学思想和数学方法是一致的，因此与已有经验和方法相类比是行之有效的策略.

在教师细致入微的引导下，让学生的思维层层深入，通过合作探究完成了推导. 不过，让学生尝试应用其他方法进行推导，学生没有太多的发现，可见细致入微的引导在一定程度上限制了学生思维，影响了学生发展，为教学带来了一些遗憾. 其实，在实际教学中，教师可以少讲一些，多留一些时间和空间让学生独立思考和合作交流，这样在不同思维的碰撞下，更易于激发学生思维的火花[2].

4. 方案4（点拨思维，放手探究）

课上教师引入故事“棋盘上的麦粒”.

师：如果你是国王，你会答应这个要求吗？

学生齐声答：不会.

师：为什么？这个要求不高吧？不就是给点麦粒吗？

生1：这个要求还不高吗？这个加起来很多的，一共需要给1+22+…+263.

师：哦！是吗？判断多与少最好用数据来说话，这个算式应该怎么算呢？（提出问题）

此时学生窃窃私语，有的说可以用计算器算，有的说应该用计算公式.

师：如果通过计算器帮助国王解决了这个问题，又有其他人提出第一个格子放2颗麦粒，接下来每个格子都是前一个格子麦粒数的2倍，我们又该怎么办呢？如果第一个格子放3粒呢？这些都是一些类似的问题，我们必须要找到一般的解决方法才能帮助国王彻底解决这个难题. 谁来概括一下，这些类似的问题是哪一类问题？

生2：等比数列求和.

师：很好，这样把问题一般化，即求S=a+a+a+…+a+a. 对于这个问题，你认为我们可能遇到的最大障碍是什么？

生3：量太多，需要将“无限”转化为“有限”.

师：说得很好，确实量太多了，由a到a共有n个量，如何才能减少这些量呢？之前我们是否接触过类似的问题呢？

生4：在推导等差数列求和公式时接触过，同样也有n个量，利用倒序相加的方法消项，最后转化用a，n，d或a，a，d这三个基本量来表示.

师：很好，那么对于等比数列的前n项和公式是否也可以转化用三个基本量来表示呢？

生5：用a，n，q表示S=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①.

师：转化后项数还是太多了，如何消项呢？（点明思考方向）

生6：根据定义=q，则aq=a（n≥2），这样用定义推导是否可行呢？

师：是一个不错的思路，请大家围绕定义进行探索，看看你有哪些发现，看看是否能够找到不同的推导方法.

教师先让学生独立思考，3分钟后进行小组互动交流.

师：谁来和大家分享一下？

生7：整体乘q，得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn-1+aqn②.

师：你的目的是什么？

生7：乘公比后，①式和②式中就有许多相同的项，这样两式相减可消项. 由①-②得（1-q）S=a-aqn，S=（q≠1）. 若q=1，则S=na.

师：你是如何想到乘公比q的呢？

生7：根据定义可知，a=aq，a=aq，…，a=aq，每一项乘q，这样每一项就等于往后挪了一项.

师：非常棒. 完成这一操作需要几个步骤呢？

生7：共有四个步骤：乘公比;错位;相减;化简.

师：很好，生7的推导方法和课本不谋而合，这个方法我们称为错位相减法，非常完美的解法. 这样目标就可以用a，n，q这三个量来表示了. 你们还有其他方法吗？

生8：因为==…==q，所以=q，=q……

师：很好，利用合比定理，通过整体代换也实现了这一转化，得到了求和公式. 有什么需要注意的吗？

生9：分类讨论.

师：这是从严谨性来考虑. 还有其他问题吗？

生10：以上为分式结构，要确保分母不能为0.

生11：q为-1时，此方法也不适合.

师：很好，还有其他方法吗？

生12：a+a+…+a+a=q（a+a+a+…+a），S-a=q（S-a），（1-q）S=a-aqn……

生13：a=a+（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）=a+a（q-1）+a（q-1）+a（q-1）+…+a（q-1）=a+（q-1）（a+a+a+…+a）=a+（q-1）（S-a），所以可得S=

，q≠1，

na，q=1.

師：大家真是太棒了，通过构造、提取、整体代换，使公式转化为基本量的最简形式. 我想大家还有其他方法，但限于时间关系，这里就不一一探究了，课下同学们可以继续交流，分享你们的奇思妙想.

在本课教学中，教师通过创设问题使学生陷入矛盾，接下来通过启发、点拨，让学生在独立思考和合作探究中得出结论. 教学中，学生每给出一种方法，教师都会提出自己的疑问，以诱发学生深度思考，培养他们思维的严谨性，帮助他们完善思维. 以上探究活动既是基于学生原有认知的一种建构，又是对学生思维的一种发展，让学生在探究中学会思考、学会探索、学会合作.

[?]后续思考

1. 课堂教学应重视学生的认知规律和学习障碍，关注学生思维能力的发展和提升

在错位相减法生成的过程中，部分教师为了追求效率，在一定程度上忽视了学生的认知规律，教师牵着学生朝着自己预设的方向走，这样虽然在教师的引领下得出了结论，但学生掌握的仅仅是解决这一问题的方法，并不能认清问题的本质，更不能将其提升至思维的高度，因此出现了“知其然，而不知所以然”的情况. 这样的自主探究是被动的、低效的，难以促进学生的思维发展. 因此，在实际教学中，要为学生营造一个开放的学习空间，从学生的认知规律出发，带领学生切身经历方法的生成过程，明确思想方法，揭示思维本质，突破思维障碍，让学生的数学思维走上自然发展之路[3].

2. 课堂教学应以发展学生为目标，多一些启发和引导，少一些讲授和灌输

学生是课堂的主角，学生积极参与的课堂才是精彩的、有效的、高质的课堂. 但在实际教学中，教师成了大多课堂的主角，教学活动以教师为主，教师常将自己的经验和方法强加给学生，限制了学生的思维发展. 例如，在等比数列求和公式的推导活动中，对于多种解法应视学情而定：若是学生自行给出的，教师要为学生提供展示的舞台;若学生发现得少，教师应通过适当引导和启发，让学生“跳一跳”;若学生无法给出更多的解法，教师不要强求，只要学生能够掌握一两种解法即可. 教学中，教师切勿贪多，要视学情灵活调整教学策略，这样让学生真正参与其中，培养学生独立思考、勇于探索的好品质.

总之，在实际教学中应践行“三个理解”，以发展学生为目标，为学生提供一个自由的、广阔的学习空间，让其自由翱翔.

参考文献：

[1]  刘雪亮. 构建生本课堂，促进学生发展——对高中数学课堂有效教学的认识思考[J]. 数学学习与研究，2015（11）：62.

[2]  刘宇彻. 浅谈探究式教学在高中数学教学中的应用[J]. 求知导刊，2021（10）：75-76.

[3]  刘国旭. 探讨互助式教学在高中数学课堂中的应用[J]. 中国校外教育，2019（26）：137-138.