基于加速度频响函数小波变换的贝叶斯模型修正

2022-05-30王增辉彭珍瑞张亚峰董康立

振动与冲击 2022年10期

王增辉，殷红，彭珍瑞，张亚峰，董康立

(1. 兰州交通大学机电工程学院，兰州 730070;2. 浙江大学生物医学工程与仪器科学学院，杭州 310027)

近年来，模型修正技术在结构动力学领域逐渐成为研究热点，广泛应用于结构损伤识别和健康监测等领域[1]。当前绝大多数模型修正方法属于确定性方法，但由于结构材料、边界条件以及试验过程中必然存在不确定性因素，使确定性方法的应用受到限制[2-3]。而不确定性模型修正方法结合概率统计理论中的大数定理，利用结构动力学响应的统计特性对参数的统计特性进行间接估计，可充分考虑以上不确定性因素的影响，有效克服确定性模型修正方法的不足，具有良好的应用前景[4]。

基于贝叶斯统计理论的不确定性模型修正方法综合考虑历史数据和专家经验来预设待修正参数的先验分布，然后结合实测响应的统计信息不断修正先验分布，使之靠近参数的真实后验概率分布，广泛应用于不确定性模型修正领域[5]。但是，当传统贝叶斯方法用于复杂结构的模型修正时，通常存在似然函数和后验概率难以求解的缺点，因而通过直接积分的方式求取待修正参数的后验概率分布往往不可行。Beck等[6]引入马尔科夫链蒙特卡罗(Markov chain Monte Carlo, MCMC)算法解决积分运算问题。但传统MCMC算法样本的拒绝率高、采样效率低，极易出现“采样停滞”现象，即连续多次采样的解均为同一样本点，导致样本集不能充分反映参数空间的分布特征。针对传统MCMC算法采样效率低的问题，Ching等[7]提出过渡MCMC(transitional MCMC，TMCMC)算法，从一系列中间目标概率密度函数中采样，提高了采样效率。刘纲等[8]融合自适应算法和相关向量机模型，提出了一种快速的不确定性模型修正方法。彭珍瑞等[9]基于最大熵值法，将布谷鸟算法和标准MCMC算法进行融合，提高了样本的接受率。Cheung等[10]提出混合MCMC(hybrid MCMC, HMCMC)算法，以求解维度较高时不确定参数的模型修正问题。此外，传统MCMC算法在每次采样过程中均需要调用有限元模型进行计算，导致计算成本很高。因此，代理模型作为一种替代有限元模型进行快速迭代的方法引起了研究者的关注[11]。代理模型是利用输入(设计参数)与输出(感兴趣响应)之间的关系直接构造的一种近似模型。其中，Kriging模型是一种基于插值的代理模型，与其他代理模型不同，其利用少量样本就可以拟合出输入与输出之间的关系，并且不仅能给出参数的预估值，还可给出预测的误差，因此广泛应用于精密仪器设计和结构优化等领域。王巨涛等[12]将Kriging代理模型引入模型修正中进行迭代求解，验证了Kriging方法的有效性。秦仙蓉等[13]融合Kriging模型和多目标遗传算法对岸桥结构有限元模型进行了修正，提高了模型修正的效率。

此外，选择合适的结构响应也是模型修正问题的关键。基于模态参数的模型修正方法需要对结构进行模态分析，极易引入模态识别误差。基于频响函数(frequency response function, FRF)的模型修正方法不需要进行模态参数识别，可较好地避免识别误差，同时，FRF包含大量频率点信息[14]。但直接将FRF引入贝叶斯方法中，存在似然函数推导复杂且计算量大的问题。徐张明等[15]推导了基于FRF的灵敏度分析方程，利用不完备数据对多个参数进行了修正。曹诗泽[16]将FRF引入贝叶斯模型修正中，推导了FRF的解析概率模型。

在上述理论背景下，本文提出一种基于加速度FRF小波变换的贝叶斯模型修正方法。首先，引入模态参与变异系数准则[17]选取激励点，模态动能法[18]选取测点。其次，计算加速度FRF并进行小波变换，提取小波总能量作为Kriging模型输出，待修正参数作为Kriging模型输入，采用粒子群算法寻得最优相关系数以构造Kriging模型。然后，以延缓拒绝策略为基础，融合天牛须算法中更新天牛质心位置的方法产生新的候选样本来估计待修正参数的后验概率分布，以提高马尔科夫链的收敛性能。最后，通过车辆三自由度系统和空间桁架结构算例验证了本文方法的有效性。

1 FRF特征量提取

1.1 FRF理论

对于一个n自由度阻尼系统，其基本动力学方程可以表示为

(1)

式中：M，C，K分别为质量、阻尼和刚度矩阵；F为系统激励；X(t)为位移向量。在简谐激励作用下，经傅里叶变换可得到频域内的稳态响应X(ω)

X(ω)=H(ω)F(ω)

(2)

式中：H(ω)为加速度FRF矩阵；ω为激励频率；则加速度FRF矩阵可表示为

(3)

1.2 小波变换

小波变换作为一种信号处理的重要研究方法，具有多分辨率分析的特点，小波总能量是一项重要特征，其对结构的局部轻微变化十分敏感[19]。选定小波基函数，一组时域信号的连续小波变换可表示为

(4)

式中： (Wψf)(a,b)为小波系数；a和b分别为分解尺度和平移参数；ψ*(t)为小波基函数ψ(t)的共轭复数。(Wψf)(a,b)=〈f(t),ψj,k(t)〉，将a和b离散化，令a=2-j，b=2-jk，j,k∈Z，得离散小波变换

(DWψf)(j,k)=〈f(t),ψj,k(t)〉

(5)

对信号进行离散小波变换时，首先进行小波分解得到小波系数，每个分解尺度的小波能量(小波分量能量)为该层所有小波系数能量的总和，将各个尺度下的小波能量相加即为小波总能量。该过程可表示为

(6)

式中：Ej为第j尺度下的小波能量；Cj(k)为第j尺度下的第k个小波系数。本文对加速度FRF进行离散小波变换，提取小波总能量替代加速度FRF进行模型修正。

2 Kriging模型的构造

2.1 Kriging模型理论

Kriging模型是一个基于随机过程的代理模型，拥有对非线性函数良好的拟合预测能力以及误差估计功能[20]。Kriging模型将未知函数看作高斯过程的具体实现，该过程包括线性回归和非参数部分

(7)

式中：f(x)=[f1(x),f2(x), …,fp(x)]T为多项式函数；β=[β1,β2, …,βp]T为回归模型系数；z(x)为服从正态分布N(0,σ2)的静态随机过程。用含两样本点空间距离的函数表示响应z(x)之间的相关性，选取贴合工程实际的高斯函数作为相关函数，其形式为

(8)

由最大似然法训练模型参数，可求得

(9)

(10)

式中：F为样本点向量组成的矩阵；Y为响应列向量；R为相关矩阵，其中元素Rij=R(xi,xj)(i,j=1,2,…,n)，n为试验点数；σ2和β均为θk的函数，所以Kriging模型中唯一未知数即为θk。

2.2 粒子群算法优化Kriging模型相关系数

文献[21]介绍了Kriging模型理论及影响其精度的关键因素，Kriging模型的相关系数θk决定着代理模型的精度。在MCMC采样过程中，构造满足精度要求的Kriging模型可改善后验密度与目标密度之间的匹配度，进一步提高模型修正效率，所以相关系数θk的选取对于Kriging模型的预测精度十分重要。

本文将测试集样本代入已训练的初始Kriging模型中得到均方误差(mean square error, MSE)矩阵，然后对MSE矩阵依次按列、行求取均值，将该均值作为优化算法的适应度函数值。选用结构简单、寻优速度较快的粒子群(particle swarm optimization, PSO)算法[22]进行相关系数寻优。最后结合最优相关系数和训练集样本构造Kriging模型，采用均方根误差(root mean square error, RMSE)检验其精度。

3 贝叶斯推理及天牛须搜索理论

3.1 贝叶斯理论

基于贝叶斯的模型修正结合先验信息(主观信息)和测试数据(客观信息)，采用MCMC方法推断修正参数的后验概率分布。这一过程可用贝叶斯公式表达为

(11)

式中：D为观测信息；θ为所有待修正参数构成的向量； π(θ)为待修正参数θ的先验分布，通常取为广义无偏见的均匀分布， π(θ)=1；p(D|θ)为在θ给定下的条件分布，通常称为似然函数；c为常数因子，通常称为正则化常数。假设进行N次独立试验，则贝叶斯公式中似然函数的表达式为

(12)

式中：yi为测试响应；y(θ)i为模型计算响应；covy为测试信息协方差矩阵。将式(12)代入式(11),则参数的后验概率分布可进一步写为

(13)

式中，c′为与θ无关的常数，在实际工程问题中，通常响应y(θ)无显式表达式，积分运算较为困难，故采用MCMC抽样算法计算参数的后验概率分布，以解决复杂积分运算问题。

MH(Metropolis-Hastings)抽样是目前应用最广的MCMC算法之一，大部分MCMC算法均为标准MH抽样的扩展，其最突出的特点是通过抽样获取后验样本，构造合适的马尔科夫链来估计参数的统计特征。MH抽样的主要步骤为：

步骤1选择合适的初始样本θ0，使p(θ0|D)>0，D为响应矩阵；

步骤2选择合适的建议分布q(θ*,θt)，利用当前样本值θt，从建议分布中产生一个新的候选样本θ*；

步骤3由当前样本θt和候选样本θ*，计算接受概率

α=min[1,p(θ*|D)/p(θt|D)]

(14)

步骤4从均匀分布U(0,1)中产生随机数μ，若α>μ，则接受候选样本θ*，即θt+1=θ*；否则拒绝候选样本θ*，即θt+1=θt；

步骤5重复步骤2～步骤4，直至达到设定的抽样次数时终止迭代，产生收敛序列，即马尔科夫链；

步骤6用去掉燃烧期后的马尔科夫链来估计参数的统计特征，从而获得修正后的参数值。

因高斯分布在工程实际中应用广泛且计算简便，故本文选用高斯分布作为建议分布。

3.2 天牛须搜索算法

天牛须搜索算法是一种受天牛觅食行为启发的智能优化算法，其仅需一个天牛且能避开复杂的梯度计算，在一般的优化问题中，可自适应地实现寻优[23]。算法分为搜索和检测两个阶段。其中，搜索阶段可表示为

(15)

式中：xl和xr分别为天牛左、右须的位置坐标；di为i时刻天牛两须之间的距离，也称为感知距离，决定着算法的搜索空间；b为单位化的随机方向向量。

检测阶段产生下一时刻天牛质心的位置，表示为

xi=xi-1+δi·b·sign[F(xl,X)-F(xr,X)]

(16)

式中：F(·)为目标函数，即食物气味浓度；X为位置坐标；δi为i时刻的搜索步长。引入指数衰减模型来不断更新δ和d，衰减模型可表示为

(17)

式中：d0和δ0为感知距离和搜索步长的初始值；ad和aδ为衰减系数；i为搜索次数；Hd和Hδ为衰减常数。

4 基于改进MH抽样的模型修正

4.1 引入天牛局部随机搜索的改进MH抽样

由上文可知，当参数维度增加时，MH抽样极易出现“停滞”现象。解决该问题较好的方法是采用延缓拒绝(delayed rejection, DR)策略，基本思想是在被拒绝的样本点基础上以新的建议分布产生一个新的候选样本点。但DR策略中每个候选点可能需要计算多个接受率，计算量大[24]。考虑贝叶斯推理本质是基于最大似然估计，即寻找尽可能使似然函数取得最大值的一系列解，由式(12)似然函数p(D|θ)的表达式可知，似然函数最大值对应的解即为指数项[-L(θ)]最大值所对应的解。将似然函数的指数项[-L(θ)]作为天牛须搜索算法的目标函数以引导天牛个体搜索。考虑DR策略计算成本问题，当候选样本点被拒绝后，利用天牛个体更新质心位置的方法，在该点基础上进行局部搜索以产生新的候选样本点，并利用天牛须搜索算法左、右须的比较机制和Metropolis收敛准则来保证采样质量。值得说明的是，虽然候选样本点在Metropolis准则下被拒绝，但其已经位于较好的样本点附近，因此要将天牛须搜索算法中感知距离和搜索步长的初始值设置得较小。具体采样步骤如下：

步骤1初始化马尔科夫链θ(t)(t=1,2,…,n)，选择建议分布q(θ*,θt)，其中，t为迭代次数，n为总迭代次数；

步骤2获取马尔科夫链的初始样本点θ0，即从先验分布中抽样产生θ0；

步骤3在第t时刻，当前样本为θt，由MH抽样产生新的候选样本θ*，计算接受概率α并判断是否接受候选样本；

步骤4当α>μ时，接受该样本θ*，即θt+1=θ*；当α<μ时，进入下一步骤；

步骤5以DR策略为基础，融入天牛须搜索算法中天牛个体更新质心位置的思想：

(a) 初始化搜索参数，将步骤4的候选样本θ*作为天牛初始的质心位置，即x0=θ*；

(b) 以式(12)中似然函数表达式的指数项[-L(x)]作为搜索的目标函数，引导天牛个体进行随机搜索；

(d) 达到设定的搜索次数时终止搜索并根据天牛质心位置(即新的候选样本)θζ，计算接受率αζ(依据MH算法判断接受状态θt+1=θζ，否则θt+1=θt)；

步骤6增加迭代次数t，重复步骤3～步骤5，直至产生一个收敛序列，即马尔科夫链，停止迭代。

4.2 模型修正流程

本文提取小波总能量作为FRF的响应特征量，将FRF间接引入到贝叶斯模型修正中。为考虑马尔科夫链的收敛性能以及计算成本问题，本文从全局抽样和局部随机游走两个角度出发，构建了一种贝叶斯模型修正框架。具体的模型修正流程如图1所示。

图1 模型修正流程图Fig.1 Flow chart of model updating

5 激励点和测点的选取原则

针对模态试验中激励点和测点的选择问题，本文采用模态参与变异系数准则选取最优激励点，模态动能法选取最优测点。

5.1 模态参与变异系数准则

模态参与度用来评价结构各个自由度对激发感兴趣模态的贡献，可表示为

(18)

式中：p和q分别为输出和输入自由度；N为结构的自由度总数；r为感兴趣的模态阶数；Apqi为留数。

假设结构为比例阻尼，则式(3)的FRF可表示为

(19)

式中：φpi和φqi分别为模态矩阵的第(i,p)项和第(i,q)项；ωi为第i阶模态频率；ξi为第i阶模态阻尼。式(18)中的留数可进一步表示为

Apqi=φpiφqi

(20)

结构的第q自由度对激发所有感兴趣模态的贡献值可表示为

(21)

Wq值越大，说明该自由度对激发感兴趣模态的贡献度越大。由于本文的模态试验为多输入多输出的方式，故选取贡献度较大的自由度作为激励点。

5.2 模态动能法

模态动能法是一种量化的测点配置方法。依据模态理论可知，结构的自由振动可表示为各阶模态的线性叠加，因此结构的实际振动情况可通过模态振型进行描述。模态振型动能值可以反映某点对模态振型的贡献度，如果某点的模态动能值最大，则说明该点是振动最敏感的点，即最优测点。模态动能理论可由式(22)表示

MKE=φTMφ

(22)

式中：φ为模态振型矩阵；M为结构质量矩阵；考虑边界条件，M为正定矩阵，对其进行正交分解得

M=LTL

(23)

则式(22)可进一步写为

MKE=φTLTLφ=ψTψ=A0

(24)

E=ψ[ψTψ]-1ψT

(25)

按照矩阵E对角元素的大小对测点进行排序，每次迭代中删除模态动能最小值对应的测点，直至保留到满足要求的测点数目为止。

6 算例及结果分析

6.1 算例一：车辆三自由度系统模型

如图2所示：m3为车体质量；m2为转向架质量；k3和c2为二系悬挂装置的刚度和阻尼；k2和c1为一系悬挂装置的刚度和阻尼；k1为减震器端部刚度；c1，m1和k1构成一个减震器模型。

图2 车辆三自由度系统模型Fig.2 Model of 3DOFs vehicle

采用均匀试验设计方法在参数范围内抽取200组数据作为训练集，40组数据作为测试集。利用1.1节的式(3)计算加速度FRF并进行小波变换，提取小波总能量作为Kriging模型的输出，构造Kriging模型。

分别采用4.1节方法和标准MH算法进行采样，经过20 000次迭代后得到参数样本的马尔科夫链，如图3所示。由图3(a)和图3(b)对比可知，两种方法得到的马尔科夫链均能收敛到预设的参数均值，但标准MH算法得到的马尔科夫链出现很多平滑段，说明采样过程中出现“采样停滞”现象，即连续多次重复同一样本，虽然样本协方差小，但样本不能充分反映参数空间的分布特征；而所提算法得到的马尔科夫链能够快速收敛且一直保持波动状态，样本遍历性明显优于前者。同时，由式(14)计算样本的接受率，相比标准MH算法21%的接受率，本文所提算法的接受率为62%左右，样本的接受率明显提高。

图3 不同算法产生的马尔科夫链Fig.3 Markov chains generated by different algorithms

依据概率统计中关于正态概率检验的相关知识对图3的后验样本进行分析：因非平稳期样本会对统计特征造成干扰，影响参数均值的估计精度，所以先剔除图3(b)中马尔科夫链前10%样本，再对剩余样本进行正态概率检验，结果如图4所示。由图4可知，去除非平稳的样本等劣质样本后，本文方法获得的3个参数的绝大多数后验样本都能落在假设的正态分布线上，所以样本的质量较高，正态分布假设成立。

依据后验样本的统计特征估计修正后的参数均值，结果如表1所示。由表1可知，经所提方法修正后的参数误差皆可控制在0.3%以内，且修正误差均优于标准MH算法，所提方法可以获得较好的修正效果。

图4 样本的正态概率检验图Fig.4 Normal probability test diagram of samples

表1 车辆三自由度系统修正前后参数均值Tab.1 Mean values of parameters before and after updating of the vehicle 3DOFs system

6.2 算例二：空间桁架结构模型

空间桁架结构如图5所示。该结构包括28个节点，66个杆单元，节点铰接，约束条件为4个支座固定(节点编号1,8,9,16)，每个节点只考虑Y向和Z向的平动自由度，依次对所有节点的Y、Z方向的自由度进行编号，共48个自由度，将参数的初始均值赋予该结构作为模型修正的初始模型。利用第5.1节的模态参与变异系数准则选取激励点，结构各个自由度的Wq值如图6所示。

图5 空间桁架结构模型Fig.5 Structure model of the space truss

图6 模态参与度值Fig.6 Values of modal participation

结合图6的模态参与度和实测方便性，选取桁架第3节点Y方向自由度、第6节点Y方向自由度和第11节点Y方向自由度作为激励点。值得说明的是，由图6可知，对于激发前4阶模态贡献较大的均为Y方向自由度，这也与桁架的结构特点相符。

利用5.2节的模态动能法选取测点，计算各个自由度的模态动能，选择结构第18节点Y方向自由度、第24节点Y方向自由度和第26节点Y方向自由度作为测点，激励点和测点位置见图5。

将桁架分为上弦杆、中部杆(直腹杆和斜腹杆)和下弦杆三部分。因大多数情况下发生的损伤会导致结构刚度发生显著变化，主要表现为弹性模量存在不确定性。选取三组杆件的弹性模量作为待修正参数，分别为θ1=E1/E0，θ2=E2/E0，θ3=E3/E0，其中初始弹性模量E0为190 GPa，假设各参数实测均值服从正态分布矩阵[1.5，1.2，0.8]，标准差都为0.1。设置参数均值的取值范围分别为[0.9，2.1]，[0.6，1.8]和[0.3，1.3]。

利用式(3)计算对应激励点和测点的加速度FRF并进行小波变换，选取小波基函数为“db1”，分解尺度数为3，提取小波总能量作为模型修正的响应特征量。采用2.2节方法构造满足精度要求的Kriging模型，选用4阶小波总能量的RMSE值来检验所构造的Kriging模型的精度，将程序运行10次，统计结果如表2所示。由表2可知，构造的Kriging模型预测精度很高，可替代有限元模型进行迭代计算。分别采用本文4.1节方法和标准MH算法进行采样，采用4.1节方法所抽取样本的分布云图以及相应的置信椭圆如图7所示，椭圆内的区域表示含95%样本的区域。由图7可知，本文方法所抽取的绝大多数样本点都能位于95%的高概率区域，后验样本的质量较高。

表2 Kriging代理模型精度检验Tab.2 Accuracy test of Kriging surrogate model

图7 分布云图及置信椭圆Fig.7 Distribution cloud maps and confidence ellipse

采用标准MH算法和本文所提方法采样20 000次获得的马尔科夫链，如图8所示。由图8(a)和图8(b)对比可知，所提算法得到的马尔科夫链能够一直保持波动状态，很少出现标准MH算法的“采样停滞”现象，样本的遍历性明显优于标准MH算法。由式(14)分别计算两种方法所抽取样本的接受率，标准MH算法样本的接受率约为21%，本文所提方法约为52%，样本接受率明显提高。

图8 不同算法获得的马尔科夫链Fig.8 Markov chains generated by different algorithms

由马尔科夫链估计参数均值，参数均值的修正结果如表3所示。由表3可知，参数均值的修正误差皆小于0.8%，且3个参数的修正误差均优于标准MH算法，表明所提方法进行不确定性模型修正取得了很好的效果。为进一步验证所提方法的修正效果，使用表3中的参数均值分别计算试验、修正后以及初始模型的加速度FRF，其对应的FRF曲线，如图9所示。由图9可知，修正后均值模型加速度FRF曲线与试验均值模型加速度FRF曲线充分接近，基本重合。同时，在处理器为AMD R7 4800U的计算机上运行DR算法，DR算法修正时间为48.6 s，改进算法修正时间为42.3 s，本文方法修正时间小于DR算法。

表3 空间桁架结构修正前后参数均值Tab.3 Mean values of parameters before and after updating of the space truss structure

图9 频响函数曲线Fig.9 Frequency response function curves

7 模型修正影响因素分析

7.1 考虑噪声影响的模型修正

由于实际试验过程中，考虑测得的FRF信号将不可避免地受到噪声的干扰。因此，为了验证本文方法的抗噪性，对算例二中的加速度FRF信号施加一定的高斯白噪声来模拟实测数据的噪声污染，信噪比分别为30 dB，20 dB，10 dB和5 dB。将程序运行10次取均值，修正后各参数的后验均值误差如图10所示。由图10可知，随着噪声增大，虽然各参数的修正误差也逐渐增大，但基本都能保持在5%以内，表明所提方法对噪声具有良好的鲁棒性。

图10 不同噪声水平下的参数修正误差Fig.10 Parameter updating errors at different noise levels

7.2 考虑小波基函数种类影响的模型修正

小波基函数的选取对于离散小波变换十分重要，采用不同的小波基函数对同一分析信号进行变换得到的小波系数不同。为验证本文方法在不同小波基函数下的修正效果，本文以算例二的加速度FRF为分析信号，选取工程中常用的db4小波、haar小波、coif3小波和sym6小波作为小波变换的基函数，按照图1的流程进行模型修正。修正后得到的马尔科夫链如图11所示。图11中的小波基函数1～4分别对应于上述4种小波。将程序运行10次后取均值，修正结果如表4所示。

图11 不同小波基函数下的马尔科夫链Fig.11 Markov chains of different wavelet basis functions

表4 不同种类小波基函数下的修正误差Tab.4 Updating errors of different wavelet basis functions %

由图11和表4可知，在以上4种小波基函数的情况下，本文方法所获得的马尔科夫链均能较好地收敛到参数的预设均值，且参数的修正误差基本保持在1.5%以内，说明所提方法对于小波基函数种类的选取具有鲁棒性。值得说明的是，参数θ1的马氏链较另外两个参数的马氏链波动较大，反映出参数θ1的灵敏度略差，但不影响对小波基函数鲁棒性的判断。

7.3 考虑分解尺度数影响的模型修正

为研究小波分解尺度对于修正效果的影响，以算例二的加速度FRF为分析信号，选取‘db1’为小波基函数，分别在不同分解尺度数下按照图1的流程进行模型修正。限于篇幅，仅给出分解尺度数为2层、3层、4层和5层的情况下所得到的马尔科夫链，如图12所示。将程序运行10次后取均值，修正误差如表5所示。

图12 不同小波分解尺度下的马尔科夫链Fig.12 Markov chains of different wavelet decomposition scales

表5 不同小波分解尺度下的修正误差Tab.5 Updating errors of different wavelet decomposition scales %

综合图12和表5可知，分解尺度数为4和5时的马氏链波动略大，其与不同分解尺度数下构造的Kriging模型的精度不同有关，故在模型修正过程中要尽可能地保证代理模型的精度。但从整体来看，本文方法在不同分解尺度下获得的马尔科夫链均能收敛到预设的参数均值，且修正精度基本保持在2%以内，小波分解尺度对修正结果基本没有影响。分析原因是：不同的分解尺度会改变小波系数在特定尺度下的分布情况，但不会改变小波总能量值，所以提出的模型修正方法对于小波分解尺度具有良好的包容性。