具有非线性时滞项的分数阶混沌系统ADM求解与动力学分析

付海燕, 雷腾飞, 贺金满, 臧红岩

(1. 齐鲁理工学院 机电工程学院, 济南 250200； 2. 中原工学院 理学院, 郑州 450007)

自Mandelbrot[1]在自然界中发现分维现象后, 分数阶微积分已引起人们广泛关注. 分数阶在量子力学、 电磁学振荡、 系统控制和材料力学等领域应用广泛[2], 其中分数阶小波变换、 分数阶Fourier变换与分数阶图像处理等技术可用于信号处理. 对分数阶混沌系统的研究已取得较多成果[3-9].

目前, 分数阶算子主要有Grunwald-Letnokov (G-L) 定义[10]、 Caputo定义和Riemann-Liouville (R-L) 定义[11], 其中Caputo定义应用范围更广. Li等[12]基于频域算法设计了分数阶混沌系统的动力学分析及Lyapunov指数谱算法, 由于频域算法通过阶数的Laplace变换得到, 因此存在阶数无法更改的缺点； 文献[13]用Adomian分解法(ADM)对非线性项进行迭代数值逼近, 并通过MATLAB软件进行了仿真分析, ADM运算速度较块, 误差小, 数值求解仿真可节省计算机资源； 文献[14]基于同伦算法设计了分数阶混沌系统, 并分析了分数阶混沌系统随参数和阶数变化的动力学特性, 但均未考虑系统时滞特点; 文献[15]用LQG-Pade逼近合拍对汽车悬架时滞系统进行了分析和优化； 文献[16]提出了基于时滞代换的自适应分散容错控制； 文献[17]在分数阶混沌系统基础上增加了时滞项, 并设计了系统的同步控制器, 但未分析系统特性； 文献[18]对整数阶时滞系统进行了同步控制, 并将同步控制方法运用到通信加密中, 实现了发送端与接收端的同步, 但未研究分数阶系统.

本文以具有非线性时滞项分数阶Lü混沌系统为研究对象, 采用ADM对系统非线性项进行分解, 时滞项对应的分解项均为时滞项, 分解后的结果用MATLAB软件仿真, 并利用分岔图、 复杂度和相轨迹等动力学工具分析系统参数对系统的影响.

1 非线性时滞项分数阶Lü混沌系统

文献[19]在Lü混沌系统的xy项上添加了时滞, 并将整数阶算子改为分数阶算子, 提出了含有非线性时滞项分数阶Lü混沌系统的动力学方程

(1)

其中x,y,z为系统的状态变量,a,b,c为系统参数.

令初始状态为

(2)

根据ADM和分数阶微积分基本性质可得

(9)

由ADM可得系统(1)的数值解为

(10)

用MATLAB软件对式(10)进行数值仿真, 当a=30,b=2.93,c=22.2,q1=q2=q3=q=0.95,τ=0.02, 步长h=0.01时, 系统(1)的相轨迹如图1所示.由图1可见, 系统(1)存在混沌吸引子.采用0-1测试验证x,y两个序列的混沌特性, 结果如图2所示.

图1 系统(1)的相轨迹Fig.1 Phase trajectory of system (1)

图2 系统(1)的0-1测试结果Fig.2 0-1 test results of system (1)

2 单参数变化系统的分岔图和复杂度

为研究系统(1)的非线性动力学行为, 用ADM分析系统(1)的时间序列. 先用最大值法获取系统分岔图, 再用时间序列的复杂度和熵分析系统的复杂度[20-21]. 由于系统仿真延时必须为步长的整数倍, 因此延时为0.01～0.03即可出现混沌.

2.1 参数q的变化

当参数a=30,b=2.93,c=22.2,τ=0.02,q∈[0.7,1], 步长为0.005时, 分数阶阶数变化下系统(1)的分岔图与谱熵复杂度(SE)和C0复杂度如图3所示. 由图3可见： 当q=0.7时, 系统(1)出现混沌现象, 即最小阶数; 当q∈(0.7,0.73]时, 非线性项分数阶时滞Lü系统分岔图为空白, 这是由于该区间系统处于发散状态所致, 由于系统处于发散状态时的数值解无限变大, 因此无法计算该区间系统的复杂度, 系统复杂度与分岔图一致； 当q∈(0.73,1]时, 该区间系统处于混沌状态, 对应的系统复杂度SE/C0数值较大; 在系统进入混沌区域后, 随着系统分数阶阶数q变大, 系统复杂度减小.在图像加密、 通信保密、 化工搅拌以及混沌理疗中, 系统复杂度越高效果越好, 在系统处于混沌下, 通过图3(B)可得到复杂度最大时对应分数阶数的q值.

图3 参数q变化时系统(1)的分岔图(A)与复杂度(B)Fig.3 Bifurcation diagram (A) and complexity (B) of system (1) when parameter q changes

2.2 参数a的变化

当参数b=2.93,c=22.2,q=0.95,τ=0.02,a∈[25,50]时, 系统(1)的分岔图与复杂度如图4所示.由图4(A)可见: 系统(1)是倍周期(PDB)分岔方式, 由周期状态进入混沌状态; 当a∈[25,27.9)∪(43,50]时, 系统(1)处于周期状态, 该区间对应的系统SE/C0复杂度较小； 当a∈[27.9,43]时, 该区间系统(1)处于混沌状态, 对应的系统SE复杂度约为0.65, C0复杂度约为0.45, 复杂度数值相对较大.参数a变化时系统(1)的相图如图5所示.由图5可见, 当a分别为28,28.7,27.5,44时, 系统(1)分别为一周期、 二周期、 四周期和一周期.

图4 参数a变化时系统(1)的分岔图(A)与复杂度(B)Fig.4 Bifurcation diagram (A) and complexity (B) of system (1) when parameter a changes

图5 参数a变化时系统(1)的相图Fig.5 Phase diagrams of system (1) when parameter a changes

2.3 参数b的变化

当参数a=30,c=22.2,τ=0.02,b∈[0,5]时, 系统(1)的分岔图与复杂度如图6所示.由图6(A)可见: 系统通过鞍结点分岔由周期状态进入混沌状态； 当b∈(3.5,4]时, 系统(1)处于周期状态, 该区间对应系统SE复杂度约为0.1, C0复杂度约为0.02, 复杂度数值相对较小； 当b∈(0,3.5]时, 系统处于混沌状态, 系统的SE复杂度约为0.6～0.7, C0复杂度约为0.3～0.4, 系统复杂度度数值相对较大. 参数b变化时系统(1)的相图如图7所示.由图7可见, 当b分别为4和4.5时, 系统(1)分别为二周期和一周期.

图6 参数b变化时系统(1)的分岔图(A)与复杂度(B)Fig.6 Bifurcation diagram (A) and complexity (B) of system (1) when parameter b changes

图7 参数b变化时系统(1)的相图Fig.7 Phase diagrams of system (1) when parameter b changes

3 双参数变化下的复杂度

当参数a=30,b=2.93,τ=0.02,c∈[5,25]和q∈[0.6,1]时, 系统(1)的复杂度如图8所示.由图8可见： 复杂度高(颜色深)的区域集中于参数c大且q小的区域, 若q太小, 则系统处于发散区域即空白处； 在复杂度较高的区域, 系统受阶数q影响较大, 参数c和a对系统的影响具有相似性, 当c≈20,q≈0.75时, 系统出现最大复杂度, 为系统应用于图像、 声音以及视频等多媒体领域的保密通信提供了重要的参数选择依据.

图8 参数c和q变化时系统(1)的复杂度Fig.8 Complexity of system (1) when parameter c and q change

综上, 本文基于ADM, 通过系统的相轨迹图、 分岔图和复杂度等数值仿真工具, 分析了含有非线性时滞项Lü混沌系统的非线性特性, 并在分数阶系统中增加了参数q, 采用MATLAB软件对参数q进行仿真. 结果表明, 在一定范围内, 系统的复杂度随分数阶的增大而减小, 分数阶系统出现混沌现象的概率大于整数阶系统.