交换环上的w-P-平坦模及其应用

夏伟恒, 乔 磊, 宋菲菲

(四川师范大学 数学科学学院, 成都 610066)

0 引 言

平坦模是模理论和同调理论中的重要模类之一, 平坦模的推广目前已得到广泛关注. 李珊珊等[1]介绍并讨论了一类广义的平坦模, 称为P-平坦模.P-平坦模与Hattori[2]提出的无挠(torsion-free)模概念等价, 同时P-平坦模还可视为(m,n)-平坦模[3](也称为n-平坦模[4])的特殊情形.P-平坦模可以刻画von Neumann正则环(简称为VN正则环), 即环R是VN正则环当且仅当每个左(右)R-模是P-平坦模[1]. Mao等[5]研究了无挠模和可除模及P-凝聚环的相关性质, 给出了模与环的无挠维数和可除维数, 并借助维数给出了VN正则环和p.p环(即每个主理想是投射理想的环)的新刻画.尽管P-平坦模的概念可以定义在任意有单位元的结合环上, 但交换环上的P-平坦模有一些优良性质.例如: 整环上的P-平坦模恰为经典的无挠模[1]； 交换环上的P-平坦模满足局部整体原理[6].关于交换环上P-平坦模的研究可参见文献[6-9].Wang[10]引入了整环上相对于w-算子的平坦模, 即w-平坦模, 这里的w-平坦模要求是整环上的无挠模； Yin等[11]将整环上的w-模理论推广到了一般交换环上; Kim等[12]将w-平坦模的概念推广到了一般交换环上.w-平坦模是对交换环上平坦模的推广, 也可以刻画VN正则环, 即交换环R是VN正则环当且仅当每个R-模是w-平坦模[13].同时, 其也可以用于刻画乘法理想理论中产生的一类重要的整环——Prüferv-乘法整环(简称为PvMD)[14], 即整环R是PvMD当且仅当每个无挠R-模是w-平坦模[12].关于w-平坦模的研究可参见文献[15-17].

如无特殊说明, 本文所有的环均为有单位元的交换环, 所有的模均为酉模.特别地, 用R表示这样的环.本文考虑对P-平坦模也进行w-模化理论研究.为此, 首先引入w-P-平坦模的概念, 并给出w-P-平坦模的若干等价刻画及性质, 证明交换环R是VN正则环当且仅当每个R-模是w-P-平坦模; 其次, 给出每个理想都是w-P-平坦的环(称为w-p.f环), 以及w-p.f环的一些等价刻画和性质； 最后, 讨论一类特殊的w-p.f环----p.p环, 证明交换环R是p.p环当且仅当R是w-p.f环且R的完全商环为VN正则环.

1 预备知识

设J是R的有限生成理想, 若自然同态φ:R→J*=HomR(J,R)是同构的, 则J称为R的Glaz-Vasconcelos理想, 简称GV-理想[11], 并记J∈GV(R).设M为R-模, 记

torGV(M)={x∈M|存在J∈GV(R), 使得Jx=0},

则torGV(M)是M的子模, torGV(M)称为M的完全GV-挠子模.特别地, 若torGV(M)=M, 则M称为GV-挠模.若torGV(M)=0, 则M称为GV-无挠模.

Mw={x∈E(M)|存在J∈GV(R), 使得Jx⊆M},

则Mw称为M的w-包络, 其中E(M)是M的内射包.因此, GV-无挠模M是w-模当且仅当Mw=M.

设f:M→N是R-模同态.若对R的任何极大w-理想m,fm:Mm→Nm都是单同态(满同态或同构), 则f称为w-单同态(w-满同态或w-同构).设A→B→C是R-模与同态的序列.若对R的任何极大w-理想m,Am→Bm→Cm都是正合列, 则序列A→B→C称为w-正合列[21].对w-正合列0→A→B→C→0及任何R-模M, 若诱导序列0→M⊗RA→M⊗RB→M⊗RC→0仍是w-正合列, 则序列0→A→B→C→0称为w-纯正合列.特别地, 若模A是模B的子模, 且序列0→A→B→B/A→0是w-纯正合列, 则A称为B的w-纯子模[22].

2 交换环上的w-P-平坦模

如果对任何R的左主理想P都有0→M⊗RP→M⊗RR为正合列, 则右R-模M称为P-平坦模.P-平坦模与无挠(torsion-free)模[2]是等价的.若对任何(a,λ)∈A×R满足λa=0, 均有a∈r(λ)A成立, 则左R-模A称为无挠模, 其中r(λ)为λ的右零化子.显然, 平坦模是P-平坦模.

定义1如果对R的任意主理想P, 诱导同态M⊗RP→M⊗RR均为w-单同态, 则R-模M称为w-P-平坦模.

显然,P-平坦模和w-平坦模都是w-P-平坦模.下面给出w-P-平坦模的一些等价刻画.

定理1设M为R-模, 则下列结论等价:

1)M为w-P-平坦模；

2) 对R的任何素w-理想p,Mp是P-平坦的Rp-模;

3) 对R的任何极大w-理想m,Mm都是P-平坦的Rm-模；

5) 对R的任意主理想P, 自然同态μ:M⊗RP→MP都是w-同构；

6) 对任意(s,x)∈R×M满足sx=0, 均存在J∈GV(R), 使得Jx⊆annR(s)M.

证明: 1)⟹2).设N=Pp是Rp的主理想, 其中P是R的主理想.由于M为w-P-平坦模, 则M⊗RP→M⊗RR为w-单同态.故(M⊗RP)p→(M⊗RR)p为单同态, 从而Mp⊗RpPp→Mp⊗RpRp为单同态, 于是Mp为P-平坦Rp-模.

2)⟹3)显然.

4)⟹1).设P为R的主理想, 对正合列0→P→R→R/P→0, 由文献[12]中命题3.2可得w-正合列

设m为R的任何极大w-理想, 则可得正合列

3)⟺5).设N≅Pm为Rm的主理想, 其中P为R的主理想.由Mm为P-平坦Rm模及文献[1]中命题1的(3)可知, 自然同态μm:Mm⊗RmPm→MmPm为同构.从而自然同态μ:M⊗RP→MP为w-同构.

4)⟺6).由文献[2]中命题1可知,

取P=(s), 则结论成立.

推论1GV-挠模是w-P-平坦模.

证明: 设M为GV-挠模,m为R的任何极大w-理想.由GV-挠模的性质可知Mm=0, 即Mm为P-平坦模.由定理1中3)可知,M是w-P-平坦模.证毕.

任何循环P-平坦模是平坦模[8], 下面给出w-P-平坦模的类似性质.

命题1任何循环w-P-平坦模M是w-平坦模.

命题2设w-正合列0→A→B→C→0, 若A,C均为w-P-平坦模, 则B为w-P-平坦模.

证明: 由条件及文献[12]中命题3.2知, 对R的任何主理想P, 序列

P-平坦模[27]和w-平坦模[12]关于正向极限均封闭.下面给出w-P-平坦模关于正向极限也是封闭的结论.

证明: 设m为环R的任何极大w-理想, 则{(Ai)m|i∈Γ}为Rm-模Mm的一簇P-平坦子模.而

P-平坦模的纯子模是P-平坦模[27], 关于w-P-平坦模的w-纯子模也有类似结果.

命题4w-P-平坦模的w-纯子模是w-P-平坦模.

证明: 设M为w-P-平坦模, 设K为M的w-纯子模, 则有w-纯正合列0→K→M→M/K→0.因此对R的任何极大w-理想m, 序列0→Km→Mm→(M/K)m→0为纯正合列.从而Km为Mm的纯子模, 又Mm为P-平坦模, 故Km为P-平坦Rm-模, 即K为w-P-平坦模.证毕.

2.1.1 NDVI数据 NDVI数据采用 NASA Goddard Space Flight Center提供的2000—2014年MOD13Q1数据集中的NDVI产品，正弦曲线投影，时间分辨率为16 d，空间分辨率为250 m。本研究应用MRT、ArcGIS Python软件对数据进行格式与投影转换、图像拼接与裁剪得到研究区NDVI数据，运用最大值合成法将16 d NDVI数据合成为月均值，从而消除云、雾及太阳高度角等因素对NDVI的影响。

P-平坦模的直和是P-平坦模, 关于w-P-平坦模的直和也有类似结果.

命题5w-P-平坦模的直和是w-P-平坦模.

证明: 设M,N为w-P-平坦模,P为环R的任意主理想, 由文献[9]中定理3.4.5知,

在整环上,P-平坦模与无挠模是等价的, 但w-平坦模不一定是无挠模[12].文献[12]中命题3.8证明了GV-无挠的w-平坦模M是无挠模.事实上, 当R是整环时, 有下列结果.

定理2设R为整环, 则GV-无挠的w-P-平坦模M是无挠模.

下面利用w-P-平坦模给出几个经典环类的新刻画.文献[27]中定理2.1.1利用P-平坦模给出了VN正则环的刻画, 文献[13]中定理4.4表明， 任何模都是w-平坦模的环恰好也是VN正则环.相应地,w-P-平坦模也可用于刻画VN正则环.

定理3对环R, 下列结论等价:

1) 任何R-模都是w-P-平坦模；

2)R的任何理想都是w-纯理想；

3)R的任何主理想都是w-纯理想；

4) 环R是VN正则环.

证明: 1)⟹2).设I是R的理想, 则R/I为w-P-平坦模.设m为R的任何极大w-理想, 则(R/I)m≅Rm/Im为P-平坦Rm-模.因此(R/I)m为平坦Rm-模, 即R/I为w-平坦模.故I是w-纯理想.

2)⟹3)和4)⟹1)显然.

3)⟹4).对R的任何主理想P=(x), 由文献[22]中定理2.15的(5)可知,x∈(x)w=(x)w∩(x)w=(x2)w, 从而由文献[13]中定理4.4的(3)可知R为VN正则环.

例1P-平坦模是w-P-平坦模, 反之不一定成立.若R为整环, 则R上任意非0的GV-挠模(例如R/J, 其中J∈GV(R))是w-P-平坦模, 但不是无挠模, 即不是P-平坦模.

R为DW环当且仅当任何w-投射(平坦)模是投射(平坦)模[21].当R是整环时,w-P-平坦模也可用于刻画DW环.

定理4整环R为DW环当且仅当任何w-P-平坦模均为P-平坦模.

证明: 取任意GV-挠模R/J, 其中J∈GV(R), 故R/J为w-P-平坦模.由条件可知其也为P-平坦模, 从而可知R/J还是无挠模.又R是整环,R/J是GV-无挠模, 于是R/J=0, 即GV(R)=R, 由文献[21]中定理3.8可知R为DW环.反之, 设R为DW环, 则GV(R)=R, 由定理1中5)可知任何w-P-平坦模均为P-平坦模.

例2w-平坦模是w-P-平坦模, 反之不一定成立.由于整环R为PvMD当且仅当R的每个无挠模都是w-平坦模[12].对非PvMD, 存在无挠模(w-P-平坦模)不是w-平坦模.

下面用w-P-平坦模刻画PvMD.

定理5整环R为PvMD当且仅当任何w-P-平坦模为w-平坦模.

证明: 由于无挠模为w-P-平坦模, 故对环R, 任何无挠模均为w-平坦模, 从而R为PvMD.反之, 设R为PvMD,M为w-P-平坦模.要证M为w-平坦模, 只需说明对任何极大w-理想m,Mm均为平坦Rm-模.显然,Mm是Prüfer整环Rm上的P-平坦模, 于是由文献[7]中命题3.1可知Mm是平坦Rm-模.

3 任何主理想都是w-P-平坦理想的环

下面讨论两类较特殊的环, 即任何主理想都是w-P-平坦理想的环和p.p环.如果R的任何主理想都是平坦理想, 则R称为p.f环[2].文献[6]中定理2.1证明了R为p.f环当且仅当任何主理想都是P-平坦的, 表明P-平坦模可以刻画p.f环.下面给出一个w-p-平坦的相关结果.

定义2若环R的任何主理想都是w-P-平坦理想, 则R称为w-p.f环.

显然, 半遗传环、p.p环和p.f环都是w-p.f环.下面给出w-p.f环的一个等价刻画.

定理6对环R, 下列结论等价:

1)R的任何理想都是w-P-平坦理想；

2)R是w-p.f环；

3)R的任何主理想都是w-平坦理想;

4) 对任意(s,x)∈R×R满足sx=0, 均存在αk∈annR(s)和dk∈J∈GV(R), 使得dkx=αkx.

证明: 1)⟹2)显然.

2)⟹3).由命题1可得.

2)⟹4).由于R为w-p.f环, 则R的任何理想P=(x)都是w-P-平坦理想.故存在αk∈annR(s),r∈R及dk∈J∈GV(R), 使得dkx=αk(rx)=βkx, 其中βk=αkr∈annR(s).

4)⟹1).取R的任何理想I及(s,x)∈R×I, 满足sx=0, 均存在αk∈annR(s)及dk∈J∈GV(R), 使得dkx=αkx, 故Jx⊆annR(s)I, 从而由定理1中5)知I为w-P-平坦理想.证毕.

由定理6可知,w-p.f环也等价于任何主理想都是w-平坦的.参照文献[28]中引理4.2.2对p.f环的刻画, 下面对w-p.f环进行类似刻画.

定理7对环R, 下列结论等价:

1)R是w-p.f环；

2) 对R的任何素w-理想p,Rp均为整环；

3) 对R的任何极大w-理想m,Rm均为整环；

4)R为约化环,R的任何极大w-理想m包含唯一的极小素理想q,q={r∈M|ur=0,u∈R-m}, 且Rq为Rm的商域.

证明: 1)⟹2).对Rm的任何主理想N, 均存在R上的主理想I, 使得N≅Ip.故Ip为局部环Rp上的平坦理想, 又Ip还是有限生成的, 因此N≅Ip为Rp上的自由理想, 即Rp为整环.

2)⟹3)显然.

3)⟹4).设m为R的任何极大w-理想且N=nil(R), 由于Rm为整环, 故Nm=nil(R)m=nil(Rm)=0, 即N为GV-挠模.又N为w-理想, 故其还是GV-无挠的, 从而N=0, 于是R为约化环.若p为素理想, 且满足p⊆m, 则q⊆p(否则, 若x∈q, 但x∉p, 则由定义知存在u∈R-m, 使得ux=0∈p, 故u∈p, 矛盾).另一方面, 对f:R→Rm, 满足q∈Ker(f), 故由同态基本定理可知,g:R/q→Rm为单射, 因此R/q为整环, 从而q为素理想, 且为包含于m的唯一极小素理想.又qRq=0, 从而Rq为域.对Rm, 若0=y∈Rm, 则可设y=r/s, 其中r∈R,s∈R-m, 即存在u∈R-m, 使得ur=0, 因此r∈q, 从而y∈qm.故对S=Rm-{0}, 设T(Rm)为Rm的商域,T(Rm)=(Rm)qm=Rq, 即Rq为Rm的商域.

4)⟹1).由于q∩(R-m)=Ø, 故qm=0为Rm的素理想, 从而Rm为整环.故对任何0≠a∈R, 序列0→annR(a)→R→(a)→0均为正合列, 从而序列0→(annR(a))m→Rm→(a)m→0为正合列.因此Rm≅(a)m或(a)m=0, 从而(a)m为平坦模, 即(a)为w-平坦模, 进而(a)为w-P-平坦模.由定理7可知,w-p.f环和p.f环在局部化后有密切联系.

定理8环R为w-p.f环当且仅当对R的任何极大w-理想m,Rm为p.f环.

证明: 若R为w-p.f环, 设N≅Pm为Rm的主理想, 其中P为R的主理想,m为R的极大w-理想.由定理6知P为w-平坦R-模, 从而Pm为平坦Rm-模, 即Rm为p.f环.反之, 若Rm为p.f环, 对R的任何主理想P,Pm均为Rm的主理想, 故为平坦Rm-模, 从而P为w-平坦R-模, 即R为w-p.f环.

4 p.p环

p.p环是特殊的w-p.f环.下面给出p.p环的一些新刻画.

命题6关于环R的主理想P, 下列结论等价:

1)P是有限型的弱w-投射理想;

2)P是有限型的w-投射理想;

3)P是有限表现型的w-平坦理想;

4) 对R的任何极大w-理想m,Pm是自由Rm-模.

证明: 由文献[23]中推论2.9可得.

命题7若环R的任何主理想P是弱w-投射理想, 则对R的任何主理想P=(x),P均为无挠模, 且I=annR(x)为有限型模.

证明: 对正合列0→annR(x)→R→(x)→0, 其中R为有限生成投射模, 由命题6及文献[21]中定理2.1可知,I=annR(x)为有限型模.又由I=annR(x)和R均为w-模可知, (x)为GV-无挠模.再由命题6可知(x)还是w-平坦模, 又(x)为GV-无挠模, 即P=(x)为无挠模.证毕.

定理9设R为环, 则下列结论等价:

1)R是p.p环；

2) 环R的任何主理想都是弱w-投射理想(w-投射理想)；

3) 环R的任何主理想都是w-分裂理想；

5)R的完全分式环T(R)为VN正则环, 且对R的任何极大w-理想m,Rm为整环;

6)R的完全分式环T(R)为VN正则环,R是w-p.f环.

证明: 1)⟺2).当环R为p.p环时, 显然任何主理想都是弱w-投射理想(w-投射理想).反之, 由命题6知Rm为整环, 由命题7知I=annR(x)为有限型模, 故由文献[13]中引理4.12知,I=annR(x)由一个幂等元生成, 从而环R为p.p环.

2)⟺3).由命题7知, 环R的任何主理想P=(x)都是有限型的GV-无挠模, 故P=(x)为弱w-投射理想(w-投射理想)当且仅当P=(x)为w-分裂模.

3)⟺4).参见文献[24]中命题2.4对w-分裂模的同调刻画.

2)⟺5).由Rm为整环, 设P=(x)为环R的主理想, 则Pm为自由Rm-模, 即P为w-平坦模.设乘法集S为T(R)所有非零因子构成的集合, 由于T(R)为VN正则环, 因此PS为投射T(R)理想.由命题1知P=(x)为无挠模, 由文献[13]中定理3.19知P=(x)为w-投射理想, 从而P=(x)还是弱w-投射理想.

反之, 设环R的任何非零主理想P=(x)都是弱w-投射理想, 由命题1知Pm为自由Rm模, 故Rm的任意非零元素为非零因子, 从而Rm为整环.由于P=(x)是弱w-投射理想, 故PS为w-投射T(R)理想.取T(R)的任何极大w-理想m1, 设q=m1∩R, 则q为R上的素w-理想, 且q∩S=Ø.因此S⊆R-q,m1=qs.从而(PS)qS=Pq, 于是Pq为投射模, 即可设Pq由幂等元e生成.这表明Pq=T(R)m1e, 而T(R)m1为局部环, 故仅有平凡的幂等元, 因此Pq=T(R)m11.即T(R)m1(x)q=T(R)m1, 表明(x)q为单位, 从而T(R)m1为域.由文献[13]中定理4.4可知,T(R)为VN正则环当且仅当对T(R)的任何极大w-理想m1,T(R)m1均为域.

5)⟺6)显然.

例3尽管p.p环的任何主理想既是投射理想也是弱w-投射理想, 但p.p环不一定是DW环.例如, 取R为整环但不是域, 由文献[29]中定理A可知R[X]为p.p环, 但由文献[20]中命题2.12可知R[X]不是DW环.

下面给出w-p.f环和p.f环等价的情形.

引理1若对环R的理想I,J,K, 满足(I+J)w=R, (I+K)w=R, 则(I+(I∩K))w=R.

证明: 取A1,A2∈GV(R), 使得A1⊆I+J,A2⊆I+K.则

A1A2⊆(I+J)(I+K)⊆I+JK⊆I+(J∩K),

故(I+(J∩K))w=R.

引理2若对环R的w-理想I,J, 满足(I+J)w=R,IJ=0, 则R=I⊕J.

证明: 由(I+J)w=R可知,Im+Jm=Rm.故

(IJ)m=ImJm=Im∩Jm=(I∩J)m.

又I∩J及I⊕J均为R的w-理想, 故有I∩J=(IJ)w=0.从而R=(I+J)w=(I⊕J)w=I⊕J.

定理10设R为仅有有限多个极小素理想的环, 则下列结论等价:

1)R为w-p.f环；

2)R为有限多个整环的直和；

3)R为p.f环；

4)R为p.p环；

5)R的任何主理想都是弱w-投射理想.

证明: 2),3),4)的等价性在文献[30]的命题2.2中已证明.5)⟹1)显然.4)与5)的等价性在定理9中已证明, 故仅需证明1)⟹2).

1)⟹2).由定理6知,R的任何极大w-理想m仅包含唯一的极小素理想q.故(qi+qj)w=R, 其中i≠j, 否则, 存在R的极大w-理想m0, 使得qiqj⊆qi+qj⊆(qi+qj)w⊆m0成立.令I=q1∩…∩qn, 则由引理1可知(q1+I)w=R.又q1I⊆qi∩I=nil(R)=0, 由引理2可知R=q1⊕I=⊕qi.从而由中国剩余定理知,R≅R/∩qi≅⊕R/qi.

如果R的任何有限型模都是有限表现型的, 则R称为w-Noether环.文献[18]中推论3.20表明, 若R为w-Noether环, 则R仅有有限多个极小素理想.因此,w-Noether环满足定理10的条件.