一致分数阶非瞬时脉冲微分方程非局部问题温和解的存在性

豆 静, 周文学, 吴玉翠

(兰州交通大学 数理学院数学系, 兰州 730070)

温和解的存在性, 在非线性项满足适当增长条件和非紧性测度条件, 非局部项和非瞬时脉冲函数均满足Lipschitz条件下, 得到该问题解的存在性结果, 并举例说明所得结果的有效性.

0 引 言

脉冲微分方程常用于描述发生突变的、 不连续的、 跳跃的动力学过程, 在生物学、 物理学、 工程学等领域应用广泛. 目前, 关于脉冲微分方程可解性的研究已有很多结果[1-10], 但这些结果大多数是关于瞬时脉冲的研究. 研究表明, 经典的瞬时脉冲模型不能很好地解释例如药物在人体内吸收、 扩散和代谢过程的动力学行为. 由于药物进入人体血液和之后的身体吸收是渐近和连续的过程, 它突然开始并在有限的时间间隔内保持活跃, 这种现象称为非瞬时脉冲. 具有非瞬时脉冲的经典模型可表征许多实际问题, 因此已得到广泛关注.

近年来, 关于脉冲微分方程的理论逐渐完善, 已将其部分结论推广至分数阶脉冲微分方程中, 但大多数研究都基于Caputo和Riemanm-Liouville定义, 而关于其他新定义下脉冲微分方程的研究报道较少. Khalil等[11]提出了一致分数阶导数的定义, 该分数阶导数定义具有整数阶导数的基本性质, 因而是经典整数阶导数的推广. 文献[12-15]给出了基于该分数阶定义下微分方程的研究及其应用.

Pierri等[16]利用解析半群和闭算子的分数幂理论研究了一类含非瞬时脉冲的抽象微分方程

解的存在性. Pierri等[17]基于Hausdorff非紧性测度和算子半群理论研究了含非瞬时脉冲的抽象微分方程

在[0,∞)上温和解及渐近周期温和解的存在性. Zhang等[18]利用凝聚映射不动点定理研究了分数阶半线性积微分发展方程

其中Dq是阶数为q的Caputo分数阶导数, 0

基于上述研究, 本文考虑分数阶非瞬时脉冲发展方程非局部问题

(1)

温和解的存在性, 其中:Tq是阶数为q的一致分数阶导数, 0

D={(t,s)∈2: 0≤s≤t≤T},D0={(t,s)∈2: 0≤t,s≤T};

A:D(A)⊂X→X为闭线性算子.A生成X中一致有界的等度连续C0-半群T(t)(t≥0),I=[0,c], 其中c>0.

1 预备知识

构成的空间.对任意有限数r>0, 令

Br={u∈PC(I,X): ‖u‖≤r,t∈I}

是PC(I,X)中的有界凸闭集, 且记

定义1[11]令q∈(0,1), 给定函数f: [0,∞)→, 则f的一致分数阶导数定义为

引理1[11]令q∈(0,1), 且函数f和g在t>0上q次可微, 则:

1)Tq(af+bg)=aTq(f)+bTq(g), ∀a,b∈;

2)Tq(tp)=ptp-1, ∀p∈;

3)Tq(fg)=fTq(g)+gTq(f);

由文献[19]中定义6及文献[20]中定义2.1, 可给出以下定义：

则函数u∈PC(I,X)称为问题(1)的温和解.

引理2[21]设S⊂E有界, 则S的有限覆盖最大直径下确界

称为S的Kuratowskii非紧性测度.

引理3[21]设S,T表示E中的有界集,a为实数, 则非紧性测度具有下列性质:

1)α(S)=0 ⟺S是相对紧集;

2)S⊂T⟹α(S)≤α(T);

4)α(S∪T)=max{α(S),α(T)};

5)α(aS)=|a|α(S), 其中aS={x=az|z∈S};

6)α(S+T)≤α(S)+α(T), 其中S+T={x=y+z|y∈S,z∈T};

引理7[18]设X和E为Banach空间,Q:D(Q)⊂E→X是Lipschitz连续的, Lipschitz常数为L, 则对任意的有界集V⊂D(Q), 有α(Q(V))≤Lα(V).

定义3[24]设E1,E2是实Banach空间,D⊂E1, 设A:D→E2连续有界, 若存在常数k≥0, 使得对任意有界集S⊂D, 均满足α(A(S))≤kα(S), 则称A是D上的k-集压缩映像; 特别地,k<1时的k-集压缩映像称为严格集压缩映像.

引理8[24]设D为E中的有界凸闭集(D不一定有内点),A:D→D是严格压缩映像, 则A在D中必有不动点.

2 主要结果

假设:

(H1) 对任意的t∈I, 函数f(t,·,·,·):X×X×X→X连续, 且对任意的(x,y,z)∈X×X×X, 函数f(t,x,y,z):I→XLebesgue可测;

(H2) 存在一个连续非减函数Ψ: [0,∞)→(0,∞)及函数Φ∈L1/q1(I,+), 其中常数q1∈(0,q), 使得

‖f(t,x,y,z)‖≤Φ(t)Ψ(‖x‖), ∀x,y,z∈X,t∈I;

(H3)g:PC(I,X)→X连续且存在一个常数α*>0, 使得

‖g(x)-g(y)‖≤α*‖x-y‖, ∀x,y∈PC(I,X);

(H4)φi: [ti,si]×X→X连续且存在常数Kφi>0(i=1,2,…,m), 使得

‖φi(t,x)-φi(t,y)‖≤Kφi‖x-y‖, ∀x,y∈X,t∈[ti,si];

(H5) 存在非负常数Li,Mi,Ni(i=0,1,…,m), 使得对任意可数集D1,D2,D3⊂X, 均有

α(f(t,D1,D2,D3))≤Liα(D1)+Miα(D2)+Niα(D3), ∀t∈(si,ti+1],i=0,1,…,m.

定理1设X为Banach空间, 若A生成X中一致有界的等度连续C0-半群T(t)(t≥0),f:I×X×X×X→X,g:PC(I,X)→X, 且对∀i=1,2,…,m, 函数g(θ)和φi(·,θ)有界, 并满足假设条件(H1)～(H5), 则当

(2)

(3)

证明: 定义算子Q:PC(I,X)→PC(I,X)为

(Qu)(t)=(Q1u)(t)+(Q2u)(t),

(4)

其中

(5)

(6)

易见初值问题(1)的温和解等价于算子Q的不动点.下面证明算子Q至少有一个不动点.

1) 证明存在常数R>0, 使得Q(BR)⊂BR.

若不然, 则对任意的r>0, 存在ur∈Br和tr∈I, 使得‖(Qur(tr))‖>r.若tr∈[0,t1], 则由式(4),(7)和假设条件(H3), 有

若tr∈(ti,si](i=1,2,…,m), 则由式(5)和假设条件(H4), 有

‖(Qur)(tr)‖=‖φi(tr,ur(tr))‖≤Kφi‖ur(tr)‖+‖φi(tr,θ)‖≤Kφir+β,

(9)

结合式(8)～(10)及r<‖(Qur)(tr)‖, 有

(11)

将式(11)两边除以r, 且令r→∞, 有

1

(12)

与式(2)矛盾.

2) 证明算子Q1:BR→BR是Lipschitz连续的.

对任意的t∈[0,t1]且u,v∈BR, 由式(5)和假设条件(H3), 有

‖(Q1u)(t)-(Q1v)(t)‖≤M‖g(u)-g(v)‖≤Mα*‖u-v‖PC.

(13)

对任意的t∈(ti,si](i=1,2,…,m)且u,v∈BR, 由式(5)和假设条件(H4), 有

‖(Q1u)(t)-(Q1v)(t)‖≤Kφi‖u(t)-v(t)‖≤MK‖u-v‖PC.

(14)

对任意的t∈(si,ti+1](i=1,2,…,m)且u,v∈BR, 由假设条件(H4), 有

‖(Q1u)(t)-(Q1v)(t)‖≤M‖φi(si,u(si))-φi(si,v(si))‖≤MK‖u-v‖PC.

(15)

由式(13)～(15), 有

‖Q1u-Q1v‖≤MK*‖u-v‖PC,

(16)

其中K*=max{K,α*}.

3) 证明Q2在BR上连续.

(17)

因此, 当n→∞时, 有

(18)

对s∈[si,t]及t∈(si,ti+1](i=0,1,…,m), 由式(17),(18), 得

因此当n→∞, 有‖Q2un-Q2u‖→0, 即Q2在BR上连续.

4) 证明Q2:BR→BR等度连续, 且对任意的u∈BR及si≤t1

其中

下面只需验证对任意的u∈BR, 当t2→t1时,I1,I2分别趋于0.由式(7), 有

对t1=si, 易见I2=0, 对t1>si且ε>0任意小, 由假设条件(H2)、T(t)的等度连续性及已知条件, 有

因此, 对任意的u∈BR,t∈I, 当t2→t1时, ‖(Q2u)(t2)-(Q2u)(t1)‖→0, 故Q2:BR→BR等度连续.

5) 证明Q:BR→BR是严格集压缩映像.

对有界集D⊂BR, 由引理6知, 存在可数子集D0={un}⊂D, 使得

α(Q2(D))≤2α(Q2(D0)).

(20)

因为Q2(D0)⊂Q2(BR)有界且等度连续, 因此由引理4, 有

(21)

对任意的t∈[si,ti+1](i=0,1,…,m), 由引理5, 假设条件(H5)和式(3), 有

α(GD0(s))≤α(GD0)≤‖G‖α(D0)≤G*α(D0)≤G*α(D).

(23)

同理, 有

α(SD0(s))≤α(SD0)≤‖S‖α(D0)≤S*α(D0)≤S*α(D).

(24)

因此,

(25)

由式(20),(25), 得

(26)

由式(16)和引理7知, 对任意有界集D⊂BR, 有

α(Q1(D))≤MK*α(D).

(27)

因此, 由式(26),(27)得

(28)

结合式(28)和式(2)及定义3知,Q:BR→BR是严格集压缩映像.因此由引理8知Q至少存在一个不动点u∈PC(I,X), 即为问题(1)的温和解.

3 应用实例

考虑下列分数阶非瞬时脉冲微分方程非局部问题：

(29)

D(A)={u∈X:u,u′绝对连续且u″∈X,u(0)=u(1)=0}.

由文献[25]知,A在X上生成等度连续的C0-半群T(t)(t≥0), 且对任意的t≥0, ‖T(t)‖≤1, 有

易证问题(29)满足假设条件(H1)～(H5), 且

则

因此, 由定理1知问题(29)至少存在一个解.