一类算子方程的正算子解问题的研究

杨凯凡

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院，陕西 汉中 723001)

近年来,诸如X+A*X-2A=Q,X-A*X-tA=I等形式的矩阵方程受到许多学者的关注[1-4].前人主要是在有限维空间上，利用矩阵论的相关知识，给出这类方程有正定矩阵解的一些条件. 论文将前人的研究结果从有限维空间推广到无限维Hlibert空间中, 在无限维Hlibert空间上，利用算子理论知识， 研究方程Xs+A*X-tA=Q正算子解问题.

设B(H)表示无限维可分Hilbert空间H上的所有有界线性算子组成的全体.论文研究非线性算子方程

Xs+A*X-tA=Q

(1)

的正算子解问题,其中:A,Q∈B(H)是给定的，且Q>0,t>s是给定的正整数.

首先给出文中用到的一些符号.设A∈B(H), 如果对任意x∈H, 都有(Ax,x)≥0,则称A为正算子,记为A≥0.对于A,B∈B(H),A≥B表示A-B为正算子. 对于A∈B(H),A*,‖A‖,σ(A),N(A)分别表示算子A的伴随算子、范数、谱及核空间.

1 预备知识

引理1[5]设A,B是B(H)上的自伴算子且A≥B, 则对任意T∈B(H)，有T*AT≥T*BT.

引理2[6-8]设P,Q是正算子,且满足P≥Q. 如果PQ=QP, 则对任意实数t≥1,有Pt≥Qt.

对于B(H)上的正算子, 有

(1) 对于A∈B(H)，有A≤‖A‖I；

(2) 若P≥Q>0, 有P-1≤Q-1；

(3) 对于0

2 主要结论及其证明

证明若算子方程(1)有正算子解X,则0≤A*X-tA≤Q且Xs≤Q.由A*X-tA≤Q，有

则方程(1)有正算子解.

构造如下的迭代序列

(2)

假设Xi≥X, 则

(3)

又

(4)

根据不等式(3)，有

I-γ-tT*T≤γI.

(5)

令

(6)

可以得到定理4.

因为

(1-γ1)I.

(7)

(i) 若γ∈[β1,β2],根据(7)式，有

假设Xi≥Xi-1, 则

且

推论1设X是算子方程Xs+A*X-tA=Q的一个正算子解,则

证明若X是算子方程Xs+A*X-tA=Q的一个正算子解,因为Q≥Xs>0,则

0<λmin(X)I≤X≤λmax(X)I，

0<λmin(Q)I≤Q≤λmax(Q)I，

因此

即

所以，有

即

λmin(A*A)≤λmaxt(X)(λmax(Q)-λmax(Xs)).

(2) 设A∈B(H)，I是空间H中的单位. 若算子方程Xs-A*X-tA=I有正算子解, 则算子方程Ys-B*X-tB=Q也有正算子解, 其中:Q=I+A12*A12，B=A22，A12是N(A)⊥到N(A)上的算子,A22是N(A)⊥到N(A)⊥上的算子.

由X>0可知Y>0.根据方程Xs-A*X-tA=I，有

所以，有

Ys-A22*Y-tA22=I+A12*A12，

令

I+A12*A12=Q，A22=B,

则Y是算子方程Ys-B*X-tB=Q的正算子解,显然Q≥I.证明完毕.