一类四阶常微分方程周期边值问题的可解性

张丽娟, 李永祥

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

解的存在性与唯一性, 在非线性项f(x,u,v)满足适当的不等式条件下, 获得了该问题解的存在性与唯一性， 其中α,β>0, f: [0,2π]×2→连续.

0 引 言

四阶常微分方程边值问题是描述弹性梁在一定边界条件下静态形变的数学模型, 由于其重要的物理背景, 因此关于该问题的可解性研究得到广泛关注[1-8]. 本文讨论四阶周期边值问题(PBVP):

(1)

解的存在性与唯一性, 其中α,β>0,f: [0,2π]×2→连续.

对非线性项f不含未知函数u的二阶导数项u″的特殊情形, 关于PBVP(1)的研究已有许多结果[1-4]: Cabada[1]对微分算子Lu=u(4)+αu建立了极大值原理, 并基于该极大值原理, 用上下解方法获得了解的存在性结果； Li[2]对微分算子Lu=u(4)-βu″+αu建立了强极大值原理, 在f(x,u)非负且关于u超线性或次线性增长的情形下, 用锥上的不动点指数理论获得了PBVP(1)正解的存在性； 文献[3]应用文献[2]中的强极大值原理, 讨论了PBVP(1)多重正解的存在性; 文献[4]讨论了变系数α=a(x),β=0的情形, 用锥上的不动点指数理论获得了PBVP(1)正解的存在性结果.

对非线性项f含有u″的一般情形, 文献[5-8]对PBVP(1)的可解性进行了研究. 文献[5]在涉及两参数特征值问题的一个非共振条件下, 获得了PBVP(1)解的存在性结果; 文献[6]在文献[5]的基础上, 在用椭圆和圆描述的两参数非共振条件下, 获得了PBVP(1)解的存在性与唯一性结果. 文献[5-6]的两参数非共振条件均限定f(x,u,v)关于u,v至多一次增长.文献[7]建立了PBVP(1)上下解的单调迭代求解程序; 文献[8]讨论了非线性项f(x,u,v)非负的情形, 在允许f(x,u,v)关于u,v超线性增长或次线性增长的条件下, 获得了PBVP(1)正解的存在性.

本文在不假设f(x,u,v)非负的一般情形下讨论PBVP(1)的可解性.在允许f(x,u,v)关于u与v超线性增长的不等式条件下, 用Leray-Schauder不动点定理获得了PBVP(1)解的存在性结果, 并在此基础上进一步讨论解的唯一性.

1 预备知识

为讨论PBVP(1)的可解性, 先考虑相应的线性周期问题(LPBVP):

(2)

其中h∈L2(I).

引理1设α,β>0, 则对∀h∈L2(I), LPBVP(2)有唯一解u=Sh∈H4(I), 且解算子S:L2(I)→H4(I)为线性有界算子, 并且u=Sh满足

‖u′‖≤‖u″‖≤‖u‴‖≤‖u(4)‖,

当h∈C(I)时,u∈C4(I).

证明: ∀h∈L2(I), 因为三角函数系{1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…}为L2(I)中的一个完备直交系, 故h在L2(I)中可展为三角函数

做函数

(3)

易验证u∈H4(I)为LPBVP(2)的解. 由Fourier展式的唯一性知,u=Sh为LPBVP(2)的唯一解.显然解算子S:L2(I)→H4(I)为线性有界算子.当h∈C(I)时,u∈C4(I), 且解算子S:C(I)→C4(I)有界.由Fourier展式的系数公式和式(3)可得u′,u″,u‴,u(4)的展式:

故有

‖u′‖≤‖u″‖≤‖u‴‖≤‖u(4)‖.

2 主要结果及其应用

假设：

(H1) 存在00, 使得

f(x,u,v)u-f(x,u,v)v≤au2+bv2+c,x∈I,u,v∈.

定理1设α,β>0,f:I×2→连续.若f满足假设条件(H1), 则PBVP(1)至少有一个解.

证明: 定义映射F:C2(I)→C(I),

F(u)(x)=f(x,u(x),u″(x)),x∈I,

(4)

则F:C2(I)→C(I)连续.由引理1知, LPBVP(2)的解算子S:C(I)→C2(I)全连续, 故复合映射A=S∘F:C2(I)→C2(I)全连续.由解算子S的定义知, PBVP(1)的解等价于A的不动点.下面对A应用Leray-Schauder不动点定理.

考虑方程簇

u=λAu, 0<λ<1.

(5)

设u∈C2(I)为方程簇(5)中一个方程的解, 则u=λAu=S(λF(u)).由S的定义知,u为h=λF(u)∈C(I)相应的LPBVP(2)的解, 因此u∈C4(I)满足

(6)

将方程(6)两边同乘u(x)-u″(x), 并由假设条件(H1), 有

将式(7)两边在I上关于x积分, 得

对式(8)左端应用分部积分公式, 得

因此, 由式(8)得

(9)

进而

(10)

(11)

由式(9),(11)知

(12)

由式(11),(12)有

‖u‖C2≤C0‖u‖3,2≤C0M1∶=M2,

其中C0为嵌入常数.因此, 方程簇(5)的解集在C2(I)中有界, 从而由Leray-Schauder不动点定理知,A在C2(I)中有不动点, 该不动点为PBVP(1)的解.证毕.

假设：

(H2) 存在0

定理2设α>0,β>0,f:I×2→连续.若f满足假设(H2), 则PBVP(1)存在唯一解.

证明: 先证存在性.由定理1, 只需证(H2)⟹(H1).对∀(x,u,v)∈I××, 取

则由(H2), 有

由式(13), 有

再证唯一性.设u1,u2∈C2(I)均为PBVP(1)的解.令u=u2-u1, 则由方程(1)及F的定义(式(4)), 有

u(4)-βu″+αu=F(u2)-F(u1),

(14)

将式(14)两端同时乘以u-u″, 由条件(H2), 有

先将式(15)左端展开, 然后两边在I上积分, 得

(16)

因此, 有

(17)

例1考虑超线性四阶周期边值问题:

(18)

对应于PBVP(1),α=3,β=2,u=u(x),v=u″(x),x∈I, 非线性项为

f(x,u,v)=-u3-u2v+uv2+v3+sinx,

(19)

将式(19)两边同乘u-v, 可得

例2考虑非线性四阶周期边值问题:

(20)

对应于PBVP(1),α=5,β=3,u=u(x),v=u″(x),x∈I, 非线性项为

f(x,u,v)连续可微, 其偏导数为

因此, 有

(21)

对∀(x,u1,v1),(x,u2,v2)∈I××, 由微分中值定理知, 存在

ξ=u1+θ(u2-u1),η=v1+θ(v2-v1),

其中θ∈(0,1), 使得

于是由式(21), 有

取a=b=4, 则0