将案例教学融入离散数学课堂

何苗 吴小娥 张晓孪 李耀波

摘 要：针对计算机科学与技术专业的学生学习离散数学，为了激发学生学习的兴趣和积极性，将案例教学融入课堂，以实际问题为主线，通过提出问题、分析问题和解决问题三个步骤完成教学，培养和提升学生将实际过程中学习通过建立数学模型和算法的设计，将实际问题转化为数学问题，有效解决实际问题。最终达到培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力。

关键词：离散数学;案例教学;数学模型

Integrating Case Teaching into Discrete Mathematics Classroom

He Miao Wu Xiaoe Zhang Xiaoluan Li Yaobo

School of Computer，Baoji University of Arts and Sciences ShaanxiBaoji 721013

Abstract：In order to stimulate students' interest and enthusiasm in learning discrete mathematics，case teaching is integrated into the classroom for students majoring in computer science and technology.Taking practical problems as the main line，the teaching is completed through three steps of raising problems，analyzing problems and solving problems.Train and improve the students to learn in the actual process through the establishment of mathematical model and algorithm design，practical problems into mathematical problems，effectively solve practical problems.Finally，students' ability to think，analyze and solve problems can be cultivated.

Keywords：discrete mathematics;case teaching;mathematical model

1 學情分析

离散数学是计算机科学与技术专业学生的专业基础课程。学生的特点是数学知识扎实，逻辑思维能力和解决实际问题的能力一般，将生活中的实际问题转化为数学模型，通过求解数学模型解决实际问题的能力较弱，课堂气氛不活跃。针对上述问题，我们不仅需要给学生讲解最基本的知识点，还需要给学生拓展相应知识点的算法和用这些知识点和算法如何求解实际问题，最终达到培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力。

2 以实际问题为主线进行教学活动

在离散数学的教学过程中，结合计算机学院专业的特点，以实际问题为主线，通过提出问题、分析问题、解决问题三个步骤完成主要教学如图1所示。提出问题的主要目的是激发学生学习的兴趣，让学生的学习由被动变为主动，让学生对问题产生兴趣，愿意主动积极地去解决实际问题。分析问题主要通过新课的导入，针对具体的实际问题，给学生分析该如何去解决这个问题，为了解决这个问题，我们已经学习了哪些知识，哪些知识是我们没有学习的，然后将新课进行导入。解决问题，通过导入的新课，然后讲解新的知识点，从理论到算法，对学生进行深入的讲解，通过新学习的知识点，来求解提出的问题，这样既让学生复习新学习的知识点，又让学生学会如何通过已经学习的知识点来求解实际问题。以实际问题为主线的教学的优势是培养学生解决实际问题能力的短板。培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力，实践过程中学习通过建立数学模型和算法的设计，将实际问题转化为数学问题，进一步通过所学习的知识点有效地解决实际问题。

下面我们通过最小生成树[1]的教学活动给出提出问题、分析问题和解决问题的三个步骤。一个乡有9个自然村如图2所示，问假设架设通信线时，如何拉线才能使用线最短。通过这样一个实际问题抛给学生，激发学生思考该如何求解该问题。首先我们将这样一张实际的地图转化为一个无向连同图，如图3所示，引导学生回忆之前学习过的知识点生成树的概念，给这样一个具有实际背景的无向连同图画出它的生成树，我们会发现不同的学生画的生成树是不一样的，如果按照学生所画的生成树来拉线的话，我们会发现所使用线的长短不一样，启发学生该如何选择才会使得线的距离最短，最后发现生成树虽然可以解决这个实际问题，但是不能保证解决的方案是一个最优的方案，那应该如何保证寻找到的拉线路径是最佳的，这就是本节课所需要学习的内容，最小生成树。

下面给学生讲解最小生成树的概念，启发学生思考，最小生成的概念也不能解决这个实际问题，然后提出求解最小生成树的算法、Kruskal算法和Prim算法，讲解算法的思想和算法的求解步骤。通过Kruskal算法和Prim算法解决给自然村架设通信线最短的问题。最后对所学习的知识点进行拓展。

下面我们通过最优树的教学活动给出提出问题、分析问题和解决问题的三个步骤。通过案例用机器分辨一些纸币，假设各种纸币出现的概率不同。问题是如何设计一个分辨纸币的方法，使得所需的时间最少？

下面通过和学生一起分析这个实际问题，发现二元树可以解决这个问题，但是它不是最佳的方案，为了寻找最佳的方案，引出本节课学习的内容最优树的概念。

下面给学生讲解最优树的概念以及求解最优树的Huffman算法，和学生一起利用Huffman算法解决纸币分辨的问题。

最后让学生课后以小组的形式解决当字母出现的频率不同，构造字母的前缀码使得传输的二进制位最少。教师最后只需要负责点评，让学生自己独立思考问题、解决问题。

3 将实际案例融入离散数学课程的教学

将离散数学课程的教学分为课前、课中和课后，具体过程如图4所示。

课前，教师通过教学分析、教学设计，将教学资源推送给学生，有些基础知识可以通过MOOC资源或者教師录课的小视频推送给学生，让学生自己学习，有些知识点需要学生自主预习。

课中，教师通过课程导入、新课讲解、求解问题和归纳总结四个步骤完成课堂的教学工作，学生在课堂中需要积极参与进来，需要进行小组讨论，最后归纳总结，课堂反馈。

课后，教师需要评估教学，鼓励学生在课后以小组的形式相互设计问题，进行描述模型并且通过所学习的知识点进行实际问题的求解，教师此时只需要负责引导和点评，让学生自己独立的思考问题、分析问题和解决问题。培养和提升学生在实际过程中解决实际问题的能力。让学生的学习由被动变为主动，调动学生的积极性。

下面我们通过最小生成树的教学活动给出课前、课中和课后的教学活动。课前利用雨课堂给学生布置自主预习的内容，复习之前学习过的树、生成树的概念以及相关的定理。课中，通过提出实际问题，给自然村架设通信线的例子，激发学生的学习兴趣，调动学习的积极性和主动性，从而获得较好的教学效果。探究新知，启发学生发现生成树的概念可以解决实际问题，但是不能达到最优，达到最优需要找到生成树中权值最小的那一棵生成树，这就是本节课需要学习的内容。知识回顾，通过回顾树和生成树的概念，加深之前所学习的知识，并且为新知识的学习起到铺垫的作用。讲授新知，讲授最小生成树的概念和Kruskal算法，并提出一个不需要每次检验边的权值最小的一个Prim算法，Prim算法作为本节课拓展的一个算法，并激发学生寻找复杂度更低的算法，最后给出MATLAB软件的代码[23]，促进学生学习的积极性和激发他们的兴趣。求解实际问题，通过实际问题的求解，来巩固本节课的教学重点和教学难点。最后进行课堂小结，回顾本节课的教学内容，和学生一起总结教学重点和教学难点。进行知识拓展，开拓学生的视野、激发学生学习的兴趣。课后，让学生以小组的形式解决信息中心通信系统的问题，如何建立数学模型，如何分析问题，最后解决问题，培养和提升学生解决实际问题的能力。

4 离散数学线上线下相结合的教学模式

基于互联网+的大环境，在数字化、智能化和网络化信息下，结合计算机学院的专业特点，将线上教学和线下教学相结合，做到全方位的实现教学模式。在一般的情况下，将线上教学用于线下教学的辅助，有效地帮助学生学习到更多的知识点和对未来工作和科研有帮助的内容。线上教学主要用于课前和课后，在课前，利用微信群、QQ群或者雨课堂发布学生需要预习的内容和需要提前学习的知识点。教师可以给学生录制小视频或者发布MOOC资源上的学习视频。课后，我们可以利用微信群、QQ群或者雨课堂给学生布置课后作业，解答学生的疑问，在案例教学的过程中，可以让学生分组来完成一些实际的案例，培养学生团队协作能力和解决实际问题的能力，通过协作完成任务，可以让学生之间相互学习相互帮助，既可以增加同学情谊又能更好地完成任务。提倡学生之间分享任务完成的结果和方法，教师此时只需要做到监督和讲评。

例如，在进行最小生成树的教学过程中，可以利用微信群、QQ群和雨课堂发布需要复习的知识点、树和生成树的基本概念以及相关的定理和推论。在课堂的教学过程中，可以利用雨课堂进行随堂小测和让学生完成自然村之间架线的问题，通过讲解学生的答案，得出生成树可以解决自然村之间的架线最短问题，但不是最佳的方案，然后引出本节课的教学重点，最小生成树的概念以及求解最小生成的算法Kruskal算法和Prim算法。课后，利用线上给学生发布课后的习题作业以及实际问题：构建一个包含A、B、C、D、E的5个信息中心通信系统的问题，如图5所示，使得总体费用最小。

结语

针对教学重点和难点，把应用型思维嵌入离散数学课堂。实践教学以教师的引导为基础，把研究性学习方法应用到实践过程中，以某个实际问题为主线，通过问题的提出、分析和解决三个步骤完成求解。具体通过案例引入问题，启发学生思考，从而化解教学重点和难点。学生在实践过程中学习通过建立数学模型和算法的设计，将实际问题转化为数学问题，有效解决实际问题。结合学生自身掌握计算机操作水平及自身对知识的理解能力来设计相应的实践内容。对涉及应用的知识点，具体内容可以是问题导向型的，主要利用相关知识来解决某个学科问题或实际问题，但具体是什么问题是开放的。在应用型思维为主的教学过程中安排实践教学，通过实践教学，有效引导学生自主学习，从而有效提高教学效果。

参考文献：

[1]耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学[M].北京：清华大学出版社，2013.

[2]张岩，吴水.MATLAB优化算法[M].北京：清华大学出版社，2017.

[3]刘浩.MATLAB R2020a完全自学一本通[M].北京：电子工业出版社，2020.

基金项目：宝鸡文理学院第十六批校级教改资助项目研究成果，项目编号：21JGYB50，21JGYB24

作者简介：何苗（1987— ），女，汉族，陕西宝鸡人，理学博士，讲师，研究方向：随机非线性系统的控制。