两种类型的最优查血方案问题及其研究

【摘 要】 通过查血来查出给定的n个人中感染了某种病毒的所有人.为了提高检测效率，可采用“k合1检测法”，进而产生两类最优查血方案问题：（1）感染病毒人数已知的最优查血方案问题;（2）感染病毒概率已知的最优查血方案问题.文章提出这两类问题并做细致研究，得到了一些有益的结论.

【关键词】 最优查血方案问题;数学期望;正整数的分拆;最佳咽拭子核酸检测

通过查血来查出给定的n个人中感染了某种病毒的所有人.为了提高检测效率，可采用“k合1检测法”，进而产生两类最优查血方案问题：（1）感染病毒人数已知的最优查血方案问题;（2）感染病毒概率已知的最优查血方案问题.本文详述这两类问题并做细致研究，得到了一些有益的结论.

约定本文中的某人是否感染病毒可通过查血来检测：（1）若查血的结果呈阳性则感染了该病毒，若查血的结果呈阴性则未感染该病毒;（2）把一些人的血液混在一起化验：若结果呈阴性则说明这些人均未感染该病毒，若结果呈阳性则说明这些人中有人感染了该病毒.

定义1 （1）[1]（已知正整数的分拆）把n=n1+n2+…+nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）叫做已知正整数n的一种分拆（记作τ），其中的n1，n2，…，nt都叫做τ的元素（当有元素相同时也可用乘法记，比如分拆7=1+2+2+2也可记作7=1+2·3，但这里的“2·3”不能改写成“3·2”）.本文研究的分拆与元素的顺序无关;

（2）（已知正整数的均分拆）当n1=n2=…=nt时，（1）中的分拆τ（记作分拆τ*）叫做已知正整数n的一种均分拆τ*.定义2 （把血液先分成两份的查血方案）现有k（k∈N*）个人，其中有若干个人感染了某种病毒.为了检测出所有感染了该病毒的人，可这样通过查血来检验：

当k=1时，对这个人查血1次即可.

当k≥2时，先把每个人的血液分成两份，再把这一组所有人的血液各一份混在一起化验.若结果呈阴性，则说明这k个人均未感染该病毒，不需再做检测;若结果呈阳性，则说明这k个人中有人感染了该病毒，再对这k个人的另一份血样逐一化验.

从而可检测出这k个人中所有感染了该病毒的人.本文把这种查血方案叫做“把血液先分成两份的查血方案”.

1 感染病毒人数已知的最优查血方案问题及其研究

定义3 现有n个人，其中恰有λ（λ∈N，n∈N*，λ≤n）个人感染了某种病毒.为了通过查血检测出这n个人中感染了该病毒的λ个人，先把这n个人分成t组，各组人数分别是n1，n2，…，nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）（即n=n1+n2+…+nt是n的一种分拆τ），对各组的人分别按照定义2查血，记总查血次数是ξτ（一般来说，λ个感染了某种病毒的人在各组的人中是随机出现的，因而ξτ是随机变量），再记ξτ的数学期望是En-λ（ξτ）.对于n的所有分拆τ，当En-λ（ξτ）最小时，τ叫做n关于λ的最优分拆，记作τn-λ.

问题1 （感染病毒人数已知的最优查血方案问题）在定义3中，对于已知的n与λ，求τn-λ.

彻底解决问题1难度较大，下面的定理1与定理2是其部分答案.囿于篇幅，本文只证明了2，4，6.

定理1 τn-0=n，τn-n=1·n.

定理2 τ4-1=1+1+2;τ6-2=1·6.

证明 下面只证τ6-2=1·6.6的分拆共有10种情形，分别论述如下：

（1）τ1：6=1·6.可得总检测次数ξτ1=6，因而数学期望E6-2（ξτ1）=6.

（2）τ2：6=1·4+2.若2名感染病毒者在一組（即在“2”的一组），可得总检测次数ξτ2=5+2=7，且P（ξτ2=7）=2·16·5=115（理由：把并排的6个位置从左到右依次编号为1;2;3;4;5，6（并分成这5组）.把两名感染病毒者放在6个位置中的两个位置上有6·5种放法.两名感染病毒者满足题设的放法是2·1种）;若2名感染病毒者不在一组：若在“1，1”的两组，可得ξτ2=5，且P（ξτ2=5）=4·36·5=25;若在“1，2”的两组，可得ξτ2=5+2=7，且P（ξτ2=7）=4·2+2·46·5=815.所以E（ξτ2）=115+815·7+25·5=615.

（3）τ3：6=1·3+3.可求得E（ξτ3）=15+35·7+15·4=625.

（4）τ4：6=1+1+4.可求得E（ξτ4）=25+815·7+115·3=61115.

（5）τ5：6=1+1+2+2.可求得E（ξτ5）=215+815·6+115·4+415·8=625.

（6）τ6：6=1+5.若2名感染病毒者在一组或不在一组，均可得总检测次数ξτ6=2+5=7，所以E（ξτ6）=7.

（7）τ7：6=1+2+3.可求得E（ξτ7）=115+215·5+15+15·6+25·8=635.

（8）τ8：6=2·3.由后文的定理8（1）可得E（ξτ8）=635.

（9）τ9：6=2+4.可求得E（ξτ9）=115·4+25·6+815·8=61415.

（10）τ10：6=3+3.由后文的定理8（1）可得E（ξτ10）=645.

综上所述，可得欲证结论成立.

题1 （2021年高考数学北京卷第18题）为提高新冠肺炎病毒检测的效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若结果为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若结果为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中2人感染了新冠肺炎病毒.

（1）①若采用“10合1检测法”，且已知两名患者在同一组，求总检测次数;

②已知每10人分成一组，共分成10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求X的分布列和数学期望E（X）;

（2）若采用“5合1检测法”，总检测次数Y的期望为E（Y），试比较第②小问中的E（X）与E（Y）的大小（直接写出结果）.

笔者由这道高考题提出了下面的问题2.

定义4 现有n个人，其中恰有λ（λ∈N，n∈N*，λ≤n）个人感染了某种病毒.为了通过查血检测出这n个人中感染了该病毒的λ个人，先把这n个人均分成nk（k是n的正约数）组，各组人数均是k（即n=k·nk是n的一种均分拆τ*），对各组的人分别按照定义2查血，记总查血次数是随机变量Xk，再记Xk的数学期望是En-λ（Xk）.对于n的所有均分拆τ*，当En-λ（Xk）最小时，τ*叫做n关于λ的最优分拆，此时记k=Gλ（n）.

问题2 （感染了某种病毒人数已知的“k合1检测法”最优查血方案问题）在定义4中，对于已知的n与λ，求En-λ（Xk）及Gλ（n）.

彻底解决问题2难度也不小，下面的定理3-9及推论1-5是其部分答案.

定理3 （1）若n是质数且λ∈N*，则En-λ（Xk）=n，k=1，n+1，k=n，Gλ（n）=1;

（2）En-0（Xk）=Xk=nk，G0（n）=n;

（3）En-n（Xk）=n，k=1，k+1kn，k是n的非1正约数，Gn（n）=1.

定理4 （1）（ⅰ）当n=1时，En-1（Xk）=E1-1（X1）=X1=1;

（ⅱ）當n≥2时，En-1（Xk）=Xk=n，k=1，k+nk，k是n的非1正约数;

（2）（ⅰ）当n=1，2，3时，G1（n）=1;当n=4时，G1（n）=1，2;

（ⅱ）当n≥5时，若n是n的正约数（即n是完全平方数），则G1（n）=n;若n不是n的正约数，则G1（n）是n的小于n的最大正约数l或n的大于n的最小正约数m（可得En-1（Xk）min=min{En-1（Xl），En-1（Xm）}.当En-1（Xl）<En-1（Xm）时，G1（n）=l;当En-1（Xl）>En-1（Xm）时，G1（n）=m;当En-1（Xl）=En-1（Xm）时，G1（n）=l，m）.

证明 只证（2）（ⅱ）：由f（x）=x+nx（2≤x≤n）在[2，n]，[n，n]上分别是减函数、增函数及n>f（2），可得欲证结论成立.

定理5 （1）当n=1时，En-（n-1）（Xk）=E1-0（X1）=1;当n≥2时，En-（n-1）（Xk）=Xk=n，k=1，n+nk，k是n的非1正约数;

（2）Gn-1（n）=1.

定理6 （1）当n=2时，En-（n-2）（Xk）=E2-0（Xk）=Xk=2k（k=1，2），Gn-2（n）=G0（2）=2;

（2）当n是奇数且n≥3时，En-（n-2）（Xk）=Xk=n，k=1，n+nk，k是n的非1正约数;

（3）当n是偶数且n≥4时，En-（n-2）（Xk）=n，k=1，3n2-3n-42（n-1），k=2，k+1kn，k是n的正约数且k≠1，2;

（4）当n=3时，Gn-2（n）=G1（3）=1;当n≥4时，Gn-2（n）=1.

证明 下面只证（3）中k≠1的情形.

（ⅰ）当k=2时（由n≥4，可得组数n2≥2）：若两名感染病毒者在同一组，可得Xk=n2+（n-2）=32n-2，且PXk=32n-2=n·1n（n-1）=1n-1（理由：把并排的n个位置从左到右依次编号为1，2，3，…，n，其中1，2号组成第1组，3，4号组成第2组，…，第n-1，n号组成第n2组.把两名感染病毒者放在n个位置中的两个位置上有n（n-1）种放法.两名感染病毒者满足题设的放法是：第一名感染病毒者可放在以上n个位置中的任一个位置，第二名感染病毒者与第一名感染病毒者在同一组，只有1种放法，所以共有n·1种放法）;若两名感染病毒者不在同一组，可得Xk=n2+n=32n，且PXk=32n=n（n-2）n（n-1）=n-2n-1.所以

En-（n-2）（Xk）=En-（n-2）（X2）=1n-1·32n-2+n-2n-1·32n=3n2-3n-42（n-1）.

（ⅱ）当3≤k<n时（可得nk>1即组数nk≥2），当两名感染病毒者在同一组或不在同一组时，均可得Xk=nk+n=k+1kn.

（ⅲ）当k=n时，可得En-（n-2）（Xk）=En-（n-2）（Xn）=n+1=k+1kn.

进而可得欲证结论成立.

定理7 （1）当n=3时，En-（n-3）（Xk）=E3-0（Xk）=Xk=3k（k=1，3），Gn-3（n）=G0（3）=3;

（2）当n是奇数且不是3的倍数且n≥5时，En-（n-3）（Xk）=n，k=1，k+1kn，k是n的非1正约数;

（3）当n是偶数且不是3的倍数且n≥4时，En-（n-3）（Xk）=n，k=1，3n2-3n-122（n-1），k=2，k+1kn，k是n的正约数且k≠1，2;

（4）当n是奇数且是3的倍数且n≥9时，En-（n-3）（Xk）=n，k=1，4n3-12n2+8n-183（n-1）（n-2），k=3，k+1kn，k是n的正约数且k≠1，3;

（5）当n是6的倍数时，En-（n-3）（Xk）=n，k=1，3n2-3n-122（n-1），k=2，4n3-12n2+8n-183（n-1）（n-2），k=3，k+1kn，k是n的正约数且k≠1，2，3;

（6）当n=4时，G1（4）=1，2;当n≥5时，Gn-3（n）=1.

定理8 （1）En-2（Xk）=n，k=1，1n-1n（n-1）k+（2n-1）k-k2，k是n的非1正约数;

（2）（ⅰ）当n=2，3，4，5，6，7时，G2（n）=1;

（ⅱ）当n≥8时（可证得函数g（x）=2x3-（2n-1）x2+n（n-1）（2<x<n）有唯一零点，设为x0），若x0是n的正约数，则G2（n）=x0;若x0不是n的正约数，则G2（n）是n的小于x0的最大正约数l或n的大于x0的最小正约数m（可得En-2（Xk）min=min{En-2（Xl），En-2（Xm）}.当En-2（Xl）<En-2（Xm）时，G2（n）=l;当En-2（Xl）>En-2（Xm）时，G2（n）=m;当En-2（Xl）=En-2（Xm）时，G2（n）=l，m）.

推论1  当n=22时，G2（n）=1;当n=pα（α∈N*，p是质数）且n≠22时，G2（n）=pα2（其中[x]表示不超过实数x的最大整数，下同）.推论2 （1）当n=pq（pq>6，p<q，p，q均是质数）时，G2（n）=p;

（2）当n=pq2（p<q，p，q均是质数）时，G2（n）=q;

（3）当n=p2q（p<q，p，q均是质数）时，G2（n）=min{p2，q};

（4）当n=p2q2（p<q，p，q均是质数）时，G2（n）=p2，q（2p3q+1）>p（pq3+pq+p2+1），pq，q（2p3q+1）<p（pq3+pq+p2+1）（由質数p<q，可得q（2p3q+1）≠p（pq3+pq+p2+1））.特别地，当q>2p时，G2（n）=pq.注 在推论2（4）中，还可证得En-2（Xp2）<En-2（Xp），En-2（Xp2）<En-2（Xq2）.

定理9 （1）En-3（Xk）=n，k=1，1（n-1）（n-2）[k3+（3-3n）k2+（3n2-6n+2）k+n3-3n2+2nk]，k是n的非1正约数;

（2）（ⅰ）当n=3，4，5，6，7，8，9，10时，G2（n）=1;

（ⅱ）当n≥11时（可证得函数g（x）=3x4+（6-6n）x3+（3n2-6n+2）x2-n3+3n2-2n（2<x<n）有唯一零点，设为x0），若x0是n的正约数，则G3（n）=x0;若x0不是n的正约数，则G3（n）是n的小于x0的最大正约数l或n的大于x0的最小正约数m（可得En-3（Xk）min=min{En-3（Xl），En-3（Xm）}.当En-3（Xl）<En-3（Xm）时，G3（n）=l;当En-3（Xl）>En-3（Xm）时，G3（n）=m;当En-3（Xl）=En-3（Xm）时，G3（n）=l，m）.

下面的推论3（用定理9可证）给出了关于G3（pα）（α∈N*，p是质数）的完整结论.

推论3 （1）当n=4，8，9时，G3（n）=1;

（2）当n=2α（α-3∈N*）时，G3（n）=2α-12;

（3）当n=pα（α∈N*，p≥3，p是质数）且n≠32时，G3（n）=pα2.

推论4 当n=pq（pq≥14，p<q，p，q均是质数）时，G3（n）=p.

推论5 G0（100）=100，Gi（100）=10（i=1，2），G3（100）=5，Gj（100）=1（j=97，98，99，100）.

2 感染病毒概率已知的最优查血方案问题及其研究

定义5 现有n（n∈N*）个人，其中每个人感染某种病毒的概率均是1-p（0<p<1）.为了通过查血检测出这n个人中所有感染该病毒的人，先把这n个人分成t组，各组人数分别是n1，n2，…，nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）（即n=n1+n2+…+nt是n的一种分拆τ），对各组人分别按照定义2查血，记总查血次数是随机变量ητ，再记ητ的数学期望是En，p（ητ）.对于n的所有分拆τ，当En，p（ητ）最小时，τ叫做n关于p的最优分拆，记作τn，p.

问题3 （感染病毒概率已知的最优查血方案问题）在定义5中，对于已知的n与p，求τn，p.彻底解决问题3难度也较大，下面的定理12是其部分答案.

定理10[1] 现有k（k∈N*）个人，其中每个人感染了某种病毒的概率均是1-p（0<p<1）.若按照定义2查血，则每个人的平均查血次数是

Pp（k）=1，k=1，1-pk+1k，k∈N且k≥2.①

由定理10，可得问题3等价于[1]下面的问题3′：

问题3′ 在定义5中，对于已知的n与p，设n=n1+n2+…+nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）是n的一种分拆τ），可得相应的总查血次数的数学期望是En，p（ητ）=n1Pp（n1）+n2Pp（n2）+…+ntPp（nt）.对于n的所有分拆τ，当En，p（ητ）最小时，求出相应的分拆τ（记作τn，p）.

定理11[1] （最优分拆的性质）若n=n1+n2+…+nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）是n关于p的一种最优分拆，则在n1，n2，…，nt中随意取出若干个元素ni1，ni2，…，nij（设其和为m），则m=ni1+ni2+…+nij是m关于p的一种最优分拆.

定理12 （即文[1]定理1）正整数n关于0.1的最优分拆分别是（其中m∈N*）：1=1，2=2，3=3;4m=4·m;4m+1=4·（m-1）+5;4m+2=4·（m-1）+3·2;4m+3=4·m+3.

定义6 现有n（n∈N*）个人，其中每个人感染了某种病毒的概率均是1-p（0<p<1）.为了通过查血检测出这n个人中所有感染了该病毒的人，先把这n个人均分成nk（k是n的正约数）组，各组人数均是k（即n=k·nk是n的一种均分拆τ*），对各组的人分别按照定义2查血，记总查血次数是随机变量ητ*，再记ητ*的数学期望是En，p（ητ*）.对于n的所有均分拆τ*，当En，p（ητ*）最小时，τ*叫做n关于p的最优均分拆，此时记k=gp（n）.

问题4 （感染病毒概率已知的“k合1检测法”最优查血方案问题）在定义6中，对于已知的n与p，求gp（n）.

由定理10，可得

定理13 在定义6中，对于已知的n与p，问题4的答案gp（n）即函数

Pp（k）=1，k=1，1-pk+1k，k是n的非1正约数.②

取到最小值时k的值.

定理14 （即文[2]的推论）对于函数①，有

（1）当0<p≤e-4e2=0.5819…时，当且仅当k=1时函数Pp（k）取到最小值，且最小值是Pp（1）=1（当k∈N且k≥2时Pp（k）的值随k的增加而减少）;

（2）当0.5819…=e-4e2<p<1时（可证得方程x2pxlnp+1=0在区间2，-2lnp，-2lnp，+∞上均有唯一实根，分别记为x1（p），x2（p）），Pp（2）>Pp（3）>…>Pp（[x1（p）]），Pp（[x1（p）]+1）<Pp（[x1（p）]+2）<…<Pp（[x2（p）]），

Pp（[x2（p）]+1）>Pp（[x2（p）]+2）>Pp（[x2（p）]+3）>…>1=Pp（1）（所以由已知的p可得函数Pp（k）的最小值存在，且最小值只可能在k=1或[x1（p）]或[x1（p）]+1时取到，最小值是min{1，Pp（[x1（p）]），Pp（[x1（p）]+1）}）.

推论6 对于函数②，有

（1）当0<p≤e-4e2=0.5819…时，当且仅当k=1时函数Pp（k）取到最小值，且最小值是Pp（1）=1（当k是n的非1正约数时Pp（k）的值随k的增加而减少）;

（2）当0.5819…=e-4e2<p<1时（可证得关于x的方程x2pxlnp+1=02<x<-2lnp有唯一实根，记为x1（p）），若x1（p）是n的正约数，则由已知的n，p可得函数Pp（k）的最小值存在，且最小值只可能在k=1或x1（p）时取到，最小值是min{1，Pp（x1（p））

};若x1（p）不是n的正约数，则由已知的n，p可得函数Pp（k）的最小值存在，且最小值只可能在k=1、或n的小于x1（p）的最大正约数l、或n的大于x1（p）的最小正约数m时取到，最小值是min{1，Pp（l），Pp（m）}.

注 定理13与推论6给出了问题4的答案.当n很大时，考虑题设“k是n的正约数”意义不大，因此定理14也给出了问题4的答案.

题2 （1）（ⅰ）（文[2]的例1）求函數P0.9（k）的最小值;（ⅱ）求g0.9（90）;

（2）（ⅰ）（文[2]的例2）求函数P0.6（k）的最小值;（ⅱ）求g0.6（100）;

（3）（ⅰ）（文[2]的例3）求函数P0.9999（k）的最小值;（ⅱ）求g0.9999（150）.

解 （1）（ⅰ）由定理14（2）可求得方程0.9xx2ln0.9+1=02<x<-2ln0.9有唯一解x1（0.9），且3<x1（0.9）<4.

进而可得当且仅当k=4时P0.9（k）取到最小值，且最小值是P0.9（4）=0.5939.

（ⅱ）由推论6（2），可求得g0.9（90）=3.

（2）（ⅰ）由定理14（2）可求得方程0.6xx2ln0.6+1=02<x<-2ln0.6有唯一解x1（0.6），且3<x1（0.6）<4.

进而可得当且仅当k=1时P0.6（k）取到最小值，且最小值是P0.6（1）=1.

（ⅱ）由推论6（2），可求得g0.6（100）=1.

（3）（ⅰ）由定理14（2）可求得方程0.9999xx2ln0.9999+1=02<x<-2ln0.9999有唯一解x1（0.9999），且100<x1（0.9999）<101.

进而可得当且仅当k=100时P0.9999（k）取到最小值，且最小值是P0.9999（100）=1.01-0.9999100=0.019950661…

（ⅱ）由推论6（2），可求得g0.9999（150）=75.3 两个广义最优查血方案问题

问题5 （广义感染病毒人数已知的最优查血方案问题）现有n个人，其中恰有λ（λ∈N，n∈N*;λ≤n）个人感染了某种病毒.为了通过查血检测出这n个人中感染了该病毒的λ个人，先把这n个人分成若干组（每组至少1人），再查出每组中所有感染了该病毒的人，这种查法是：先把每个人的血液分成足够的份数，再把这一组所有人（设人数是k）的血样各一份混在一起进行检测，若结果呈阴性，则说明这k个人均未感染该病毒，不需再做检测;若结果呈阳性，则说明这k个人中有人感染了该病毒，对这k个人的血样还需再进行检测：又可把这一组k个人的血样分成若干个小组（每个小组至少1人），……请设计一种查血方案，使总查血次数最少.问题6 （广义感染病毒概率已知的最优查血方案问题）现有n（n∈N*）个人，其中每个人感染了某种病毒的概率均是1-p（0<p<1）.为了通过查血检测出这n个人中所有感染了该病毒的人，先把这n个人分成若干组（每组至少1人），再查出每组中所有感染了该病毒的人，这种查法是：先把每个人的血液分成足够的份数，再把这一组所有人（设人数是k）的血样各一份混在一起进行检测，若结果呈阴性，则说明这k个人均未感染该病毒，不需再做检测;若结果呈阳性，则说明这k个人中有人感染了该病毒，对这k个人的血样还需再进行检测：又可把这一组k个人的血样分成若干个小组（每个小组至少1人），……请设计一种查血方案，使总查血次数最少.

参考文献

[1] 甘志国.最佳查血方案问题[J].数学通讯，2005（05）：29-31.

[2] 甘志国.全区居民作咽拭子核酸检测时几人一组合适[J].中学数学杂志，2021（03）：32-34.

作者简介 甘志国（1971— ），男，笔名甘喆;1988年参加教育工作，钻研教法与学法，提倡并关注学生运算能力的培养.总结提出并践行“懂、会、熟、巧、通”五步解题学习法，“思、探、练、变、提”五步解题教学法，“知、懂、熟、用、赏”五种解题境界及高中数学教学的四个关键词“夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高”，倡导教师要做明师;出版著作多部;发表文章多篇.