错题，学生如何学会“真”面对

□ 严 晶

数学课堂中，学生在做练习时经常会出现一些错误，归纳起来有这样两种现象：一是不同班级、不同学校甚至不同年代的学生在学习某些数学知识时会出现一些相同的错误；二是学生在新授课中出现的错误在单元练习与期末复习中也会出现。作为引领学生学习的教学研究者，我们是否应该思考：如何帮助学生降低错误的发生率？如何让学生在错题中汲取经验引以为戒？

基于上述思考，我们制订了“数学错题‘四真’学习方案”，帮助学生正确面对和处理学习中的错误。它主要包括：引导学生对错题资源进行收集与整理，组建学习共同体自主交流探讨，利用课堂来展示内化，发展学生的反思能力和应用能力，有效提升学生的数学核心素养。流程如图1所示。

图1 错题“四真”分析流程

一、收集“真”问题——设计个性化错题推荐卡

在日常的课堂练习和课外作业中，我们发现学生出现错误的题目比较集中。如学习“万以内数的认识”这一内容，对于写数和估算策略等题目，有些学生总会一错再错。虽然学生在教师讲解例题、练习时已经听明白了，但同类题目学生在独立练习时仍然会出现同样的错误。出现这些情况归根结底是学生没有完全理解知识点的基本概念和变化关系，教师需要针对典型错题引导学生进行研究。

根据“数学错题‘四真’学习方案”，教师为学生设计了一张“易错题”收集卡，让学生收集自己在本单元相关练习中的错题，尝试进行自我错因分析（如图2）。

图2 学生的“易错题”收集卡

“易错题”收集卡项目格式固定、内容开放，给予学生自主发现问题的权限和收集记录的模板。学生可以通过这些收集卡精准地查找学习易错点，也可以选择自己感兴趣的知识点再次探究。同时也有利于教师整理全体学生的知识图谱，精准地帮助学生进行后续查漏补缺，减少重复机械的练习，减轻学生的作业负担。当然，这些材料也是教师以后教学、练习设计的重要资源。

二、错题“真”分析——构建特殊化“学习共同体”

（一）分类整理个性化易错题

错题的收集是学生自我整理的过程，只有进行深入分析才能真正发挥错题的价值。当学生的“易错题”收集卡完成后，我们发现很多学生整理的错题是相同的，甚至连错因分析都是雷同的，于是我们需要对这些错题进行分类。可以按不同的知识类型来分，也可以按不同的解决方法来分。下面就以“万以内数的读写”的练习为例，分类整理出典型的易错题。

◆按知识类型分类：

①用6颗珠子在算盘上拨出一个0也不读的最大四位数是（ ）。

②用3 颗珠子在算盘上拨出最大的三位数是（ ），最小的三位数是（ ）。

③用4 颗珠子在计数器上能拨出（ ）个三位数。其中最大的数是（ ），最小的数是（ ）。

以上三道题都是考查写数这个知识点的同类型问题，把它们放在一起练习，有利于学生进行比较、辨析、类比。

◆按方法分类：

①用6颗珠子在算盘上拨出一个0也不读的最大四位数是（ ）。

②一个四位数，它的各数位上数字相加的和是10，且各数位上数字不相等。这个四位数最大可能是（ ），最小可能是（ ）。

③一个三位数，它十位上的数字比个位上的数字小2，比百位上的数字大1，三个数位上的数字之和不超过10，这个三位数是（ ）。

这三道题的知识点是写数，但解决的方法还是有细微的区别。第①题适合用画图法来解决，第②③题可以用画图法来辅助解决，还可以借助数学推理的方法来思考。

（二）同质组合学习共同体

结合对同类易错题的分析和整理，我们将相关学生组成“学习共同体”，以四人小组开展活动。先在小组内分享自己的错因，然后针对自己的错因，提出解决问题的方法。

例如，5号同学在“易错题”收集卡中的错因分析是在算盘上忘记了上珠1 颗当作5 这个知识点（如图2）。那么解决这个问题的方法有哪些？小组内进行交流：①圈出关键词“算盘”，提醒自己要注意算盘的上珠很特殊。②画出算盘的模型，区别上珠和下珠……

通过讨论、交流、分享、反思等数学活动，学习共同体化解了每一个学生的学习障碍。一种方法衍生出了多种方法，一种思想演变成了多种思想。课堂练习不再枯燥乏味，处处闪耀着思维的火花。

（三）人人争当“小导师”

在学习共同体中，每一位成员都要学会做小导师，剖析自己做错的题目，结合同学之间的讨论和交流，先总结这一类型问题中有哪些“坑”点，即归因这一类题目中的易错点。然后把这道题的解题过程详细地讲解给同学听，特别要注意把自己的思考过程讲清楚。如果小导师有地方不能说清楚，或同伴在倾听的过程中有疑问，全体成员一起讨论提出建议，帮助小导师修正思路和讲解方案。

三、鼓励“真”思考——形成共性化错题分解

学习共同体在经历组内交流分享，通过讨论分析错题成因，理解掌握组内典型错题蕴藏的知识点后，形成了切实有效的练习方法。这时小导师已经非常期待能像老师一样把自己掌握的知识传授给他人，每个学习共同体将派一名代表上台讲题，把自己的方法和思路与大家分享。下面请看一位小导师的介绍。

大家好！我是5 号小老师。今天我给大家讲这道题。首先读题目：用6颗珠子在算盘上拨出一个0也不读的最大四位数是几，接着我们把关键词“算盘”“一个0 也不读”“最大”圈起来，还要圈出6颗珠子这个数学信息。然后我们可以画一个简单的算盘（如图3），要得到最大的四位数，千位上珠子要多，把6 颗珠子都放在千位上，上珠只能画1颗，下珠最多画4 颗，那么还多1 颗珠子，我们要放在哪里才能使这个数最大呢？一定要放在百位的上珠，因此在百位上珠处画1颗珠子。最后我们验证读法：九千五百，满足“一个0 也不读”的要求。所以用6颗珠子在算盘上拨出一个0也不读的最大四位数是9500。

图3 简易算盘

听完小老师的讲解，同学也纷纷提出自己的收获：“他在解决问题中呈现出圈画关键词的好习惯。”“他运用了画图的方法，把数学问题转化成形象直观的图示，这样的方法还可以应用到解决其他的数学问题中。”也有同学提出这样的疑问：“6 颗珠子为什么不能都放在千位上？”教师组织全班学生针对这一问题进行讨论和思辨。感悟6 颗珠子都放在千位上，不管是放在上珠还是下珠，千位上所表示的数都超过了10 个千，与算盘的珠子数和同一数位上最大的数是9 相矛盾。得出千位上最多只能放5颗珠子，余下的1颗要顺延放到百位上。

整个展示过程是学生思维内化的过程。学生不仅懂得怎么去学习和欣赏他人的优点，还通过思考、讨论、思辨，对数位、最大值等知识形成深度的理解。

四、整理“真”成果——指导常态化错题练习

学生通过学习共同体的形式将学习中发生的错误进行整理分析，明白了典型错误的成因。但每个学生的情况还存在差异，所以教师仍需指导学生整理自己个性化的错题集本。课堂上，小老师通过讲解，以及同学们的思考反馈，把错题中的知识点说清楚，把易错点讲明白，每一步解答还用画图、列举等方法呈现，让听的同学更清楚。

课后，要求学生对自己的错题再独立做一次，把解题过程在旁边写出来。对于学优生来说，错题少，接受度高，作业错题分析整理的过程，能帮助他们在讲题过程中开拓不同的解题思路，努力去尝试一题多解，以及归纳一法通用的同类型题。对于中等生来说，这样的作业练习经历能有效提升他们的学习自信心，在讲解和倾听中再次理解问题，并及时进行反思和总结。对于学困生来说，他们暴露的错误多，通过错题“四真”的学习，可以有效帮助他们梳理同类型知识点，在综合运用的练习中辨析关键、分解错题，找准自己的问题所在，通过分类整理学会分析知识点，在讲解过程中把准自己的易错点，在举一反三中突破自己的难点，夯实基础、分解提问，对错题资源进行有效地整理利用。

学生能够通过错题的收集和整理，学会真正面对自己的错误，分析错误的原因，找准问题的关键。在学习共同体的合作中分享智慧，进一步理解问题、解决问题，最后内化总结出自己的方法，并因此提高自己的能力。美国国家训练实验室研究成果“学习金字塔理论”表明：学生自主探究，合作学习，个性化地定制自己的练习内容；高效地管理自己的错题；将时间精准地花在错题理解、内化成自己的知识上；通过数学语言的表达，呈现有效思考的过程；形成自己的学习方法，能让知识的吸收率从5%提升到90%，让自己的学习力得到可持续发展。