三次构图 明晰概念——以《周长与面积的关系》拓展课教学为例

□ 徐梦瑶 郭俏婷

在小学数学概念教学中，“周长”和“面积”是与平面图形有关的两个概念。这两个概念分别安排在人教版教材三年级上、下两册中。上册教材在呈现“周长”概念后，安排了矩形（长方形、正方形）周长计算的相关内容。下册教材在呈现“面积”概念后，安排了矩形面积计算的相关内容。图形的周长和面积是两种不同的度量问题，周长是关于图形边长的度量（矩形中，是边长之和），面积是关于图形大小的度量。这两种度量的计算都关系到图形的边（矩形中的边长），学生若不能深刻理解这两个概念的内涵，就非常容易将它们混淆。

为解决概念混淆的问题，我们借助概念构图设计了一节探究拓展课，通过三次构图促使学生对周长与面积进行有效区分，即初学构图，探究周长与面积的关系；二次构图，梳理周长与面积的关系；修正构图，完善周长与面积的关系。在这个过程中，学生将知识点串成线，连成网，进一步提高了抽象水平，实现从“点状”到“网状”的结构化建构。

一、初学构图，探究周长与面积的关系

我们知道，理解是建立在学生已有的知识经验基础上的，教师只有充分把握学生的认知起点，才能精准、有效地开展课堂教学。于是，我们让学生在学习周长与面积的基础上，进行自主构图。从学生的课前构图（如图1）中可以看出，学生的理解表现出这样两个特点：（1）头脑中有很多知识点（如周长与面积的概念、单位、相关的计算公式等），但这些知识点是分散零碎的。（2）“周长”与“面积”是两个独立的教学内容，它们的学习有半年的间隔时间，因此有的学生在“关系”这里打了问号，提出“周长与面积之间是否存在一定的关系”“当周长一定或面积一定时，周长与面积存在怎样的关系”等问题。

图1

由于寻找“周长”与“面积”间的关系需要用到较多的知识点，学生在关系理解中往往会表现出混乱、模糊的状态。让学生课前把自己的认识用概念构图呈现出来，不仅有利于唤醒学生已有的知识经验，而且能暴露学生存在的疑惑和学习需求，为深入学习奠定基础。

二、二次构图，梳理周长与面积的关系

从学生的课前构图可知，学生对“周长”与“面积”这两个独立概念已经有深刻的认识。因此教师可以从问题引入，激发学生思考。教师鼓励学生先利用表格和图式深入分析、探寻本质属性，再利用变式拓展，让学生在变与不变中体会两者的关联，最后利用概念构图把自己的发现串联成线，初步归纳周长与面积的关系，生发新的理解。

【核心活动一】

师：从大家的课前构图中看出，同学们对“周长与面积有什么关系”非常感兴趣，接下来我们一起来研究。先思考这样一个问题：用16 厘米长的铁丝围长方形，长方形的面积情况是怎样的？

（学生独立思考后，教师呈现学生不同的作品，如图2）

图2

师：观察思考这三个作品，你赞同谁的？说说你的理由。

生：作品①肯定是错的。题目的意思是周长是16厘米，他理解成了面积是16平方厘米。

生：作品②也错了。因为长方形的周长=（长+宽）×2，所以长+宽=16÷2=8（厘米），而这里长加宽的和变成了16厘米，所以肯定错了。

生：我认为作品③是对的。我还发现这些长方形的周长都是16厘米，长和宽的长度越接近，面积就越大，围成正方形时面积最大。

师：为什么当周长一定时，长和宽越接近，面积就越大？谁有办法说清楚吗？

生：我用的是数格子的方法。我发现当边长是4格长的时候，面积的格子数是最多的（如图3）。

图3

生：长方形的长少了1 格，宽多了1 格，周长不变。格子数从1行变成2行，数量变多了（如图4）。

图4

生：长方形的宽多了1 格，就增加了1 行；长少了1 格，就减少了1 列，格子总数就是加6 减1。周长没有变，面积增加5格。（学生手指图4进行讲解）

通过错例分析，寻找理解上的“模糊点”，是推动学生深化理解的有效途径。教师以“数形结合”为理解手段，借助格子图上的演示和比较，帮助学生明晰规律及其背后的原理。在这样的过程中，学生自然而然地感悟到两个概念的本质区别，同时建立起“长方形的周长相等时，长度和宽度越接近，面积越大”的规律。

【核心活动二】

师：如果用12 厘米长的铁丝一面靠墙围长方形，怎么围面积最大？

生：当边长是4 厘米时正方形面积最大，最大面积是16平方厘米。

生：当长是6 厘米、宽是3 厘米的时候，面积有18平方厘米，更大。

师：不是说当周长一定时，正方形的面积最大吗？这里为什么不对了？

生：这里是靠墙围长方形，12厘米是铁丝的长度，不是周长。

师：那是不是我们前面发现的规律不对呢？为什么面积为18平方厘米一定是最大值？谁有办法说清楚？

生：如果我们在墙的另一边也画一个同样的长方形，就变成了正方形。这个时候周长是24厘米，边长是6 厘米。这时靠墙围成的长方形的长是宽的2倍，这时的面积最大。（学生手指图5进行讲解）

图5

师：通过刚才的活动，你有什么发现？

生：一面靠墙围长方形，当长是宽的2倍时，面积最大。

生：解决一边靠墙围长方形问题的办法是将周长×2，也就是使长方形的2 倍成为正方形的时候，面积最大。

生：周长相等，面积不一定相等，围成正方形时面积最大。

学生习惯用迁移的方法把对一个问题的理解转化到另一个问题的解决上，这样的思考有时有助于学生理解，有时也会导致学生出现错误认知。教学中，教师要有效利用学生的主张进行思辨、探究，以推动学生形成更高级的认知。由此可见，受“核心活动一”的迁移，学生很容易认为当围成正方形时面积最大。而事实并不是这样，学生发生了认知冲突，很自然地会去追寻原因，从不同的角度进行延伸性思考。根据周长的本质意义，并借助图式进行理解，同样能运用之前发现的规律来解释“一面靠墙围长方形，当长是宽的2倍时，面积最大”。学生在主动思考与交流的过程中会加深理解，提升数学思维能力。

【核心活动三】

师：有同学在课前构图中提出“当周长一定或面积一定时，周长与面积存在怎样的关系”，现在你能将概念构图补充得更完整吗？

（学生独立思考后呈现各自的想法）

师（出示图6~图8）：这是几位同学的概念图，你看懂了吗？

生：我看懂了图6。周长一定时，长与宽越接近面积越大，正方形的面积最大；当一面靠墙时，可以把墙看成对称轴，变成正方形，当图形的长是宽的2倍时，面积最大。

生：图7 指出了周长是边线长度的总和，面积是边线围成区域的大小。它们的关系和图6 表示的是一样的。

图6

生：图8 比图7 更完善，它指出了“正方形的面积最大”是属于“长与宽越接近，面积越大”的一种特殊情况。

图7

图8

学生的深度理解需要思维的积极参与，让思维可见对于促进学生深度理解有着重要的作用。教师利用直观的概念图，把不可见的思维过程和结构直观地呈现出来，能让学生精准地把握重点，理解知识点之间的关联。

三、修正构图，完善周长与面积的关系

通过以上构图过程，学生可以在一个轻松自由的对话环境中相互补充、完善理解。这个过程能够促使学生进行主动思辨，在与同伴的对话中不断地修正、拓展和超越原始理解。

师：根据刚才几位同学表示出的周长与面积的关系，你们有新的想法或补充吗？可以四人小组相互讨论完成。

（小组讨论重新构图，如图9、图10）

图9

图10

师：谁能来介绍一下你们组的想法？

生：图9是我们组修正后的概念图。它表示的规律和图8 是一样的，我们还表示出了“一面靠墙时把墙看成对称轴变成轴对称图形”这一规律。

生：图10 是我们组修正后的概念图。我们认为要厘清周长与面积的关系，首先要明确这两个概念的本质区别。因此我们把两者的意义放在前面，由此形成了一定的关系。

师（小结）：现在你对周长与面积的关系有了什么新的理解？请修正你的构图。

（学生修正构图，完成后在教室里展出）

学生通过不断补充、修正概念图来建立知识间的关联。随着构图、展图、论图、正图活动的层层推进，学生对周长与面积的关系有了结构化、整体性的认知，学生的理解得到了深化，思维能力得到了发展。

总之，利用概念构图可以帮助学生厘清概念之间的关系，实现横向关联和纵向融通。在这个过程中，学生会自主思考、相互倾听、充分讨论、积极反思，并形成关系结构，实现理解进阶和知识迁移。