(1+1)维混合KdV方程的通用F-展开和精确解

陈 南，张雪健

(厦门工学院计算机与人工智能学院，福建厦门 361021)

0 引言

非线性偏微分方程的求解问题，一直以来受到广大学者的关注.目前，已有很多方法对方程求解，例如：齐次平衡法[1]、达布变换法[2]、Painlevé分析法[3]、G′/G函数展开法、F-展开法等.文献[4]中，把F-展开法推广到一般椭圆方程

F′2(ξ)=c0+c1F(ξ)+c2F2(ξ)+c3F3(ξ)+c4F4(ξ)

(1)

式(1)中ci(i=0,1,...,4)为参数，并给出了一般椭圆方程(1)的由系数之间的联系所确定的12种Jacobi椭圆函数解，并借助这些解把F-展开法推广到一般椭圆方程的情形，即提出了通用F-展开法.

(1+1)维混合KdV方程

ut+a0ux+a1uux+a2u2ux+βuxxx=0

(2)

它则是描述非线性晶体传播的方程.目前对(1+1)维混合KdV方程的研究文献比较多，文献[5]用F-展开法对该方程进行了求解，文献[6]中使用G'/G展开法和G'/G扩展法对方程进行求解.本文选择了文献[4]提出的通用F-展开法对该方程进行求解.

1 应用通用F-展开法

作行波变换，u(x,t)=u(ξ),ξ=k(x-ct)，其中k和c分别为波数和波速，则方程(2)变为

-cu'+α0u'+α1uu'+α2u2u'+k2βu'''=0

(3)

假设方程(3)具有如下形式的解，

(4)

式(4)中n,ai(i=0,1,...,n)为待定常数，且F(ξ)满足一般椭圆方程(1).利用齐次平衡原则，可得n=1.故式(3)的解为

u(ξ)=a0+a1F(ξ)

(5)

式(5)中F=F(ξ)满足式(1).由式(1)可得

(6)

利用式(1)、式(6)，由式(5)可得

u′=a1F′

(7)

u‴=a1(c2F′+3c3FF′+6c4F2F′)

(8)

将式(5)、式(7)、式(8)代入式(3)，并令FiF′(i=0,1,2)的系数为零，得到关于a0,a1,k,c的方程组

(9)

(10)

(11)

解该方程组得

(12)

式(12)中ε=±1.

2 (1+1)维混合KdV方程的精确解

利用文献[4]中给出得一般椭圆方程得Jacobi椭圆函数解，得到方程(2)的如下三种情形的解为：

其中，m(0

3 结论

求解非线性偏微分方程，一直是一个重要的问题.本文利用文献[4]中提出的通用F-展开法对(1+1)维混合KdV方程进行分析求解，得到了12种Jacibi椭圆函数解，丰富了(1+1)维混合KdV方程的解系.后续，可推广至其他方程.