“有理数”单元教学研究：在教育神经科学视野下

摘要：随着现代心理学向具有确定性证据的脑科学发展，教育神经科学这门交叉学科逐步形成。在利用“抽象结构”思想分析初中数学“有理数”单元的内容体系及核心育人价值的基础上，将其置于教育神经科学的视野下，分析其学习心理的脑机制，从而提出相应的教学策略：利用“数系扩充”的大观念引领单元整体教学，充分利用数轴直观建立数与形之间的联系，加强多种形式的逻辑推理。

关键词：有理数;抽象结构;数系扩充;教育神经科学;脑机制

数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系;基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。数学不仅是自然科学的重要基础，而且在社会科学中发挥着越来越重要的作用，同时在发展人的理性思维、科学精神以及智力方面发挥着不可替代的作用。数学的育人价值主要体现在让学生“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020：2。。

為了更好地实现这些育人目标，数学课程内容的选择和教学既要反映数学的学科特征，又要遵循学生学习（认知）的心理规律。随着现代心理学向具有确定性证据的脑科学发展，教育神经科学这门交叉学科逐步形成：综合运用教育学、神经科学、心理学等学科研究教育的现象，从“分子—基因—突触—神经元—神经网络—神经系统—课堂行为”的层面研究教育的规律。周加仙.教育神经科学视角的知识创造与知识判断标准[J].教育发展研究，2018（24）：4853。这对深刻理解学生数学学习（认知）的心理规律，提升数学教育与脑发展的契合性，改进数学育人效果，有重要的理论价值与现实意义。

本文聚焦初中数学“数与代数”领域“数与式”主题的基础内容单元——“有理数”，在利用“抽象结构”思想分析其内容体系及核心育人价值的基础上，将其置于教育神经科学的视野下，分析其学习心理的脑机制，从而提出相应的教学策略。

一、“有理数”的内容体系及核心育人价值

（一）数系的产生和发展概述

人类对数的认识随着生产、生活的外在需要及数学逻辑的内在需要逐步深化，按照从直观的数量表示到运算再到系统化、公理化的顺序发展，经历了从直观到符号抽象再到逻辑优化的曲折而漫长的过程。

首先，数的发展起源于数数、排序、分物和测量等生产、生活实践活动。人类早期通过数数、排序及其符号表示活动产生了正整数，为了表示“没有”引入了0，为了表示“平均分物”和“测量的结果”引入了正分数（包括小数）。同时，基于生产、生活的需要进行这些数的运算。

其次，针对数及其运算的逻辑思考是数系扩充和完善的核心机制。位值制是自然数简约符号表示的基础性创新。对“加1运算”这一自然数后继函数的认识，是引入自然数加法运算的基础。进而，通过抽象产生自然数的乘法以及乘方运算，通过逆运算引入自然数的减法、除法以及开方、对数运算（乘方运算不满足交换律，所以有两个逆运算）。对运算律的认识是代数思维形成和发展的基础。在此基础上，基于减法运算封闭性的需要，引入负整数，把数的范围扩充到整数;基于除法运算封闭性的需要，引入分数，把数的范围扩充到有理数;基于有理数列极限运算封闭性的需要，引入无理数，再把数的范围扩充到实数，得到具有完备性的实数域。追求运算的封闭性是数系扩充的内在动力，追求运算及运算律的继承与一致是数系扩充的内在逻辑。这是人类在长期的数学活动中经历曲折而漫长的努力后形成的。

在数系扩充的过程中，无理数和负数的发现与认识过程是特别艰辛、曲折的。古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了线段的不可公度性，打破了“万物皆数（整数或整数比）”的逻辑基础，引发了第一次数学危机。李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002：38。尽管在1世纪中国的《九章算术》中就出现了负数，并且利用“正负术”进行加减运算，解决了一些实际问题，但是负数一直未被西方普遍认可;直到19世纪，西方才系统接受了负数，确立了负数的逻辑地位。菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学（第一卷）[M].舒湘芹，陈义章，杨钦樑，译.上海：复旦大学出版社，2008：18。

基于历史相似性，古人对负数认识的困难也会出现在学生的学习中。因此，当下的数学课程对数系扩充的内容，普遍采用“自然数—（正）分数—有理数……”的逻辑线索安排。并且，在学习了自然数和正分数（包括小数）后，基于相反意义量的表示引入负数，便于学生理解。引入负数，扩大数的范围后，基于“抽象结构”思想，研究其内涵（与正数的区别与联系）、表示、大小比较和运算等，而核心是进行有逻辑的运算——没有运算，负数就只是一种量的符号表示，不具备数的核心特征;将负数与运算联系起来，有利于学生掌握负数的实质内容。

（二）“有理数”的内容体系

“有理数”内容展开的过程中蕴含着下列数系扩充活动：

第一，基于现实需要和减法运算封闭性的需要引入负数，扩大数集。

第二，通过分类，研究扩大范围后新数集中的数与原数集中数的差异：原数集中的数只有量值（数值），没有极性（正负）;新数集中的数（除0外）既有量值（数值），又有极性（正负）。同时，遵循数系扩充的内在逻辑顺序“正整数—引入0，扩充到自然数—引入负整数，扩充到整数—引入分数，扩充到有理数”，对新数集进行分类，给出有理数的描述性定义“整数与分数统称有理数”，为进一步统一用“整数比”对有理数进行实质性定义奠定基础。

第三，研究有理数的数轴直观表示，奠定数形结合的基础。

第四，研究“在正数1、2、34……前面添加负号，得到-1、-2、-34……”的匹配数对（量值相等，极性相反，表示特殊的相反意义量的正、负数）之间的关系，引入“相反数”的概念，借助数轴直观地理解这种关系（表示相反数的两个点关于原点对称），理解诸如-（-3）、-（+3）等表示的意义并化简。在后面的有理数加法中，“互为相反数的两个有理数的和为0”，则进一步阐述了相反数的运算特征，渗透了数系扩充中运算的封闭性是如何通过扩大数集、拓展运算来实现的。事实上，有理数系中的加法构成了一个加群，相反数的本质反映了加群中加法运算的“负元”存在性：对于任意元素x，集合中存在着一个元素y，使得x+y=0。这为在相反数概念教学中渗透相反数对“从正数出发引入负数”的数学内在逻辑价值，提供了更高位数学观点的启发：相反数可以借助数轴来直观理解，但其本质属性是数的关系，不依赖于数轴。

第五，绝对值是扩大后新数集中的数与原数集中数的共性，即不考虑极性后留下的量值。因此，绝对值是数系扩充后数的内在一致性的本质反映，与数轴无关，但可以借助数轴上表示数的点到原点的距离与单位长度的比值来直观理解。

第六，有理数的大小比较研究的是扩大后数集的有序性，可以借助数轴来直观理解，但数的序关系本质上不依赖于数轴。

第七，运算是数系扩充研究中的核心问题。运算法则是一种规定，这种规定的合理性体现为新的运算法则在原数集中保持与原来一致，原有的运算律在扩大后的数集中仍然保持。有理数系中，核心的运算是加法和乘法运算。加法存在零元（0）、负元（负数），乘法存在单位元（1）、逆元（非0数的倒数）。加法和乘法运算满足结合律、交换律、分配律（联系加法和乘法运算）。运算律是运算中的不变规律，也是简化运算的依据，如依据结合律可以简化有限个元素的运算，依据分配律可以简化加法和乘法运算等。基于除法运算，引出有理数的实质定义——整数比。

综上，贯穿“有理数”内容的知识发生、发展的基本思想是：扩大数集、拓展运算、前后连贯、逻辑一致。这种“数系扩充”的研究思路及内容是“引入新数、扩大数集—分类、定义（新、旧数集中数的区别与联系）和表示（符号、图形）—研究性质（相等和不等关系，即序关系）—研究运算（加法和乘法运算及其逆运算）和运算律—应用”，研究方法是从特殊到一般、归纳、数形结合。

（三）“有理数”的核心育人价值

数系扩充是“数与代数”中数学系统抽象结构的典范，其核心育人价值是：在从原有数系扩充到新数系的过程中，发展数学抽象能力和逻辑推理能力。这具体表现为：在有理数、相反数、绝对值、倒数等概念的形成过程中，发展数学概念的抽象能力和归纳推理能力;在有理数的大小比较法则、运算法则以及运算律的形成过程中，发展数学法则和规律的抽象能力和归纳推理能力;在运用有理数的大小比较法则推理、运用运算法则和运算律运算的过程中，发展演绎推理能力和运算能力;在借助数轴理解有理数、相反数、绝对值以及加法和乘法运算及其运算律的过程中，发展空间观念和几何直观能力;在运用有理数的运算表示和解决实际问题的过程中，发展数量关系的抽象能力，建立数的运算的模型观念。

二、“有理数”学习心理的脑机制

（一）支撑“有理数”学习的脑神经网络

学习“有理数”时，大脑的视觉空间网络（包括枕叶、顶叶、中央前回运动区、额中回等;核心是双侧顶内沟，与心理数轴相关）、语义网络（与数学问题解决相关，与双侧顶内沟有专门的神经联结）起到了基础性作用。而大脑的情境网络（也称默认网络，与情境信息加工有关，与语义网络有大量的重叠）在理解具体情境中的物理数量，用与自己经历相关的情境解释相反数、绝对值以及有理数运算的意义，把有理数及其运算的知识应用到具体情境中，提取有理数及其运算的具体情境与语义记忆等方面，都起到了重要作用。

此外，大脑前额叶的执行控制网络影响着学生问题解决的计划、判断、记忆和动作的执行控制等，它与大脑的后部及皮质下结构都有广泛的联系，也是支持“有理数”学习中问题解决的目标导向行为的大脑神经网络。经济合作和发展组织.理解脑——新的学习科学的诞生[M].周加仙，等译.北京：教育科学出版社，2010：32。大脑前额叶、楔前叶的元认知脑区联合情境网络，支持诸如学科大观念等整体性、策略性知识的学习。参见S.M.Fleming和R.J.Dolan的The neural basis of metacognitive ability一文。

大脑的与情绪加工有关的神经网络对数学学习也有重要影响。情绪网络包括眶额皮层、扣带前回、下丘脑、基底神经节、脑岛、躯体感觉皮质等。这种影响主要通过提取当前事件的情绪价值影响选择性注意，还对视觉加工有远程影响。G.Pourtois， A.Schettino， P.Vuilleumier.Brain mechanisms for emotional influences on perception and attention：what is magic and what is not[J].Biological Psychology，2013（3）：492512。

（二）“负数”概念理解的脑机制

引入负数后，学生需要用新的观念看数。研究表明，大脑采用合成策略，而不是整体策略表征负数：基于极性，用正负号表示相反意义的量，用“距离”理解其量值的大小。D.GanorStern， J.Tzelgov.Negative numbers are generated in the mind[J].Experimental Psychology，2008（3）：157163。M.H.Fischer.Cognitive representation of negative numbers[J].Psychological Science，2003（14）：278282。

首先，对正负数正负属性的理解。负数的引入基于相反意义的量。理解这种相反意义的量，首先需要在脑内表征其极性。而理解这种数量的极性。基于两个相反的方向，依赖大脑的导航神经网络。初级视觉皮质中，有不同的神经集群对线条的朝向有特异反映D.H.Hubel，T.N.Wiesel.Receptive fields， binocular interaction and functional architecture in the cats visual cortex[J].The Journal of Physiology，1962（1）：106。，左側额顶环路负责加工位置分类及其工作记忆，右侧额顶回路负责加工位置定位及其工作记忆，而海马体中的位置细胞则加工物体和位置的绑定并对其加以记忆A.Postma， R.P.C.Kessels， M.van Asselen. How the brain remembers and forgets where things are： The neurocognition of objectlocation memory[J]. Neuroscience & Biobehavioral Reviews，2008（8）：13391345。。

其次，对相反意义量的绝对量值的理解。如果是整数，其绝对值反映为数的大小效应。如果是分数，根据分数的特征，表现为两种加工方式的混合：一是针对同分母或同分子分数的成分加工方式，基于自然数的大小效应表征其大小;二是针对一般的分数，基于分数与单位的比率的数值表征其大小。刘颖，刘儒德，高婷，等.学生分数加工模式及其对教学的启示[C]//周新林.教育神经科学视野中的数学教育创新.北京：教育科学出版社，2016：279288。基于正数与单位的比率（表示有理数的点到原点的距离与单位长度的比值）表征正负数的绝对值，符合大脑的认知规律。

最后，基于心理数轴实现空间与数量的融合。这是建立有理数的统一理解的核心认知机制。心理数轴是人们表征数的大小的脑内神经机制。心理数轴最初是在正整数大小比较的任务中发现简单数字效应（SNARC，左侧表征较小数效率高，右侧表征较大数效率高）而发现和提出的。在负数概念形成后，把负数作为一个对象与正数、0比较，又可以延伸心理数轴。费切尔采用比较判断任务，研究结果支持数轴从0向左延伸包含负数的假设。M.H.Fischer.Cognitive representation of negative numbers[J].Psychological Science， 2003（14）：278282。

（三）“有理数的大小比较”学习的脑机制

正整数的大小比较有两种路径：一是基于估算的大小比较（基于心理数轴），二是基于一个数小于后继数的累积比较。正分数的大小比较根据两个分数的特征选择成分比较法（同分母比分子大小，同分子比分母大小）或整体比较法（比较两个分数的值）。正数与负数、0与负数的比较基于正负的方向相反进行，在最初学习两个负数的大小比较中，存在反简单数字效应现象，即左侧表征较大负数的反应效率高，右侧表征较小负数的反应效率高。D.GanorStern，J.Tzelgov.Negative numbers are generated in the mind[J].Experimental Psychology，2008（3）：157163。

如果借助数轴进行统一的图形表征，则又统一地用“左小右大”直观地理解有理数大小的关系。因而，“有理数的大小比较”教学的重点和难点是，帮助学生打破正数简单数字效应、负数反简单数字效应的“各自为政”，借助数轴统一地形成有理数的简单数字效应，从而统一地建立有理数大小的观念。

（四）“有理数的运算”学习的脑机制

心理数轴在表征有理数的加减运算中起到核心作用。图形大小任务和数大小任务在顶叶区域有较大的激活脑区的重叠，说明数大小的知觉与心理数轴中线段长短（点之间距离大小）的知觉具有交互作用，支持空间更新与支持计算转换的相同的脑机制是空间注意沿着心理数轴的激活轨迹产生移位转换。这对算术加减运算至关重要。E.M.Hubbard，M.Piazza，P.Pinel， et al. Interactions between number and space in parietal cortex[J].Nature Reviews Neuroscience，2005（6）：435448。

引入负数后，数的范围扩充到有理数。正如费切尔的研究结果所支持的，心理数轴从0开始向左延伸，表示数轴上点的移动的数的运算既包含正负（运动方向），又包含绝对值（运动距离），涵盖了所有有理数的加减运算。

周新林等人的研究表明，由于学习经验的塑造，中国儿童正整数的加法运算更多地激活了大脑的视觉空间网络，而乘法运算则更多地激活了语义网络。Xinlin Zhou，et al.Dissociated brain organization for singledigit addition and multiplication[J].Neuroimage，2007（2）：871880。

因此，有理数加法运算的学习适宜借助数轴上点的平移，基于视觉空间网络开展，而有理数乘法运算的学习则需要基于语义网络进行。针对学生对“负负得正”的有理数乘法法则理解困难，要基于语义进行逻辑建构，获得乘法法则和运算律，还要借助数轴上点的中心对称变换直观地解释1×（-1）=-1，（-1）×（-1）=1：如图1，一个数与-1的积是这个数的相反数，在数轴上是由表示这个数的点绕着数轴原点旋转180°得到的。

图1

此外，有理数的混合运算活动对学生理解运算法则和运算律，发展数学运算能力，特别是今后代数学习中的符号运算能力，具有奠基作用。有理数的混合运算中，学生需要基于普适的运算顺序（乘方→乘除→加减，有括号先算括号内的），根据算式的特征，依据运算律选择合理（简便）的运算顺序。然后，依据运算法则执行运算。其中，要把减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算（与有理数系的运算结构一致）。

有学者研究了小学分数四则运算，发现明确运算目标、选择运算策略（順序）和运算规则、执行运算规则是影响正分数混合运算的核心要素，从而提出了可以较好地训练并预测学生正分数混合运算成就的计算模型。David W.Braithwaite， Aryn A.Pyke， Robert S.Siegler. A computational model of fraction arithmetic[J].Psychological review，2017（5）：603。这一模型与高中数学课程标准中数学运算素养的表现十分一致。事实上，有理数混合运算与正分数混合运算比较，其运算顺序没有差异，其复杂性体现为在确定运算顺序后执行运算法则时，多了确定运算结果的符号及绝对值这一环节。因此，仍然可以采用上述模型来训练和预测学生有理数混合运算的成就。

三、“有理数”的教学策略

（一）利用“数系扩充”的大观念引领单元整体教学

数学具有整体性和系统性，大脑思考问题过程中的目标导向决策也具有整体性和策略性。这就要求教师在单元教学设计的基础上，设计课时教学活动，进行单元整体教学。这种“单元—课时”教学要求：单元设计贯彻数学的整体性和思维的系统性，重视一般观念的引领作用和知识结构的联系作用;课时与单元之间、不同课时之间体现育人目标的图2

协同性、内容逻辑的连贯性、问题研究的有序性;每一课时的教学体现研究的针对性、层次性和策略性。吴增生.单元整体教学中的若干重要问题及其思考[J].数学通报，2021（9）：2026。

基于“数系扩充”大观念下的研究思路、内容和方法，“有理数”单元的知识结构如图2所示。据此，可以把这一单元划分为两个部分：有理数的相关概念及性质（知识结构如图2中虚线框所示）、有理数的运算与运算律（知识结构如图2中实线框所示）。进而划分为11个新授课时——正数和负数、有理数、数轴、相反数和绝对值、有理数的大小比较和有理数的加法、有理数的减法、有理数的乘法、有理数的除法、有理数的四则混合运算、有理数的乘方，以及1个单元复习课时。其中，理解负数的含义（与正数的区别）、理解相反数与绝对值的意义（联系正负数）、抽象出数轴以及有理数的混合运算是本单元学习的难点。

由此，基于核心育人价值的单元整体目标如下：

1.通过对现实情境中相反意义量的表示和对减法运算封闭性的满足引入负数，能够基于数轴直观理解有理数的相关概念，能够抽象有理数的运算法则和运算律，发展空间观念、几何直观和抽象能力，学会用数学的眼光观察。

2.能够对有理数进行分类，用整数定义有理数，能够用有理數的大小比较法则、运算法则和运算律进行推理和运算，发展推理能力和运算能力，学会用数学的思维思考。

3.能够借助数轴表达相反数与绝对值的意义，能够用有理数的运算解决简单的实际问题，学会用数学的语言表达。

4.能够类比小学中数的研究框架规划有理数的研究框架，学会反思总结，学会学习。

进而，分解可得指向单元整体目标的课时目标体系。其中，第1课时的目标如下（限于篇幅，不列其他课时的目标）：

1.通过对现实情境中相反意义量的观察、想象和抽象以及对减法封闭性的思考引入负数。

2.理解0的新意义（正数和负数的分界）。

3.利用正数和负数表示具有相反意义的量;举出具体实例解释正数、负数和0。

4. 类比自然数到分数的学习经验，规划有理数的研究框架。

在此基础上，要注意用“数系扩充”的大观念引领各课时的教学，帮助学生理解有理数相关概念、性质与运算的本质，发展建立数学系统抽象结构的意识。这里，特别需要注意两点：

一是起始课《正数和负数》中，注意引导学生回顾之前数系扩充的学习经验，形成有理数学习的类比源和研究框架;注意利用学生的已有经验，让学生通过现实背景理解负数表示相反意义的量，体会引入负数的必要性。

二是单元复习课中，再次用“数系扩充”的大观念引领，对知识的发生、发展过程及其相互联系进行从整体到部分的回顾整理，对数学思想方法进行再概括，对运算技能进行再训练，帮助学生重构基于研究框架（包括研究思路、内容以及方法）以及知识关联的知识结构（如图2）。

（二）充分利用数轴直观建立数与形之间的联系

数轴是学生接触的第一个数形结合的数学工具。引入数轴后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，从而为学生提供了理解相反数、绝对值的直观工具，并为学习有理数的大小比较与运算奠定了基础。

有学者通过代数、几何、分析、拓扑领域的高级知识判断任务，对数学家与非数学专业专家在执行数学陈述与非数学陈述判断任务时的大脑活动进行扫描，发现数学家在通过推理判断数学陈述时，与基础数感、心理数轴相关的脑区被激活更多。M.Amalric，S.Dehaene.Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians[J].Proceedings of the National Academy of Sciences， 2016（18）：49094917。借助心理数轴建立空间与数量的联系，形成数感，是数学认知能力的基础。

这一教学策略的实施要点有：

第一，融合数系扩充思想，抽象数轴概念。融合“数系扩充”的思想，分离出数的发展的源头（0和1）以及机制（基于加1运算得到自然数，通过平均分和比率引入正分数，通过相反意义的量对称地得到负有理数），以在直线上表示0和1的位置为核心任务引导学生对直线进行合理规定（规定0的位置、确定1相对于0的方向、确定1相对于0的距离）。从而抽象出数轴的三要素以及在数轴上表示有理数的方法，得到数轴，建立数与形的初步对应关系，用数轴直观有序地表示有理数。同时，借助数轴理解从自然数到整数的扩充是自然数的中心对称扩展，从整数到有理数的扩充是表示相邻整数的点之间线段的分割密集化，直观体会扩大数集的两种方法。

第二，借助数轴直观理解有理数的相关知识。比如，借助数轴理解有理数的相反数、绝对值的概念;理解数轴上有理数大小规定的合理性及由来，通过把小学中数的大小比较结果表示在数轴上，获得有理数大小的规定;借助数轴上点的平移运动表示小学中数的加法运算，通过类比获得与负数有关的加法运算结果，理解加法运算律;借助数轴上点的旋转运动理解“（-1）×（-1）=1”的合理性;借助数轴，用有理数的运算刻画直线上点的运动;等等。

（三）加强多种形式的逻辑推理

发展逻辑推理素养是初中数学教学的核心目标之一。逻辑推理包括类比推理、归纳推理和演绎推理。形成有理数的数系扩充过程具有内在的逻辑一致性，为了这一逻辑一致性，需要基于推理研究大小比较和运算法则的连贯性以及运算律的继承性。

演绎推理的“超模态理论”指出：数学演绎推理中语义加工和空间加工是交替进行的，法则和原理的回顾和表达及推理话语体系的表达借助大脑语义网络，而构建算法和推理路径的过程更多地激活了视觉空间网络。D.RodriguezMoreno， J.Hirsch.The dynamics of deductive reasoning：An fMRI investigation[J]. Neuropsychologia，2009（4）：949961。也就是说，数学逻辑推理是建立在直观和抽象的基础上的。

这一教学策略的实施要点有：

第一，在有理数大小比较的教学中，把具有不等关系的具体非负数表示在数轴上，通过类比推广到一般，获得数轴上有理数大小的定义;基于数轴上“左小右大”的定义，通过演绎推理得到有理数大小比较的法则，重点是两个负数大小比较的方法。

第二，加强运算法则和运算律教学中的类比与归纳。在有理数加法运算的教学中，借助数轴上的平移运动表示正数及0的加法后，类比推广到负数有关的运算;得到具体运算结果后，需要归纳加数的符号、绝对值与和的符号、绝对值的关系，得到加法法则。乘法运算的教学，要引导学生规划把因数逐步减少到0和负数的归纳方案，并且归纳积与因数之间的符号、绝对值关系，最后得到有理数乘法的法则，即需要多次归纳、有序展开。类似地，减法运算的教学要加强与小学加法和减法运算的逆运算关系的类比;除法运算的教学则既要类比乘法运算，又要类比小学分数除法的“除以一个数等于乘一个数的倒数”法则。乘方运算的教学要类比乘法的抽象方法，得到相同因数相乘的简写符号表示。

第三，在有理数的大小比较法则和运算法则的应用中，要注重算理，依据相关原理和法则进行推理和运算。在有理数的混合运算中，要让学生类比小学自然数以及正分数的运算顺序、运算符号的意义、括号的意义，理解有理数的运算顺序是怎样的、为什么要按照这种顺序运算、运算的目的是什么、体现了哪些数学思想等，引导学生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。通过适当的讲算理的运算训练以及概括，实现运算操作的程序化，帮助学生形成运算技能，发展数学运算能力。