一次考试中的三类试题的妙解与推广

摘要：文章对估算法、主元思想以及二项式定理的推广在解题中的应用进行了有效剖析，并对其应用实质进行了必要的说明.

关键词：估算法;主元法;本质

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0040-03

1 估算法在解题中的应用实例与使用本质剖析

例1设a=ln43，b=732，c=12ln158，d=0.42.1，则（）.

A.c>aB.b>cC.a>bD.a>d

解析设函数fx=12x2-1-lnx，

令f ′x<0，解得0<x<1.

由f ′x>0，解得x>1.

则fx≥f1=0.

所以f34>0.

即12916-1-ln34>0.

因此ln43>732.

又因为d=0.42.1<0.42=0.16<0.2<732=b，

c=12ln158=ln158>ln169=ln43=a，

所以c>a>b>d.

故选ACD.

分析与另解该题的构造函数法较难，但利用估算的思路来解决则简单得多.该题的主要痛点在于选项C的判断，其它选项较易，此处不再叙述.解析里面的构造函数是非常难以想到的，作为这套试卷的选择题压轴出现，不容易想到倒也正常，但是我们能不能再用其他的方法进行计算判定大小呢？实际上是可以的，因为当我们拿到试题之后第一眼看过去就会想到直接比较，我们再思考能不能找中间值？事实证明该题也是可以的，但是这样思考的依据又是什么呢？其本质为估算！而这思想方法在比较大小的试题中也是即为重要的一种思想，下面具体说明.

因为b=732，于是联想到832，即14，那么我们考虑2b=716<816=12，而2a=2ln43=ln169=ln（1+79）>ln1.7>lne=12，之所以可以这样放缩是因为我们知道e∈2.7，2.8，而经过估算不难知道1.72=2.89>e，因此2a>2b，即a>b.

客观地的说，直接比较在考试中可能更加实用，而其中的估算思想是需要大家好好体会的，准确地说，这种思想的应用不仅仅是在此处，還有三角函数求值，导数图象的草图画法等，请同学们借此题好好体会.

2 主元法在解题中的应用实例与使用本质剖析

很多时候我们会发现有些题解答起来十分麻烦，但是只要换一种思路，可能带来得不仅仅是把题做对，更多的是思想上的提升，现在我们以变换主元的角度来解决一类问题.

我们也经常听到同学们私下讨论，这道直线过定点问题，为什么直接令y=0，再去求x，从而确定该定点的具体坐标;或者先令x=0，再去求y，进而得到直线所过定点.大家在想为什么要这样做，如果定点不在坐标轴上，我们该怎么处理？某种程度上这里提到的先设再证是建立在大家很清晰这类试题的基础上.因此如果“看不出来”就有点麻烦了，实际上我们可以从主元的角度彻底弄清楚这个问题.不管这个定点在不在坐标抽上，我们都能很好地解决，下面以2020年全国Ⅰ卷理20题的解答为例来进行说明.

例2已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程;

（2）证明：直线CD过定点.

解析（1）依据题意作出如图1所示图象.

由椭圆方程x2a2+y2=1（a>1），得

A（-a，0），B（a，0），G（0，1）.

所以AG=（a，1），GB=（a，-1）.

所以AG·GB=a2-1=8.

所以a2=9.

所以椭圆方程为x29+y2=1.

（2）设P（6，y0），则直线AP的方程为

y=y09（x+3）.

联立直线AP的方程与椭圆方程，得

x29+y2=1，y=y09（x+3），整理，得

（y20+9）x2+6y20x+9y20-81=0.

解得x=-3或x=-3y20+27y20+9.

将x=-3y20+27y20+9

代入直线y=y09（x+3），

得y=6y0y20+9.

所以点C的坐标为（-3y20+27y20+9，6y0y20+9）.

同理，点D的坐标为（3y20-3y20+1，-2y0y20+1）.

所以直线CD的方程为

y--2y0y20+1

=

6y0y20+9--2y0y20+1-3y20+27y20+9-3y20-3y20+1（x-3y20-3y20+1）.①

整理，得

y+2y0y20+1=8y0（3y20+3）6（9-y40）（x-3y20-3y20+1）

=8y06（3-y20）（x-3y20-3y20+1）.

整理，得

y=

4y03（3-y20）x+

2y0y20-3=

4y03（3-y20）（x-32）.②

故直线CD过定点（32，0）.

另解把①式变形为-3y·y40+6-4x·y30+18y·y20+12x-18·y0-27y=0.

结合y0的任意性，易知

-3y=0，6-4x=0，18y=0，12x-18=0，-27y=0.

解得x=32，y=0.

因此直线CD过定点32，0.

本质剖析把①式中的y0看作主元，因为整个直线的变化实质就是y0导致的，这样改写降低了大家对配方的要求，实际上从①式形成②式很多人完成不了，然而利用这种主元的思想就能很好地从本质上解决问题.其实，直线过定点问题某种程度上就是求出含单参直线方程，这样即使不是坐标轴上的点也能很好地求出来，很多时候咱们在看参考答案的时候也就解决了为什么这样配方的问题.

3 形如“a+b+cn”的二项式展开式求系数问题推广

笔者最近在讲授二项式定理习题课时，发现很多同学在求解形如“a+b+cn”的二项式展开式求系数问题难以入手.这类试题经常涉及到因式分解的問题，但是实际解题时很难想到或是在考试时由于对配方化简不熟悉或者本身就不能分解导致紧张，造成失分.基于此，下面给出两个例子，并且对此进行适当推广，其具有一般适用性.

例32x2-x-15的展开式中x2的系数为（）.

A.400B.120C.80D.0

创新解法2x2-x-15=[2x2+（-x-1）]5，下面利用函数思想，对照a+bn的展开式，将2x2看作a，将-x-1看作b，那么2x2+-x-15展开式的第r+1项Tr+1=Cr5·2x25-r·-x-1r=

Cr5·25-r·-1r·x10-2r·x+1r.

此时关键点来了，再次利用函数思想考虑将x+1r进行二项式定理展开，记x+1r展开式的第a+1项为Ta+1=Car·xr-a·1a.

由分步乘法原理易知：假设Cr5·25-r·-1r·x10-2r乘以Car·xr-a·1a可以得到含x2的项，且展开式中的任意一项都可以记作Cr5·Car25-r·-1r·x10-r-a0≤a≤r≤5，

于是令10-r-a=2，解得r+a=8.

结合0≤a≤r≤5，a，r∈Z，只有①r=5，a=3与②r=4，a=4符合题意.代入下式计算系数，得

C55·C3525-5·-15+C45·C4425-4·-14=0.

特别说明请同学们自己动手验证，把形如“a+b+cn”哪两个分在一组进行计算实际上是不受影响的，如2x2-x-15=[2x2+（-x-1）]5也可以看作（2x2-x-1）5=[（2x2-1）+（-x）]5.至于形如a+b+c+…n的展开项系数问题都依赖于计数原理进行准确分组，再进行仔细运算，实质上是一回事！因为百变不离其宗，只是载体在变更，数学考查的核心却从未改变.

参考文献：

[1]

余铁青.巧用变换主元法解题＼[J＼].中学生数学，2020（21）：24+23.

＼[2＼] 余铁青.2020届大联考数学文化试题赏析与命题趋势思考＼[J＼].中学数学研究（华南师范大学版），2020（13）：7-10.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：余铁青，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：余铁青，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]