矩形梁弯曲正应力分析
2022-05-24牟志然俞晓峰李之光白国庆
牟志然，俞晓峰，李之光，白国庆
(太原学院 机电与车辆工程系，山西 太原 030032)
0 引言
在材料力学课程里，如果一个梁的横截面上剪力等于零，并且弯矩为一个常量，此时梁的横截面上只有正应力而没有切应力，梁的这种受力情况称为梁的纯弯曲。矩形梁的纯弯曲容易在材料力学多功能试验机上获得，因此本文以矩形梁的弯曲正应力为例，研究矩形梁弯曲正应力的分布规律。
1 理论依据
设想梁是由无数多条平行于轴线的纵向纤维组成，当梁发生弯曲变形后(上凹下凸)，必然引起靠近底面的纵向纤维伸长，靠近顶面的纵向纤维缩短，因为梁的横截面仍保持为平面(平面假设)，所以沿截面高度应由底面纤维的伸长连续逐渐变为顶面纤维的缩短，中间必然有一层纤维的长度不变，这层纤维称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴[1]。
对于纯弯曲变形有两个假设：①平面假设，即变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持平面，仍然垂直于变形之后的梁轴线；②纵向纤维间无正应力，即纵向纤维之间无相互作用力。根据以上假设，下面从几何、物理和静力三方面入手，研究梁纯弯曲时的正应力分布规律。
1.1 几何关系
矩形梁变形及受力情况如图1所示。图1(a)为梁变形前状态，图1(b)为梁变形后的状态，以梁的横截面为对称轴y轴，方向向下为正方向，中性轴为z轴，如图1(c)所示。
根据平面假设理论，变形前相距dx的两个截面，变形之后各自绕中性轴相对旋转了一个角度dθ，则距离中性层为y的变形前长度为bb的纤维长度变为:
b′b′=(ρ+y)dθ
.
(1)
其中：ρ为中性层的曲率半径。
而变形前后中性层的纤维长度不变，即bb=dx=ρdθ。根据应变的定义，纤维bb的应变为:
.
(2)
1.2 物理关系
在材料的弹性阶段，应力与应变之间的关系满足胡克定律：
.
(3)
其中：E为材料弹性模量。
式(3)说明，纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比，应力分布如图1(d)所示。
图1 矩形梁变形及受力情况
1.3 静力关系
在横截面上取一个微小截面dA，横截面上的微内力σdA组成垂直于横截面的空间平行力系，根据理论力学理论，横截面上的内力系最终只归结为一个力偶矩Miz，这个力偶矩也是弯矩M，即：
.
(4)
弯矩M与外力偶Me大小相等，方向相反。
根据物理关系和静力关系，联立公式(3)和公式(4)得：
.
(5)
.
(6)
将式(3)与式(6)联立，得纯弯曲时正应力计算公式：
.
(7)
由式(7)可以看出，距离中性层越远，应力值越大。
2 纯弯曲实验
纯弯曲实验装置如图2所示，转动手轮会使压头向下移动，将力传给承力下梁，承力下梁通过拉杆将载荷施加到弯曲梁上，使矩形梁产生纯弯曲。
图2 纯弯曲实验装置
纯弯曲梁材料为45钢调质处理，在其长度方向上制成矩形截面。梁的弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.28，梁的跨度L=620 mm、高度h=40 mm、宽度b=20 mm。每段梁的侧面沿与轴线平行的不同高度上均粘贴有单向应变片，矩形梁的几何尺寸如图3所示，5个应变片位置为均匀分布，编号为1、2、3、4、5，其中1号应变片布置在上表面、5号应变片布置在下表面，2、3、4号应变片布置在前表面，应变片在高度方向的间距均为10 mm。载荷间距a=300 mm，对图2实验装置等量逐级加载，施加载荷的大小可以由数字载荷显示仪显示。
图3 矩形梁几何尺寸
通过弯曲正应力实验，可以看出，实验结果与理论相符。
表1 实验数据
3 ANSYS Workbench仿真分析
(1) 在ANSYS Workbench软件中创建静态结构分析模型。
(2) 材料定义。纯弯曲梁形截面材料为45钢调质处理，密度为7.85×103kg/m3，弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.28。材料参数如图4所示。
图4 材料参数
(3) 将Creo2.0中建立的矩形梁模型导入到ANSYS Workbench中，为受力分析做好模型准备。
(4) 接触设置。系统程序自动生成接触对，接触面采用互为接触面和互为目标面的对称行为，共有4对接触表面,计算方法采用增强的拉格朗日方法。
(5) 网格划分。对于比较简单、比较规则的三维模型采用六面体网格比较好，可以采用扫掠方式对矩形梁进行网格划分[2]。设置单元尺寸为0.003 m,平滑设置为“Medium”,过渡设置为“Slow”,跨度中心角设置为“Medium”。在“Mesh”中插入新的网格划分方法，将网格划分方法设置成扫掠方式“Sweep”[3]。网格划分结果如图5所示。
(6) 添加约束。在矩形梁下面的两个支撑圆柱施加固定约束，施加在两个圆柱的下表面上。
(7) 施加载荷。在矩形梁上面两个加载圆柱上施加载荷，载荷施加在两个圆柱体的上表面上，每个上表面施加力的大小为1 500 N。
(8) 进行计算求解。
(9) 查看仿真结果。
查看应变仿真结果，y方向应变云图如图6所示。
查看应力仿真结果，y方向的应力云图如图7所示。
图7 y方向的应力云图
4 结论
本文采用理论分析、弯曲正应力实验和ANSYS Workbench计算机仿真三种方式对矩形梁的弯曲正应力进行研究，可以得到以下结论：距离中性层越远位置应力值越大，应变值也越大，矩形梁出现上凹下凸的变形，中性层上方位置受压应力，中性层下方位置受拉应力。
本文采用三种方式对矩形梁弯曲正应力分布规律进行分析，加深了对矩形梁弯曲正应力分布规律的理解，同时对其他形状的梁的正应力分析和研究具有借鉴意义。
