SD振子的Hopf分岔研究*

王翠艳,王明昊

(石家庄铁道大学，河北 石家庄 050043)

0 引言

振动现象在许多工程应用中都是有益的，如搅拌、低能量导航和控制、机电系统的监测和故障诊断等。通过控制策略产生Hopf分岔[1]是一种将有具体振动特性的系统设计为非线性动力学系统的方法，Hopf分岔自身则是一种从非双曲平衡点中产生极限环分岔的现象。PB(Poincaré-Birkhoff)规范型理论常被用于从解析角度研究Hopf分岔[2，3]。Li等[4]研究了含有双时滞参数的Lengyel-Epstein系统的Hopf分岔，使用时滞微分方程的规范型理论与中心流形定理，得到了确定周期解稳定性与Hopf分岔方向的显式表达式。Zhang等[5]研究了水下滑翔机姿态控制系统中由时滞引发的Hopf分岔现象，得到了产生Hopf分岔的临界时滞条件。Li等[6]研究了一类两物种共栖系统的Hopf分岔与稳定性。Zhang等[7]研究了一类时滞传染病模型的Hopf分岔与稳定性，使用规范型理论与中心流形定理得到了Hopf分岔方向与周期解分岔稳定性的显式算法。Somnath R等[8]研究了双简谐激励作用的双稳态van der Pol-Mathieu-Duffing系统的超临界Hopf分岔现象。

本文研究了SD(Smooth and Discontinuous)振子弹簧处于预拉伸状态时平凡解邻域内的Hopf分岔。使用多尺度法，得到了同时含有非线性黏性阻尼和简谐激励的平均系统。基于PB规范型理论，得到了Hopf分岔条件并研究了极限环的稳定性。随后使用上述方法，研究了系统弹簧处于预压缩状态时非平凡解邻域的Hopf分岔。

1 SD振子的Hopf分岔

近期的文献提出了可以实现光滑至不连续系统演化的SD振子，模型如图1所示。其中,x表示振子位移，l表示振子位移路径至弹簧固定点的距离(半跨距离)，其无量纲无扰动的运动微分方程为：

(1)

其中：α为系统光滑参数，0<α<2。

图1 SD振子系统

该系统可以通过调整光滑参数α的值，实现从光滑系统到不连续系统的演化。当α=0时，其表现出不连续动力学行为[9,10]，此时系统的半跨距离l=0，导致系统实际上难以实物化。当α>0时，系统表现出光滑动力学行为。当α=1时，该系统对应具有余维2分岔现象的单自由度弦振动模型。如文献[11]所示，当α>1时，该系统类似于一个预拉伸的离散弹性弦。

假设系统(1)受非线性黏性阻尼f(x)=ξ+γx2和一个幅值为F0、频率为Ω的简谐激励扰动。此时，该受迫耗散系统可以表示为:

(2)

其中：为了表示广义非线性阻尼且不失一般性，ξ、γ可以取为任意实数；t为扰动时间。

为了得到平衡点(0,0)附近的平均方程，使用多尺度法，系统(2)可以改写为：

(3)

设ε是一个小尺度扰动参数，取变换：

(4)

将式(4)代入系统(3)，整理后可得:

(5)

假设系统(5)的解x可以由多个时间尺度表示：

x(t,ε)=x0(T0)+εx(T0,T1)+
ε2x(T0,T1,T2)+….

(6)

其中：Ti=εit,i=0,1,2,…。

根据多尺度法，定义微分算子如下:

(7)

(8)

下面，重点研究系统产生1∶2内共振的情况。这种共振情况下，存在如下频率关系:

(9)

其中：σ为调谐参数。为了便于分析令Ω=2。因此:

ω2=1+εσ.

(10)

将式(6)～式(10)代入系统(5)，令方程左侧和右侧的ε同幂次系数相等，可得:

ε0时：

(11)

ε1时：

(12)

系统(11)的1次近似复数解的形式可以表示为:

(13)

将式(13)代入系统(12)，可得：

(14)

其中：cc为系统(14)右侧函数的共轭；NST为不包含久期项的部分。

为了消除系统(14)中的久期项，由式(14)可得:

(15)

A可以表示为笛卡尔形式:

A=y1+jy2.

(16)

(17)

显然，(y1,y2)=(0,0)是平凡解，系统(17)为ξ=0时的PB规范型。系统(17)线性化导算子的特征值为:

λ1,2=-ξ±jσ.

(18)

(19)

根据Poincaré-Andronov-Hopf定理，可得:

(20)

结合式(20)和文献[3,4]，可以通过ζ、υ、d和c的值来判断奇点的类型与极限环的稳定性。

2 结果分析

研究各种参数情况下式(20)的结果，可得系统(2)的奇点类型与极限环稳定性。使用MATLAB对系统(2)进行数值模拟，结果如图2～图4所示。

(1) 当γ<0时，对于ξ<0该平凡解是一个不稳定焦点，ξ>0时其为一个渐进稳定焦点，并且存在一个不稳定极限环。当γ<0时，出现亚临界Hopf分岔，如图2(a)所示。

(2) 当γ>0时，对于ξ>0该平凡解是一个渐进稳定焦点，ξ<0时其为一个不稳定焦点并且存在一个渐进稳定的极限环。当γ>0时，出现超临界Hopf分岔，如图2(b)所示。

图2 系统(2)在平衡点(0,0)邻域的Hopf分岔

图3 系统(2)在平衡点邻域的Hopf分岔

图4 系统(2)在平衡点邻域的Hopf分岔

图2(a)、图3(a)和图4(a)分别描述了ξ变化时亚临界Hopf分岔现象。图2(b)、图3(b)和图4(b)描述了超临界Hopf分岔。图2～图4中亚临界Hopf分岔与超临界Hopf分岔对应的参数情况与式(20)结果一致，这表明解析解与数值计算结果一致，1∶2内共振条件下SD振子Hopf分岔定性分析结果正确。

3 结论

本文针对SD振子，研究了系统的超临界、亚临界Hopf分岔及其稳定性。从平衡点研究出发，探讨了平凡平衡点、非平衡点邻域的复杂非线性动力学行为。利用多尺度法求得系统平均方程，探讨了平凡平衡点、非平衡点邻域的超临界、亚临界Hopf分岔。利用PB规范型理论分析了所有平衡点极限环分岔的稳定性。进一步地，利用数值模拟的结果验证了解析结果的正确性。