例谈证明不等式的几种思路

彭慧

不等式证明题的解法多种多样.证明不等式的常用方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、導数法等.本文以一道题为例，谈一谈证明不等式的几种思路，以帮助同学们拓宽解题的思路.

例题：已知 a >0，b >0，证明：  +  ≥ a +b .

题目中的已知条件较为简单，我们需从目标不等式入手，对其进行合理的变形、构造，灵活运用相关的公式、定理、性质来证明结论.主要有以下几种方法.

一、将不等式两边的式子作差

运用作差法证明不等式，首先将不等式两边的式子作差，再将差式变形，通过通分、分解因式、配凑完全平方式等方式，将差式变形为易于判断符号的式子，再将差式与0 比较.若 a -b >0，则 a >b ;若 a -b <0，则 a <b .对于本题，可将不等式左右两边的式子作差，通过分解因式证明差式大于或等于0，即可证明不等式成立.

证明：由  +  ≥ a +b，得  +   -a +b=a +b，

因为 a >0且 b >0，所以a +b≥0，所以  +  ≥ a +b 成立.

二、将不等式两边的式子作商

运用作商法证明不等式的步骤是：①将不等式两边的式子作商→②将不等式变形→③判断商式与1的大小关系→④得出结论.当 b >0时， a >b⇔> 1; a <b ⇔<1.

证明：

一般来说，只有在所要证明的不等式两边的符号相同时，才能用作商法来证明不等式成立.

三、采用分析法

运用分析法证明不等式，需从所要证明的不等式出发，利用相关的定理、公式、定义等，逐步进行推理，直到找出使结论成立的充分条件，就可以证明不等式成立.一般采用“要证--即证--需证--则证”的格式解题.

证明：要证  + ≥ a +b 成立，

即证  +  ≥ a +b，需证a3+b3≥ aba +b，需证a +ba2-ab + b2≥ aba + b，则需证a2+ b2≥ 2ab .

因为 a >0，b >0，a2+b2≥ 2ab，

因此  +  ≥ a +b 成立.

我们由所要证明的不等式出发，将其通分、移项，运用立方和公式、基本不等式以及放缩法，最后证明结论.

四、运用综合法

运用综合法证明不等式，需从已知条件出发，逐步推向结论.在运用综合法证明不等式时，需仔细分析已知条件和所证不等式之间的联系，选择恰当的公式、定理、性质等进行求证.对于本题，需将所证不等式看作是一个整体，利用不等式的性质和基本不等式对其进行合理的变形，从而证明结论.

证明：已知 a >0，b >0，

则 则  +b +&nbsp;  +a ≥ 2a +2b，

因此， +  ≥ a +b 成立.

五、利用反证法

运用反证法证明不等式，需先假设所要求证的不等式不成立，再以这个假设为依据，利用已知条件进行推理，得到一个与已知条件、公理、定义、定理、法则和公式等相矛盾的结论，便可说明假设不成立，从而证明原不等式成立.

证明：假设  +  <a +b，

因为 a >0，b >0，

所以  +  <a + b，则a3+ b3<aba + b，则a + b

a2- ab + b2<aba + b，则a2- ab + b2< ab，则a2+ b2< 2ab.

这个结论与 a2+b2≥2ab 相矛盾，因此该假设不

成立.因此， +  ≥ a +b 成立.

在证明不等式的过程中，我们可以根据不等式的结构特征选择不同的方法进行证明.当不等式为多项式、分式时，可采用作差法;当不等式为幂指数或分式时，可使用作商法;若不等式为对称式，可使用综合法;若不等式为根式或者分式，可使用分析法;若从正面求证受阻时，可采用反证法.

（作者单位：江苏省苏州市吴江中学）