如何运用二项式定理解题

王素琴

二项式定理（a +b）n = C a +n C an -1b1+ …+ Cn（k）an -kbk +… + Cn（n）bn （n∈N*），其展开式直接呈现了各项与系数之间的关系.该定理在解答高次二项式、三项式、四项式问题中应用广泛.本文重点谈一谈如何运用二项式定理求解下列三类题目.

一、求二项式的展开式中的特定项或系数

二项展开式中的项和系数较多，要求得二项式的展开式中的特定项或系数，需利用二项式定理，求得展开式或者通项公式 Tr+1 = Cn（r）an -rbr，然后根据 r 的值求出特定项或系数.在解题时，需重点关注通项公式中 Tr +1 与项数 r 之间的联系.

例1.求（x2-x +1）5的展开式中 x3的系数.

解：

（x2 -x +1）5为三项式，我们需根据二项式定理的通项公式，求得 Tn1+ 1的表达式，然后运用待定系数法建立方程组，结合n1、 n2、 n3为非负整数的条件求得 x3的系数.

二、求解整除问题或求余数

整除问题是一类常考的问题，这类问题往往会给出一个或多个高次多项式，而这些高次多项式不容易被计算出来，要求其余数或判断该式能否被整除，需灵活运用二项式定理，将高次多项式展开，然后提出公因数（式），使其公因数（式）为除数（式），这样就能将高次多项式转化为除数（式）的倍数，从而求得余数或判断该式能否被整除.

例2.求证：  .

证明：  =（8+ 1）n +1 -8n -9

解答本题的关键是通过恒等变形，将多项式变为二项式的形式，使其展开后的各项中均含有除数64.利用二项式定理解答整除问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，这样便可提出公因数（式）.

三、证明不等式

对于一些与正整数有关的不等式，也可以利用二项式定理来进行求证.在解题时，要根据题目所给的条件构造二项式，善于正用或逆用二项式定理，再运用放缩法来证明结论.

例3.求证：>  （n ∈N，n ≥3）.

证明：>可变形为等式2n - 12n +1>2n + 12n -1，

即2n > 2n（n ∈ N， n ≥3），

而2n =（1+ 1）n = C + C + C + …+ Cn（n）

≥ C + C + C + C = 1+n +  2  +   6

>1 +n +    > 1+n +n>2n，

则>  （n ∈N，n ≥3）.

由于二項式的展开式较为复杂，且含有很多项，所以在运用二项式定理展开不等式中的高次多项式后，通常要结合放缩法来解题，需利用不等式的传递性，将展开式通过放缩，并逐步与所求证的目标靠拢，从而证明不等式.

总之，二项式定理是解答高次多项式问题的重要工具，在求二项式的展开式中的特定项或系数、求解整除问题或求余数、证明不等式时，同学们要学会将高次多项式与二项式定理关联起来，灵活运用二项式定理及其展开式、通项公式来解题.

（作者单位：江苏省盐城市大丰区新丰中学）