灵活运用柯西不等式,快速求解最值问题

于欣琪 韩肠

柯西不等式是一个非常重要的不等式，它在证明命题、求函数最值等方面有着广泛的应用.尤其在求解最值问题时，巧妙地运用柯西不等式及其变形式，能够快速、准确地获得问题的答案.本文重点谈一谈柯西不等式在求函数最值问题中的应用.

设 a1，a2，a3， …，an ，b1，b2，b3， …，bn  是实数，则（a12+ a22+ …+an2）（b12+b22+ …bn2）≥ （a1b 1+a2b2+ …anbn）2，当且仅当 bi=0（i =1，2， …，n）或存在一个数 k ，使得 ai=kbi （ k 为常数，i =1，2， …，n）时，等号成立.该不等式称为一般形式的柯西不等式.

若 a，b，c，d 都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥ （ac + bd）2，当且仅当 ad =bc时，等号成立.上述不等式称为二维形式的柯西不等式.运用柯西不等式求最值的关键是观察、分析所给式子的特点，使之转化为可以应用柯西不等式的形式.

例1.已知不等式|x +a|<b 的解集为{x|2<x <4}.

（Ⅰ）求实数a，b的值;

（Ⅱ）求  +  的最大值.

解：（Ⅰ） ，（过程略）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得  +  =  + ，将其变形可得⋅  +1 ⋅，

根据柯西不等式得（ ⋅  +1 ⋅ ）2≤ [（）2+12]⋅ （ ）2+ 2 =4× 4= 16，

当且仅当  =     即 t =1 时等号成立，此时 +  的最大值为4.

本题主要考查柯西不等式的应用.将目标式  +  构造成“ a ⋅b+c⋅ d ”的形式，并保证 “ b2+d2”为常数，构造出与柯西不等式相符的形式，便能快速求得最值.

例2.已知 a >0，b >0，c >0，函数 f（x）=|x +a|+ |x -b|+c 的最小值为4.

（Ⅰ）求实数 a +b +c 的值;

（Ⅱ）求 a2+  b2+c2的最小值.

解：（Ⅰ）a +b +c =4.（过程略）

（Ⅱ）根据柯西不等式得（ a2+  b2+c2）×（4+9+ 1）≥ （ ×2 +  ×3 +c ×1）2=（a +b +c）2，

由（Ⅰ）知 a +b +c =4，

則（ a2+  b2+c2）×（4+9+ 1）≥ 16，

即 a2+  b2+c2≥  ，

当且仅当2a =3b =c，即 a =  ，b =  ，c =  时，等号成立，

所以 a2+ b2+c2的最小值为  .

要求得最值，需从问题（Ⅰ）中所得结论和目标式两个方面进行分析.在解题时要把握两点：（1）a +b+c为常数，（2） a2+ b2+c2的结构特征，由目标式是3个平方项之和，构造出与柯西不等式相符的形式，从而求得最值.

例3.设x，y，z∈ R，且 x +y +z =1 .

（Ⅰ）求（x -1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值;

（Ⅱ）若（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2≥  ，证明：a ≤-3或 a ≥-1.

（Ⅰ）解：根据柯西不等式得（12+ 12+ 12）[（x -1）2+ （y +1）2+（z +1）2]≥（x -1 +y +1 +z +1）2=4，

整理得（x -1）2+（y +1）2+（z +1）2≥  ，

当且仅当 x -1 =y+1 =z+1，

即 x =  ，y =-  ，z =- 时，等号成立，

所以（x -1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值为  .

（Ⅱ）证明：根据柯西不等得

（12+ 12+ 12）[（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2]

≥（x -2 +y -1 +z -a）2=（2+a）2，

整理得（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2≥ 3 ，

当且仅当 x -2 =y -1 =z -a，

即 x =  ，y =  ，z =  时，等号成立，

所以（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2的最小值为（2+a）2

由题设知（2+a）2≥ 1

解得 a ≤-3或a ≥-1，故得证.

本题考查了运用柯西不等式求最值的方法以及运用柯西不等式证明不等式的方法.合理构造柯西不等式是解题的关键.在解题时，还需巧妙地利用“任何数乘1都得任何数”这一性质.

可见，若能合理地运用柯西不等式，一些比较复杂的最值问题就能迎刃而解.在运用柯西不等式求最值时，要学会运用一些辅助技巧，如配凑系数、“1”的代换、添减项等，构造出与柯西不等式相符的式子.在求得最值后，要注意检验柯西不等式中等号成立的条件，即当且仅当等号成立时，目标式才能取得最大值或最小值.

（作者单位：齐齐哈尔大学理学院）