运用问题导学 驱动深度学习

李国强

(石光中学,福建 石狮 362700)

问题是学生认知与思维的起点，是激发学生深度学习的“催化剂”.在新高考背景下，“问题导学”教学模式愈发受到高中数学教师的青睐.所谓问题导学，指的是以优质的“问题”为主线，以学生为主体，通过引导学生对一系列“问题”进行探索，诱发学生多角度、多方位地思考问题，促进学生深度学习，提升其解决问题能力的一种教学策略[1].当前，数学课堂教学中仍然存在着浅层学习、低效学习等不良现象，原因之一就是设置的问题浮于表层，思维“含金量”低，难以促进学生思维的进阶.因此，在学生的“最近发展区”设计一系列既能激发其求知欲、又具探究价值的问题，是驱动学生深度学习、培育学生数学核心素养的重要路径.笔者结合近几年来的课堂教学实践，关于问题导学谈几点做法与感悟.

1 以情境性问题为依托，引领学生感悟知识的源和流

高中数学教材中的概念、定理一般是以浓缩的形式呈现的，深度学习强调应该让学生亲历知识的产生与发展过程，体验知识的来龙去脉.但由于受到课时的限制，很多高中数学教师常常忽视这一过程，总想一步到位，学生对新知还未深度理解，就开始进行题型训练，很难达到应有的教学效果.因此，教师应对教学内容进行适度的“再加工”，以情境性问题为依托，紧扣教学目标精心设计问题，驱动学生在有效的问题情境中探索新知，自然地提炼、概括出问题的本质，从而实现课堂的有效生成.

案例1人教A版高中《数学(必修1)》“函数的零点与方程的解”教学片段.

问题1函数f(x)=x5+2x-1有零点吗？如果有零点，你能求出来吗？

(学生们摇头.)

师：历史上，数学大师们一直在探索求解高次方程的一般方法，但都没有结果.直到19世纪，法国数学家伽罗瓦终于证明了5次及其以上的方程不存在统一公式解.能否用别的方法判定函数是否有零点呢？

生1：可以运用函数图像来判定.

问题2某市某日从0～12时的温度呈连续变化趋势，请大家用两种不一样的曲线对图1进行补充，使它成为一个完整的函数图像.在0～12时之间，是否必有某一时刻的温度为0 ℃？为什么？

图1

教师首先利用“数学史”丰富学生的数学文化知识，然后构建“气温曲线”模型，让学生尝试用“两种曲线”连接，引发了他们的兴趣.经过实践操作，“未曾预约”的生成不期而至，其中包括在(a,b)内有多个零点的图像，也包括在(a,b)内有唯一零点的图像，还有对函数概念理解不当画错的图像.教师利用多媒体展示各种画法(由于篇幅有限，本文中只展示下列4种)，如图2所示.

图2

问题3若0时与12时的温度都在0 ℃以上或0 ℃以下，那么在这段时间里，是否有某一时刻的气温为0 ℃？

评注教师构建“气温曲线”模型，且引入“区间”“异号”“连续不断”等关键词，这些都是引导学生探究的好素材.

问题4对一般函数y=f(x)，若在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在(a,b)内是否必有零点？

一些学生认为有零点，但另一些学生认为不一定有.

问题5函数y=f(x)应满足哪些条件，使得它在(a,b)内一定有零点？

通过思维的不断碰撞，“零点存在定理”呼之欲出.

问题6以下说法是否正确？若不正确,请举出反例.

1)若函数f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有唯一零点；

2)若函数f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)>0，则f(x)在(a,b)内不存在零点；

3)若函数f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)<0；

4)若单调函数f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有唯一零点.

本案例中，教师针对学情设置了思维含量高的一系列问题，为学生提供真实的问题情境，循序渐进地引导学生进行探究.学生通过操作、分析、猜想、归纳等活动，亲历了由“形”到“数”的数学抽象过程，实现了形与数之间的转换，水到渠成地生成了“零点存在定理”.然后，教师设计了问题6，有效引导学生对命题的题设与结论加以剖析，使学生的思维向高阶发展，深度理解了定理的内涵与外延，让数学核心素养落地生根.

2 以阶梯型问题为纽带，挖掘学生思维的“深度”

创设“阶梯型”问题，就是紧扣教学目标，精心设计前后关联、逐步递进的问题系列.设计阶梯型问题，既要注重问题的针对性与可接受性，又要考虑问题的层次性与思维价值，使问题“精准发力”，驱动学生深入思考、探究.可将一个复杂的问题分解为一些互相联系、梯度恰当的子问题，引领学生循序渐进、逐步击破，让他们体验“步步登高”的获得感，从而唤醒学生的灵性与悟性，使体现学科本质的深度学习真正发生[2].

案例2高三一轮复习课“利用函数的单调性解不等式”微专题.

生1：由f(x)的图像可得f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.由f(x2)>f(5-4x)，得x2>5-4x，即x∈(-∞,-5)∪(1,+∞).

师：很好！运用函数的单调性求解不等式简便、高效.那么，大家对解不等式有哪些思考？

生2：一般采用两种方法：一是运用不等式性质解题；二是运用函数的单调性求解.

问题2设函数

若f(5-a2)≥f(4a)(其中a为实数)成立，则a的取值范围为______.

师：应选择什么方法求解该不等式呢？

生3：直接代入求解很繁杂，我想用函数的单调性求解.当x≤e时,

f(x)=-x2+6x+e2-5e-2,

f(x)在(-∞,e]上是增函数；当x>e时,

f(x)=x-2lnx，

求导得

可知f(x)在(e,+∞)上是增函数，故f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

师：f(x)在(-∞,e]上是增函数，在(e,+∞)上也是增函数，则f(x)在(-∞,+∞)上必是增函数吗？

生4：不一定.本题中，f(x)在(-∞,e]上是增函数，当x≤e时，

f(x)≤f(e)，

即

f(x)≤e-2；

f(x)在(e,+∞)上是增函数,当x>e时，

f(x)>f(e)，

即

f(x)>e-2，

故f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

师：很好!看来二次函数f(x)=-x2+6x+e2-5e-2设置这么复杂的常数项是有意义的，可以运用哪些方法研究函数的单调性呢？

生5：图像法、定义法和导数法.

师：是否可以构造函数求解呢？

即

g(log2x)

故

log2x>1,

得

x∈(2,+∞).

师：总结得很到位！构造函数是解决本题的关键.

问题5已知α∈[0,2π)，cos5α-sin5α<5(sin3α-cos3α)，那么α的取值范围为______.

生9：受问题4的启发，将原不等式变形为

cos5α+5cos3α

师：太棒了！实现了知识的有效迁移.

本案例根据学生的认知基础，设置排列有序、层层递进的问题系列，为学生提供思维跳板，并留给他们思考的时间，引导其探究、交流.学生在动脑、动手、动口的活动中，实现了思维的进阶，对“函数单调性”的判定方法形成了模型构建，提升了逻辑推理、数学运算等核心素养.

3 以反思性问题为导向，拓展学生思维的“宽度”

反思是一个能动的对知识进行加工的过程，有利于产生超越已有认知以外的信息，并在此基础上建立更深层次的认知体系.在数学教学中，教师应以反思性问题为导向，引导学生从解决问题的基本技能、思维策略、拓展方向等进行全方位、多视角的反省，这样能拓展知识的宽度与深度，课堂生成更丰富，同时有利于培养学生勇于探索、敢于质疑的思维品质，进而促进学生的解题思维从模仿到创新，实现深度学习[3].

1)求椭圆C的标准方程；

2)E,F是椭圆C上的两个动点，若直线PE,PF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

这是一个稍纵即逝的生成性资源，教师决定抓住时机引导学生解后反思：

反思1本题有这样的规律，对于一般的椭圆，有此结论吗？

问题引发了学生的探究热情，学生们开始验证：

(b2+a2k2)x2+(2kab2-2k2a2c)x+k2a2c2

-2kacb2+b4-a2b2=0,

则

由已知得PF的斜率为-k，则

由上可得推论1：

反思3椭圆有这样的结论，双曲线、抛物线是否有相似的结论？

学生们通过类比研究，得到了以下推论：

由上述推论，获得了圆锥曲线的一个优美结论：

结论1已知圆锥曲线C经过一定点P，E,F为C上两个动点，如果定点P与C的一个焦点的连线与C的对称轴垂直，并满足kPE+kPF=0,那么|kEF|=e.

本案例中，教师抓住契机，引导学生由现象到本质，进行多视角反思、探究.学生的思维在碰撞中迸发出绚丽的火花，不仅内化了解题经验，而且使知识产生“连锁反应”，提升到了“由例及类”的高度.因此数学教学应为学生搭建合理的“脚手架”，让其拾级而上，在不断地提出问题、反思问题、解决问题过程中，实现高阶思维，促进数学抽象与逻辑推理素养的提升.

总之，问题是驱动学生思维的动力引擎，是优化课堂教学促进学生深度学习的重要途径[3].教师只有深入研究教材，才能形成知识的“联结点”，点燃学生思维的“关键点”，提出具有针对性、层次性、反思性、拓展性的问题，使学生在问题的引领下，经历主动参与、深入思考、体验成功、思维不断发展的深度学习过程，这才是数学教学的终极价值.