从知识点教学到数学大概念教学的转型——以“数列的递推公式”为例

吕增锋

(象山县第二中学,浙江 象山 315731)

在数学教学中，很多教师首先关注的是教学内容中有哪些知识点，每个知识点又包含哪些知识要素，然后在此基础上围绕这些知识点及其要素开展教学.这种以知识点为单位，按照其内在逻辑关系逐个实施的教学方式被称为知识点教学.从短期看，知识点教学对于知识点的掌握、数学思想方法的领悟具有积极的作用，但从长远看，知识点教学根本无法承担发展学生核心素养的重任.最近，笔者所在县举行了教坛新秀课堂教学评比，上课的主题是“数列的递推公式”.下面，笔者就结合本次比赛的课例谈谈自己的一些教学心得.

1 知识点教学的弊病

对于“数列的递推公式”这节课，所有的参赛教师都采用知识点教学，而且基本上都是以“求递推数列的通项公式”这一知识点为主线，先对问题进行梳理归类，再根据不同类型的问题提出相应的解题方法，最后，把所有的题型归结为以下几类情况：

1)累加法：an+1-an=c(n).

3)待定系数法1：an+1=Aan+B⟺an+1+λ=A(an+λ).

4)待定系数法2：an+1=Aan+Bn+C⟺an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ).

5)特征根与不动点法：an+2=pan+1+qan，其特征方程为x2=px+q.若方程有两个异根α,β，则

an=c1αn+c2βn；

若方程有二重根，即α=β，则

an=(c1+nc2)αn，

其中c1,c2是待定常数.

由于参赛的课例都是以“求递推数列的通项公式”为中心进行教学设计的，因此总体上看大同小异，唯一的区别体现在问题类型的选择上，有的课涉及的问题类型比较多，有的课着重探究1～2种方法，不仅如此，知识点教学固有的弊病也在这些课例中暴露无遗.

1.1 知识碎片化

知识点教学的基本原理是先把教学内容分割成一个个相对独立的知识点，然后围绕着如何让学生熟练掌握知识点“做文章”.这种化整为零的做法虽然有助于分散教学的难度，但无形中也割裂了知识之间的联系，导致学生的认知碎片化.比如，在“数列的递推公式”的教学中，知识点教学让师生的注意力都集中在如何求通项公式上，而忽视了对于“递推公式与数列的通项公式之间到底存在什么关系”这个核心问题的思考.知识点教学造成的直接后果就是学生只会“求通项”，而不知道“为什么要这样求”，也就是我们常说的“知其然而不知所以然”.

1.2 思维定式化

不能说知识点教学完全无视知识的结构化，但这种结构化只是知识点之间和知识点内部要素之间的结构化，通过知识片段的拼凑与堆积来实现对知识整体的窥探，并非核心观点的结构化.但在实际操作中，学生不仅很难利用这些杂乱无序的知识点来实现对知识的完整建构，而且还容易造成思维定式.在上述课例中，看似把所有问题的可能性都罗列出来了，学生只要“套用”现成的结论就行了，但学生在反复调用现成结论的过程中很容易产生思维定式，一旦问题的结构发生改变，就很难做到从容应对.

1.3 学习效果短期化

由于知识点教学对于知识点各要素的学习要求缺乏明确的区分，如果教学内容中的知识点一多，知识点教学就容易陷入细枝末节之中，从而使学生对数学方法的认知停留在浅层的模仿与记忆上，而无法触及方法的本质，最终导致教学效果无法达到预期.在这些课例中，尽管提供了针对不同类型问题的解题方法，但这些方法要么是学生已经非常熟悉的累加法与累乘法，要么是远远超出学生认知水平与教学要求的“特征根与不动点法”，至于“待定系数法”一般也不做直接考查要求，学生记不记“公式”也不会影响问题的解决.总而言之，这些方法要么太肤浅了，要么太高深了，要么就是可有可无的存在，因此，这节课的真实意义并不大，而且随着时间的推移或者训练量的减少，学生在知识点教学中所获得的知识技能很快会被遗忘.

2 大概念教学的内涵及优势

大概念可以被界定为反映专家思维方式的概念、观念或论题，它具有生活价值[1]，是“居于学科基本结构的核心概念或若干居于课程核心位置的抽象概念，通过整合相关知识、原理、技能、活动等课程内容要素，形成的有关联的课程内容组块”[2]；大概念能够解释较大范围内的一系列相关现象、事实以及相互关系；能将较大范围内分散的知识和事实联结为有结构、有系统的整体；能作为一种解释模型，赋予个别的、具体的事实以深层的意义.

如图1，按照大概念所在的层级，由高到低可以被细分为课程大概念、单元大概念、章节大概念、课时大概念.课程大概念处于顶尖位置，其下面的3个“大概念”相对于它来说就成了“小概念”或者“次级概念”；同样地，课时大概念、章节大概念，相对于单元大概念来说，也是“小概念”“次级概念”，这也说明了大概念的“大”具有相对性，在每个层级中都有处于统摄地位的“大”概念.

图1

大概念教学是以大概念为锚点组织教学的一种方式，具体地说，就是先从学科知识体系和逻辑结构出发，提取学科大概念；然后，围绕大概念搭建核心观点框架；最后，将学科大概念细化为一个次级概念，成为课时教学的立意或者主题来统摄整节课的教学，从而实现提升学生能力与素养的目的.

“结构”“联系”“迁移”是大概念教学的基本特征，大概念教学的优势正是源于对这3个关键词的理解和把握.首先，用大概念统摄与组织教学内容，能够使离散的事实、技能相互联系、结构化，并被赋予一定意义；其次，大概念教学强调引导学生超越对知识和技能的学习，走向那些超越时空和情境而存在的、可迁移的观点和思想[3]，从而促使深度学习的发生；最后，大概念教学有明晰的学习目标和有效的表现性任务，这有利于学生自主、合作、探究学习的开展.在大概念教学中，教师要成为学科教学的专家，不仅要知道教什么，而且还要知道为什么而教；不仅要理解学生，也要理解设计——单元设计、活动设计、问题设计等，用自己丰富的专业知识引领学生像专家那样思考，使学生也成为学习的专家.

3 数学大概念教学的实践

3.1 提取大概念，明确学习目标

由于大概念具有内隐性的特点，不容易被人发现和理解.因此，在明确教学主题后，需要站在单元的高度甚至学科系统的高度对教学主题包含的学科事实以及相互关系，进行多视角分析，进而提炼学科大概念.大概念一般可以从课程标准、核心素养、专家思维、概念派生、生活价值、知能目标、学习难点、评价标准这8条路径进行提取，并且大概念的获得通常都是综合多条路径的结果.

为了获取“数列的递推公式”这个教学主题的大概念，就需要站在整个“数列”单元的高度对教学内容进行剖析.从生活价值的角度看，数列的研究源于生产、生活的需要；从课程标准的角度解读，数列是一类特殊的函数，要用函数的思想方法来研究数列；从学习目标的角度定位，只要求能根据递推公式写出数列的前n项，掌握由一些由简单递推公式求通项公式的方法.

综合上述分析，一方面，不难发现比赛课例中以“求递推数列的通项公式”为中心的做法确实偏离了正常的教学轨道；另一方面，统摄本节内容的课时大概念也逐步得到明晰，那就是“递推公式是数列的一种表示方法”，而本节课的学习目标就是形成“数列能够用递推公式来表示”的意识，发展学生“借助递推公式”来研究数列的能力.

3.2 聚焦大概念，形成结构化的知识

提取大概念后，接下去就要以大概念为主线对教学内容进行梳理，调整前后顺序，打破原有的知识边界，结合教师对学生知识学习、思维发展和能力提升的系统考虑和期待，将建构大概念所需的知识打造成一个联系紧密的结构化整体.

虽然“递推思想”贯穿于整个数列单元，包括等差、等比数列也都是借助递推公式进行定义的，但在教材中，“递推公式”的概念及简单应用却只在“数列的概念与表示”中有所涉及，内容本身显得非常单薄.因此，若没有一个大概念作为支撑，则本节课的教学很难有效开展.有了“递推公式是数列的一种表示方法”的认识后，就可以从这个大概念出发对相关内容进行整合，形成本节课的知识结构，如图2所示.

图2

3.3 细化大概念，设计学习流程

在设计学习流程时，一方面要依据学生的认知水平设置教学内容的先后顺序、认识角度和理解路径.另一方面由于大概念不是一个看得见、摸得着的事实，因此，不可能直接“教”给学生，需要把大概念细化为与基本事实、具体问题、学生经验直接相关的“小概念”，进而设计与之相呼应、有一定挑战性的且能够充分体现综合性、层次性、关联性、实践性的“学习任务”和“驱动性问题”，助力学生进行多视角的学习理解、应用实践和迁移创新.

如图3，借助“数列是一类特殊的函数”这个单元大概念确定“类比函数的表示方法”作为本节课的教学思路；通过细化“递推公式是数列的一种表示方法”课时大概念，可以得到“数列的递推公式不唯一”“并非所有的递推公式都可以求通项公式”“递推公式具有应用价值”等一系列“小概念”，并以此为基础设计了本节课的四大学习任务以及对应的学习内容.

图3

对于每个学习任务中的问题设计要求做到层层递进、环环相扣、步步深入、由此及彼，不断地驱动学生的思考与学习的进程.

比如，在任务2中，为了揭示“数列的递推公式不唯一”这一事实，可以设计如下问题：

问题1你能用递推公式表示等差数列吗？

递推公式为an+1-an=d,2an+1=an+an+2.

问题2若等差数列an=2n+1，你能写出它所对应的递推公式吗(至少写出3个)？

问题3对于一个数列来说，它所对应的递推公式唯一吗？

不唯一.

问题4数列是一类特殊的函数，能否从函数的视角分析递推公式到底是什么？

递推公式类似于函数中的抽象函数关系.

又比如，在任务4中，让学生在丰富的经典数学问题情境中体会递推思想在揭示问题本质及优化算法中的作用.

问题5如图4所示的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，在3个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{an}的前3项，求数列{an}的一个通项公式.

图4 图5

提示:先写出递推公式a1=1,an+1=8an+1或a1=1,an+1-an=8n.

问题6如图5，有3根杆子A,B,C，其中杆C上有若干碟子，把所有碟子从杆C上移到杆B上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面，求最少要移动多少次？

提示:当杆C上有n-1个碟子时，设总移动次数为an-1次，当杆C上有n个碟子时，设总移动次数为an次，那么它们之间满足递推关系a1=1,an=2an-1+1.

问题7假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问:一对刚出生的兔子，一年内能繁殖成多少对兔子?

提示:设an表示第n个月的兔子数，则满足递推公式a1=1,an+2=an+an+1.

在“数列的递推公式”这节课中，大概念教学引领学生对递推公式是什么、为什么、有什么用、怎么学等一系列问题进行了全面的剖析，充分体现了单元教学的整体性和系统性，能够为学生对数学知识、思想和方法的掌握形成网状结构认知，并提供一个统筹兼顾、整体规划的场域[4]，从而实现课堂的转型与育人模式的转变，这也是大概念教学的最大优势之所在.