追因3的倍数特征，发展小学生符号意识

高博 李峤

【摘要】本文从两个方面入手，一是运用几何直观，帮助学生理解“2、5、3的倍数特征”背后的奥秘;二是让学生尝试运用符号推理，感受符号的概括性，培养符号意识。

【关键词】小学数学;倍数特征;符号推理;数学思维

一、教学实践

（一）激趣引入

师：判断这些数是不是2的倍数，是不是5的倍数，是不是3的倍数。2、5的倍数有什么特征？3的倍数又有什么特征？（PPT出示：38、63、25、90）

生：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0、5的数是5的倍数。各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

（二）引出疑惑

师：为什么判断一个数是不是2、5的倍数，只用看个位数，而判断一个数是不是3的倍数，却要看各位上数的和？我们这节课就来研究一下这些问题。

（三）探究解密

1.探究为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位数

师：为了研究的方便，我们先从研究两位数入手。老师给每个小组都发了一些小正方体表示数的学具纸，大家可以用它们来表示需要研究的数。

（PPT打出探究任务：用学具纸组成一个两位数，观察、思考、讨论为什么判断一个数是不是5的倍数，只用看个位数）

生：大家请看，我们组成的两位数是32。我们发现，10是5的倍数，32由3个十和2个一组成。不管几个十，都一定是5的倍数。所以这个数是不是5的倍数，其实就只用看个位上的数。32个位上是2，所以它不是5的倍数，而且我们还发现它除以5一定余2。

师：同学们，我们刚才尝试后发现了是不是5的倍数只用看个位上的数。但是我们并没有验证所有的两位数，有什么更好的方法能够保证全部的两位数都满足呢？

生：用字母表达。

师：假如一个两位数，十位上是a，个位上是b。这个两位数怎么表示？

生1：ab。

生2：不对，ab表示的是a×b，我觉得应该是10a+b。

师：这个a、b可以代表什么数？

生1：任何数。

生2：不对。a、b只能是0～9的数。

生3：a是最高位，a不能表示0。

师：很好，通过大家的讨论交流，我们明确了10a+b可以表示所有的两位数。那谁利用10a+b的字母表达来说明一下为什么是不是5的倍数只用看个位上的数。

生：因为10是5的倍数，所以10a也一定是5的倍数。所以这个两位数是不是5的倍数，只用看b，也就是个位上的数。

师：说得真好。那为什么判断一个数是不是2的倍数，也只用看个位数呢？能不能也用这个方法研究一下，这次我们用3位数来研究。（学生小组讨论）

生：任何一个三位数都可以表示成100a+10b+c，因为百位和十位上不管是几，都一定是2的倍数。所以一个三位数是不是2的倍数，也只用看个位上的数。

2.探究为什么判断一个数是不是3的倍数，要看各位上数的和

师：非常好，大家找到了2、5倍数特征背后的奥秘。接下来，最有挑战性也最有趣的地方来了，为什么判断一个数是不是3的倍数，要看各位上数的和？同样的，小组利用学具纸去研究，为了研究的方便，我们先选择两位数来研究。

生：我们组成的两位数是24，我们发现，24中的2代表2个十，它除以3商6余2，余的2加上个位上的4就等于6，除以2刚好整除，所以24是3的倍数。然后我们就想，十位上是几，除以3就余几，所以判断一个数是不是3的倍数，就要把各位上的数加起来。

师：能不能结合学具纸再给大家解释一下。

生：（在学具纸上圈正方体）每个十都可以拆成9+1，因为9是3的倍数，所以不管几个9都已经是3的倍数了，所以只用看剩下的几与个位上的数的和是不是3的倍数。

师：大家同意吗？能不能用算式表示我们拆分的过程呢？我们试试看。（教师和学生一起推演，板书在黑板上）

师：看，无论几个9都是3的倍数，所以我们只需要看剩下的两个数的和，而剩下的两个数正好就是十位和个位上的数的和。我们已经找到为什么这样判断3的倍数特征的奥秘了。那么，大家能够用字母来表达吗？试试两位数和三位数吧。

生：因为9是3的倍数，所以a×9一定是3的倍数。所以这个三位数是不是3的倍数，就只需要看a+b，也就是把各位上的数加起来。因为99和9都是3的倍数，所以a×99 + b×9一定是3的倍数。所以这个三位数是不是3的倍数，就只需要看a+b+c，也就是把各位上的数加起来。

师：看来，用字母表达，能够证明更一般的结论，这就是数学符号的威力。其实，不止两位数、三位数，任意几位数都可以用这个方法证明。

二、课后反思

当学生用正方体图学具纸把数表示出来，很容易就能够发现整十、整百数必然是2和5的倍数，而每个十都比3的3倍多1，每个百都比3的33倍多1……有了这样的直观感受，规律背后的道理已经呼之欲出。在此基础上再引导学生思考、辨析、推演，学生就能够逐步深刻理解为什么会有这样的规律。

学生在五年级上册已经学习了“用字母表示数”，具备了用符号表达规律的基础。但用字母进行运算和推理，对于小学生来说，还是具有一定的难度，因此我们引导学生将其分为两个步骤完成：一是符号表达，一是演绎推理。首先让学生学会并理解用a×10+b这样的形式可以表示任意兩位数，进而再在这个表达的基础上，利用运算定律对式子进行恒等变形，由因数倍数的概念推理出结论。在这个过程中，学生经历了符号表达与推理的全过程，初步理解了用符号推理得出的结论具有普遍性。

（责任编辑：洪冬梅）