基于频域差分的智能电表扩频信号捕获算法

石文星，贺知明

(电子科技大学 信息与通信工程学院，四川 成都 611731)

0 引言

物联网技术的发展促进了数字化智能电表的应用[1]。物理层芯片的设计是智能电表运行的关键技术之一，而解扩解调模块是其中的第一部分。在数字接收机中，多普勒频偏的干扰会导致信号解调出现错误，影响电表的正常工作。因此，需在接收端解调前完成同步，消除频偏影响。同步分为捕获和跟踪两个步骤，捕获也称粗同步，目的是获得接收信号的载波频偏和伪随机码相位偏移的粗略估计值。接收机存在工作性能与处理能力之间的矛盾，设计时既要考虑到有限的计算资源，又要设法提高捕获系统相关增益[2]。

现有伪码捕获算法包括串行捕获、并行频率捕获、并行码相位捕获以及基于部分匹配滤波-快速傅里叶变换(PMF-FFT)捕获算法等[3]。其中PMF-FFT算法可以实现伪码相位和多普勒频偏的二维搜索，能够快速完成码相位搜索且能在频偏较大时估计出频偏。因传统的基于PMF-FFT结构的捕获算法有一定缺陷，一些改进算法陆续被提出。从现有的研究成果看，部分改进算法针对捕获增益存有扇贝损失和频域衰减的问题，通过窗函数法和补零法以减小增益衰减，这方面研究比较成熟[4-5]。另一部分改进算法则针对算法在低信噪比和大频偏下捕获增益不足的问题，结合研究的通信环境，在算法中添加辅助计算模块如频域差分模块、相关值差分模块等[6-10]。目前，频域差分法尚未在物联网领域的扩频信号捕获算法中得到应用。现有应用于物联网的扩频信号捕获算法的研究相对较少。

本文基于南方电网无线双模通信协议，研究突发扩频信号的载波捕获和伪码捕获算法，即如何在计算资源有限的情况下，提高捕获增益和信号检测概率，实现-17 dB信噪比和30 kHz频偏搜索范围的工作目标。参考现有的理论研究成果，结合工程实际，提出了一种基于改进频域差分非相干的PMF-FFT快速捕获算法，适用于智能电表工作环境。通过仿真实验，验证了改进算法可实现预期目标。

1 PMF-FFT捕获算法原理

依据通信协议，智能电表发送端采用周期长度最大为256的扩频码进行前导码的扩频，再通过偏移正交相移键控(OQPSK)调制将扩频后的信号调制到载波。在接收端，数字中频信号通过同相支路和正交支路与本地载波混频得到两路相互正交的I路和Q路信号，再经低通滤波后得到基带信号。本地伪码的长度N=MX，两路信号分别与存放于M个X级部分匹配滤波器(PMF)的本地伪码进行相关运算，共得到M个部分匹配滤波器输出值。M个运算结果再进行K点(K≥M)FFT运算得到K点傅里叶变换结果，K点FFT输出最大模值超过预设门限值时捕获成功，反之则捕获失败。最大谱线对应的频点为多普勒频偏的估计值，伪码相位滑动所在位置为码相位估计值。部分PMF-FFT算法结构如图1所示。

图1 PMF-FFT算法结构图Fig.1 PMF-FFT algorithm structure diagram

假设接收信号的多普勒频偏为fd，码片周期为TC，接收信号为r(n)，本地伪码为c(n)直接进行匹配滤波的输出值为：

(1)

式中，φ为初始相位，假设φ为0。根据伪码的自相关特性，捕获成功时r(k)·c(k-n)的幅值等于1。式(1)可改为：

(2)

将长度为N的匹配滤波器拆分为M段长度为X的部分匹配滤波器，式(2)可改为:

(3)

式(2)和式(3)表明，每段长为X的部分匹配滤波器相关输出的模值相等。当存在多普勒频移时，第i段部分匹配滤波器输出值有2πfdiXTs的频差。FFT算法可实现频差补偿，进行K点FFT运算，式(3)可改为：

(4)

exp(jφ(k,fd))，

(5)

式中，φ(k,fd)为捕获算法的相位特性归一化频率，即：

(6)

归一化频率响应GPMF-FFT(k,fd)是部分匹配滤波器频率响应GPMF(fd)和FFT频率响应GFFT(k,fd)的乘积，二者的幅度值|GPMF(fd)|和|GFFT(k,fd)|如下：

(7)

(8)

K点FFT输出模值的最大值即为捕获算法的归一化相关增益A(fd) ：

A(fd)=max{|GPMF-FFT(k,fd)|}。

(9)

2 窗函数法与补零法

针对FFT造成的扇贝损失和PMF造成的频域衰减问题，采用窗函数法和补零法来改进PMF-FFT算法。

2.1 改善扇贝损失

扇贝损失由栅栏效应和频谱泄露两个因素引起。FFT运算结果是对有限长序列的频谱做等间隔采样后的样本，得到的频谱函数不连续。当多普勒频偏位于两个FFT频点之间，此频率对应的FFT输出值会产生衰减。若将这K个频点视作栅栏，则任意两个频点对应频率间的频域被栅栏所遮挡，这种现象被称为栅栏效应。有限序列的尾部补上若干个零后，进行FFT运算的点数增加，栅栏数量增加，一些被遮挡的频率分量可以在频谱上显示出来。

K值确定后，求得频偏分辨率为：

(10)

式中，Ts是采样周期，fs是采样频率。

依据通信协议，伪码周期长度N=256，码片速率Rc=100 kHz。假设信噪比SNR=10 dB，X=16，M=16，伪码相位偏差为0，频偏fd范围为0～12 000 Hz。分别假设K=16和K=32，归一化捕获增益输出如图2所示。

图2 FFT补零前后归一化捕获增益Fig.2 Normalized acquisition gain before and after FFT zero padding

图2直观显示了频率不在频点上时FFT输出值的衰减，频率位于两频点正中间时的衰减程度最大。补零后频点数量增加，两个相邻FFT点输出峰值对应的频率间距变为之前的一半，位于此间距内频率的捕获增益提高。补零法可以有效改善栅栏效应引起的扇贝损失，同时提高系统频率分辨率。但补零后的FFT运算量增加，消耗的计算资源也相应增加，因此不能过多补零。

作FFT运算的点数有限，运算时要截断无限长的序列，相当于无限长序列与一个矩形窗函数相乘。引入矩形窗函数后，FFT运算结果会出现原信号没有的频率分量，这种现象称作频谱泄露。为了减少频谱泄露，可以采用不同的窗函数对信号进行截断。若窗函数两侧的旁瓣衰减较快，能量集中在主瓣内，则截断信号的频谱更接近于实际情况。

常用的窗函数有汉宁窗、汉明窗和布莱克曼窗等。以汉宁窗为例，分析窗函数对频谱泄露的影响。汉宁窗也称升余弦窗，其定义为：

(11)

式中，RX(x)为长度为K的矩形窗，幅频响应近似为：

(12)

式中，WR(w)为长度为K的矩形窗的幅频特性。

对进行FFT运算的K点数据加汉宁窗函数，FFT幅频响应为：

(13)

加窗后，新的FFT幅频响应是原有幅频响应与前后两频点幅频响应的线性组合。仿真环境不变，对FFT输入数据加窗，比较归一化捕获增益输出如图3所示。

图3 FFT加窗前后归一化捕获增益Fig.3 Normalized acquisition gain before and after FFT windowing

如图3所示，加窗后相邻两个FFT频点交线提高，捕获增益的衰减程度减小，频谱泄露得到改善。窗函数法只需用复数乘法器实现，不消耗额外的硬件资源，但不能提高频偏分辨率。窗的长度越大，改善效果越好，因此窗函数法更适合于长伪码的处理。

2.2 改善频域衰减

随着多普勒频偏的增大，PMF-FFT频率响应会有较大的衰减，捕获系统存在一个频偏捕获范围。部分匹配滤波器并非全通，如式(7)所示，伪码同步时，PMF频率响应与sinc函数近似，部分匹配滤波器相当于一个长为X的矩形窗。其主瓣宽度为：

(14)

部分匹配滤波带宽扩大为直接数字匹配滤波的M倍，BPMF的值即为频偏搜索范围。

若对PMF输入加窗函数，PMF频率响应的主瓣宽度增加，频域衰减程度减小。加汉宁窗后PMF幅频响应为：

(15)

仿真环境不变，对PMF输入数据加窗，比较归一化捕获增益输出，如图4所示。

由图4可知，PMF输入加汉宁窗后，频偏增大时捕获增益曲线的下降程度减缓，系统可搜索的频偏范围增大。

图4 PMF加窗前后归一化捕获增益Fig.4 Normalized acquisition gain before and after PMF windowing

3 频域差分非相干积累法

除了扇贝损失和频域衰减，捕获算法还有低信噪比下增益不足的问题。捕获积累方法可以提高信号的信噪比，进而提高捕获系统的检测概率[11]。相干积累利用伪随机码的自相关性，将接收信号与本地伪码的相关结果进行累加，可抑制信号中的噪声分量，提高信噪比。部分匹配滤波是一个相干积累过程，积累后的信噪比与相干积累时间成正比。由于伪码长度和捕获时间要求的限制，相干积累时间不能过长，低信噪比下相干积累后的信号还无法实现捕获。

非相干积累是将相干积累的结果取模或平方后相加。将归一化频率响应GPMF-FFT(k,fd)记为GPMF-FFT(k)=I(k)+jQ(k)，取模累加操作可表示为：

(16)

式中，n是非相干积累次数。在信号平方的同时，白噪声也进行了平方，相当于两段时间差为0的高斯白噪声自相关，其相关值不为0，从而产生平方损耗。

若将FFT输出结果与后一周期结果共轭相乘，再作n次累加，得到频域差分非相干结果为：

(17)

由傅里叶变换对性质可知，频域相乘等于时域相卷积。再由卷积与相关的性质，信号f(t)和g(t)的相关等于f*(-t)和g(t)的卷积，可得FFT输出结果差分相当于将FFT输入进行相关后再作FFT运算。频域差分，时域可视为匹配滤波后的信号进行相邻两周期的相关。信号时间差不为0，而高斯白噪声没有互相关特性，不会产生平方损耗。运算过程中噪声与信号的互相关会产生交调噪声，其对捕获增益的影响小于平方损耗。因此，频域差分后非相干积累对捕获增益的提升程度大于传统非相干积累，可作为一种优化方案。

4 仿真实验

4.1 参数配置

依据通信协议，确定了伪码周期长度N和码片速率Rc。采样频率fs影响频偏搜索范围，考虑到硬件资源的限制，设置采样频率fs=400 kHz，是码片速率的4倍，直接匹配滤波长度Ns=4N=1 024。选择相干积分时间为2.56 ms，即一个伪码周期持续时间。

部分匹配滤波分段数M决定了频偏搜索范围。在Ns=MX条件下，确定M和X的大小。M=128时，理论计算得到的频偏搜索范围是50 kHz，满足算法设计目标。再对PMF输入加窗，增大理论搜索范围。部分匹配滤波长度X决定了每个PMF的相干积分时间。此时X=8，部分相干积分时间为20 μs。FFT点数K决定了频偏分辨率，通常为2的整数次幂。K>M，K数值的选取将按照仿真结果而定。

4.2 仿真结果

参数配置完成后，通过仿真实验验证频域差分非相干法的可行性并选择合适的改善扇贝损失方法。设置噪声为加性高斯白噪声，信噪比SNR=-17 dB，码相位偏差100 chip。

暂定K=M，先设频偏fd=30 078 Hz，通过计算求得该频率位于FFT频点上。分别用相干积累、非相干积累和频域差分非相干积累处理信号，观察实验结果并加以比较。图5为相干积累法的仿真结果，可见信号完全淹没于噪声中，没有捕获峰值的出现。

图6为非相干积累法和频域差分非相干积累法的仿真结果，非相干积累次数n=4。码相位以4N周期依次出现多个显著捕获峰值，捕获峰值的频点坐标78对应的频偏值与理论值相符。

(b)PMF-FFT频域差分非相干积累捕获增益图6 PMF-FFT两种非相干积累捕获增益Fig.6 PMF-FFT two incoherent accumulation acquisition gains

再设频偏fd=29 883 Hz，该频率位于两个FFT频点正中间，用非相干积累处理信号，非相干积累次数n=4。图7是仿真结果，对比图6(a)，捕获峰值受到扇贝损失影响，有明显衰减。

图7 扇贝损失对PMF-FFT非相干积累捕获增益的影响Fig.7 Influence of scallop loss on PMF-FFT incoherent accumulation acquisition gain

比较FFT补零法和加窗函数法的捕获增益，分别设置K=2M，K=M且FFT输入加窗。图8为两种改善扇贝损失法的仿真结果，FFT输入加窗后底噪和干扰峰值都高于FFT补零。因此，选择FFT点数K=2M，此时位于两个FFT频点正中间的频偏fd=29 981 Hz。

(a)FFT输入加窗后PMF-FFT非相干积累法捕获增益

(b)FFT补零后PMF-FFT非相干积累法捕获增益图8 FFT加窗函数和补零后非相干积累法捕获增益Fig.8 Non-coherent accumulation method acquisition gain after FFT windowing and zero padding

选取8个周期捕获时的输出增益，取其中最大值和最小值，信噪比SNR=-17∶1∶10 dB，观察两个增益值随信噪比变化的波动曲线。图9 为PMF-FFT非相干积累法和频域差分非相干积累法的信噪比增益变化曲线，随着信噪比的降低，最大值和最小值的差距逐渐增大。为提高捕获算法的可靠性，采用多次确认的方法，即捕获到超过门限的峰值后的数个伪码周期多次确认是否仍超过门限，减少误捕的可能。

(a)PMF-FFT非相干积累法捕获增益变化曲线

(b)PMF-FFT频域差分非相干法积累捕获增益变化曲线图9 捕获增益与信噪比关系曲线图Fig.9 Relationship between acquisition gain and signal-to-noise ratio

比较PMF-FFT非相干积累法和频域差分非相干积累法的检测概率，评估两种算法的性能。取最小值与门限对比，计算检测概率。FFT单点检测概率为：

(18)

式中，Q是MarkumQ函数，SNRin是输入信噪比，c是归一化门限值，|G′PMF-FFT(k,fd)|是8个伪码周期中FFT第k点的最小模值。

整个系统的检测概率可以表示为：

(19)

设频偏fd=29 981 Hz，非相干积累次数n=4，信噪比SNR=-25∶1∶10 dB。图10为两种算法模型检测概率曲线图，相同的信噪比下PMF-FFT频域差分非相干积累算法检测概率更高。

图10 捕获算法检测概率曲线图Fig.10 Acquisition algorithm detection probability curve

由式(15)和式(16)可知，在相同的积累次数下，PMF-FFT频域差分非相干积累法计算所需的周期点数比传统PMF-FFT非相干积累法多一个。考虑到节省计算资源的因素，将频域差分非相干积累法进行细微改进：

(20)

式中，首周期和末周期的FFT输出值做了共轭相乘。

设频偏fd=29 981 Hz，非相干积累次数n=5，改进算法非相干积累次数n=4，信噪比SNR=-25:1:10 dB。图11为改进PMF-FFT频域差分非相干积累算法的检测概率曲线图，结果显示，相同信噪比且消耗相同计算资源的情况下，改进算法的检测概率高于非相干积累法。

(a)3种捕获算法检测概率

(b) 捕获算法检测概率比较图11 改进捕获算法检测概率曲线图Fig.11 Improved acquisition algorithm detection probability curve

5 结论

本文根据智能电表信号扩频序列较短的特点，为实现算法目标，引入了一种基于频域差分非相干积累的PMF-FFT捕获算法并加以改进。给出了算法的原理，基于现有研究和实验结果选择了合适的改善扇贝损失和频域衰减的方案，通过仿真实验得到检测概率曲线图，验证了算法的有效性。仿真结果表明，改进算法可以实现智能电表扩频信号的捕获，在信噪比相同的情况下，计算周期点数为5时，其检测概率高于传统非相干积累算法3%。