车桥耦合振动高速铁路典型桥梁动力系数研究

吴大宏，屠嘉杨，苏 伟，孙树礼，余志武，3，毛建锋，3

（1. 中国铁路设计集团有限公司，天津 300308；2. 中南大学土木工程学院，湖南 长沙 410075；3. 中南大学高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南 长沙 410075）

高速铁路桥梁设计挑战大、 任务艰巨， 其中桥梁车致振动安全评估是桥梁设计中的重要环节之一，而桥梁动力研究主要集中于抗震、抗风及车桥耦合等[1-6]。 目前，我国规范对车桥耦合虽有所提及，但涉及内容较少，往往采用桥梁动力系数进行动力性能简化分析，而由于车桥耦合振动的复杂特性，这种简化算法局限较大。 因此，亟需开展基于车桥耦合振动的高速铁路典型桥梁动力系数规律研究，为我国铁路桥梁快速设计提供有力支撑。

近十几年来， 高速铁路的发展极大地促进了铁路桥梁动力学的研究， 关于桥梁动力系数的研究成果丰富[7-15]。 国内外规范中对铁路桥梁动力系数的定义仅与结构顶部填土厚度、 桥梁最大跨跨径有关，不能全面考虑桥梁跨度、梁体刚度、频率、阻尼、 桥墩与基础刚度等复杂因素对桥梁动力性能造成的影响[16]。 因而，在桥梁设计阶段“逢桥必算”成为常态，给设计工作带来了一些麻烦，尤其是中长跨度钢筋混凝土桥梁设计。 发展通用的铁路钢筋混凝土桥梁动力系数设计方法， 更高效指导工程设计具有重要的意义。

作为车桥耦合的设计方法和原则， 为了避免“逢桥必算” 繁重任务的现象， 本文建立高速列车-轨道-桥梁系统耦合振动模型，通过高速列车作用下各类典型轨道-桥梁结构体系的系统动力特性仿真分析，综合考虑各复杂因素对桥梁动力性能的影响程度，总结、归纳桥梁结构通用性车桥耦合振动规律。 基于概率统计学原理，引入“谱函数”的概念，对于具有相同自振周期的桥梁结构，在不同车速、不同列车类型荷载作用下，确定一定概率保证率下车桥耦合导致桥梁结构动力放大系数的包络值，提出了“车桥耦合动力放大系数谱”，并另取10 座桥梁算例验证本方法的可行性与保证率。

1 列车-轨道-桥梁耦合振动模型

定义车辆各自由度符号：Lc为车辆定距之半，m；Lt为同一转向架所属两轮对轴距之半，m；b4为系悬挂纵向弹簧阻尼器横向间距之半，m；b3为二系悬挂纵向弹簧阻尼器横向间距之半，m；b2为系悬挂竖向弹簧横阻尼器向间距之半，m；b1为二系悬挂竖向弹簧阻尼器横向间距之半，m；b0为轮对两滚动圆横跨之半，m；h1为车体重心到二系悬挂横向弹簧阻尼器的距离，m；h2为转向架重心到二系悬挂横向弹簧阻尼器的距离，m；h3为转向架重心到一系悬挂横向弹簧阻尼器的距离，m；h4为轮对重心到一系悬挂横向弹簧阻尼器的距离，m；Mc，Mt，Mw分别为车体质量， 转向架质量， 轮对质量，kg；Jcθ，Jcφ，Jcψ分别为车体侧滚、点头、摇头运动惯性矩，kg·m2；Jtθ，Jtφ，Jtψ分别为转向架侧滚、点头、摇头运动惯性矩，kg·m2； Jwθ，Jwψ分别为轮对侧滚、摇头运动惯性矩，kg·m2；k1x，k1y，k1z分别为一系悬挂系统纵向， 横向， 竖向弹簧刚度系数，N/m；c1x，c1y，c1z分别为系悬挂系统纵向，横向，竖向阻尼系数，N·s/m；k2x，k2y，k2z分别为二系悬挂系统纵向，横向，竖向弹簧刚度系数，N/m；c2x，c2y，c2z分别为二系悬挂系统纵向， 横向， 竖向阻尼系数，N·s/m；xw1，xw2，xw3，xw4，xft，xbt，xc分别为第一，第二，第三，第四轮对及前，后转向架与车体的纵移自由度；yw1，yw2，yw3，yw4，yft，ybt，yc分别为第一，第二，第三，第四轮对及前，后转向架与车体的刚体横移自由度；zw1，zw2，zw3，zw4，zft，zbt，zc分别为第一，第二，第三，第四轮对及前，后转向架与车体的刚体沉浮自由度；θw1，θw2，θw3，θw4，θft，θbt，θc分 别 为 第 一，第 二，第 三，第 四 轮对及前，后转向架与车体的刚体侧滚自由度； φft，φbt，φc分别为前，后转向架与车体的刚体点头自由度； ψw1，ψw2，ψw3，ψw4，ψft，ψbt，ψc分别为第一， 第二，第三，第四轮对及前，后转向架与车体的刚体摇头自由度。

假设列车每节车辆的车体、转向架、轮对均为刚体（如图1 所示），基于曾庆元院士的弹性系统动力学总势能不变值原理[17]，并运用形成矩阵的“对号入座”法则[18]即可得到车辆空间振动的有限元形式矩阵方程

图1 车辆动力学模型Fig.1 Vehicle dynamics model

式中：Rw为车轮踏面曲率半径。

基于有限元建模方法， 可得下部轨道-桥梁结构系统空间动力学方程

式中：Cvb与Cbv为车-轨耦合阻尼矩阵；Kbv与Kvb为车-轨耦合刚度矩阵；F′v和F′b分别为更新调整后的列车荷载矩阵和桥梁荷载矩阵[19]。

2 动力放大系数谱

2.1 基于车桥耦合振动的放大系数统计规律分析

基于上述列车-轨道-桥梁耦合振动分析模型，综合分析计算所得放大系数结果，下面给出部分桥梁结构放大系数的车桥耦合计算值与规范计算值的对比情况，对比图见图2 所示。

图2 现有规范动力放大系数与实际计算结果对比Fig.2 The comparison of amplification coefficients and caculation results

根据图2，共16 个偏差百分比数据，其中，按照铁路规范计算所得的动力放大系数均远小于车桥耦合计算值，偏差超过5%的数据有14 个，占总数的87.5%。由此可见，铁路规范计算所得动力放大系数，暂时无法准确、安全地计算桥梁结构由于车桥耦合而产生的动力放大系数，需要另外寻找一个适合计算车桥耦合的动力放大系数公式。

2.2 动力放大系数谱的提出与指标选择

目前桥梁动力方面的研究主要可分为3 方面：桥梁抗震研究，桥梁抗风研究，桥梁车桥耦合研究。 有学者[20-21]进行了一些针对地震设计中动力放大系数谱的研究， 本文类比结构抗震动力学中的“弹性反应谱”的概念，提出车桥耦合动力学中的“车桥耦合动力放大系数谱”。 具体含义如下：基于概率统计学原理，对于具有相同自振周期的桥梁结构，在不同车速、不同列车类型下， 由于车桥耦合现象导致桥梁结构在列车荷载作用下响应的动力放大系数在一定保证率下的包络值。

图3 展示了不同结构自振周期与放大系数的关系。 根据以往学者的研究结果，影响动力放大系数的因素主要可以分为两部分， 一部分是桥梁结构自身特性，如结构刚度、质量、支座等；另一部分是车辆的自身特性，如车辆组成结构、轮重轮距、阻尼等。 综合车桥耦合研究的意义， 可简单理解为，放大系数是车桥在发生“共振”现象时的振幅与静载作用下挠度的比值。 具有相似自振周期的不同桥型，发生“共振”时的工况也较为相似，选取结构自振周期作为动力放大系数谱方法的指标比较有代表性。 而对于同一桥型的桥梁，其自振周期较为接近， 选取自振周期作为指标也更有利于数据的归纳总结。

图3 结构自振周期与放大系数关系Fig.3 Relationship between natural vibration periods and amplification coefficient of structures

2.3 动力放大系数计算结果

本文统计了不同类型高速列车以不同车速通过不同桥梁结构简支梁桥（SS）、连续梁桥（CB）、钢构桥（Steel）时的动力放大系数情况，现有德国ICE 城际特快列车（German ICE）、法国TGV 高铁（French TGV）、日本新干线500 系列车（Japan 500 series）、国产动力分散式列车（Power distributed train）、国产先锋号电力动车组（DJF2 train）、国产中华之星动车组（China star train）。将不同类型高速列车作用下动力放大系数与结构自振周期的数据表示在表1中。

对于德国ICE 列车、法国TGV 列车、日本500系列车，其车速等级为：250，275，300，325，350，375，400，420 km/h； 对于国产先锋号列车和国产中华之星列车，其车速等级为：160，180，200，220，240，270 km/h。 将各计算结果进行提取汇总，结果如表2所示， 其中桥梁编号与表1 保持一致。 表1 和表2中数据暂缺的部分以斜杠表示。

表1 不同类型高速列车作用下桥梁结构动力放大系数Tab.1 Dynamic amplification coefficient of bridge structures under different types of high-speed trains

表2 不同车速作用下桥梁结构动力放大系数Tab.2 Dynamic amplification coefficient of bridge structures under different speeds

3 动力放大系数谱的计算

3.1 基于概率统计的动力放大系数谱计算方法

根据前文所述动力放大系数谱的概念，其具体计算方法为：选取若干拥有不同自振周期的桥梁结构，并将每一个结构输出响应值与输入激励值的比值（即动力放大系数）进行处理，最终得到一系列动力放大系数—结构自振周期的二维点位图，并选取一定的保证率，将点位进行包络，此包络线即为动力放大系数谱。

根据表1 和表2 中的动力放大系数数据，在一定保证率的前提下，满足包络要求。 动力放大系数谱与结构自振周期的关系表达式如下

式中：λs为结构竖向动力放大系数；Ts为结构竖向自振周期，s；λh为结构横向动力放大系数；Th为结构横向自振周期，s。

以上两个动力放大系数谱的曲线形分别见图3，图4 所示。

图3 竖向自振周期动力放大系数谱曲线Fig.3 Spectrum curve of vertical dynamic amplification coefficients（DAC）

图4 横向自振周期动力放大系数谱曲线Fig.4 Spectrum curve of lateral dynamic amplification coefficients（DAC）

根据以上动力放大系数谱的计算流程，对表1 和表2 中的动力放大系数数据进行包络线的计算，计算结果与原图绘在同一坐标系内，结果如图5～图8 所示。

图5 动力放大系数谱与结构竖向自振周期关系图——不同列车类型Fig.5 Relationship between dynamic amplification coefficient spectrum and vertical natural vibration period of structures——different vehicle models

图6 动力放大系数谱与结构横向自振周期关系图——不同列车类型Fig.6 Relationship between dynamic amplification coefficient spectrum and lateral natural vibration period of structures

图7 动力放大系数谱与结构竖向自振周期关系图——不同车速Fig.7 Relationship between dynamic amplification coefficient spectrum and vertical natural vibration period of structures——different velocities

图8 动力放大系数谱与结构横向自振周期关系图Fig.8 Relationship between dynamic amplification coefficient spectrum and lateral natural vibration period of structures

4 动力系数谱方法的说明

4.1 动力放大系数谱的不足

动力放大系数谱方法也存在以下几点问题：

1） 本文提出的动力放大系数谱法暂时仅考虑同一结构在不同列车类型、时速下，动力系数的最大值。 实际上，桥梁通过的列车和时速都较为固定，可能达不到放大系数谱中的数值， 结果会偏为保守，且对于某些情况的偏差较大，其精度还需要进一步的修正。

2） 本文提出的动力放大系数谱的公式理论上仅适合混凝土梁桥结构，并且本文所计算的高铁桥梁大多数都处于直线段，弯扭耦合作用下的适用性尚不明晰，且本方法对于其他形式桥梁结构是否依然适用，还有待进一步的探讨与研究。

3.2 合理性及适用性证明

另选10 座混凝土桥梁进行车桥耦合动力分析计算，计算内容为不同结构在不同列车类型、不同车速下的桥梁结构响应情况，最终选取计算的动力放大系数， 作为验算动力放大系数谱合理性的指标。 为了更方便进行对比，将计算结果以图的形式给出，如图9，图10 所示。

图9 纵向动力放大系数对比情况Fig.9 Comparison of vertical dynamic amplification coefficient

图10 横向动力放大系数对比情况Fig.10 Comparison of lateral dynamic amplification coefficient

经过以上图表计算结果的分析， 发现10 座桥梁中，仅有一座按照本文提出的动力放大系数谱计算所得结果偏于不安全。 但总体上，根据本文所列数据的对比情况来看，本文提出的动力放大系数谱的概念是合理的。

4.2 动力放大系数谱的修正期望

综合本文动力放大系数谱方法的不足，给出如下几个修改方向的思路和方向：

1） 在动力放大系数谱曲线表达式中， 对峰值（即分段函数的第二段的数值）乘以一个结构修正系数，以考虑结构最大跨径、静活载作用下挠跨比对结构动力放大系数的影响。

2） 可以对动力放大系数谱曲线表达式的分段区间进行修正，将分段区间的节点表示为列车类型及时速、车辆自振频率的函数，以更加分明地表示，结构和车辆的自振周期之间的关系对其动力放大系数的影响。

3） 本文提出的方法具有一定的可行性， 可以根据本文的方法，对其他形式的桥梁结构及在曲线段弯扭耦合作用下进行动力方法系数谱曲线的计算，由此来找到适合每一种桥梁结构的动力放大系数谱。

5 结论

本文基于概率统计学的“谱函数”方法，在一定保证率下拟合得到了适合计算车桥耦合下桥梁结构动力放大系数谱的函数表达式，并得出结论。

1） 动力放大系数谱法在一定程度上简化了桥梁设计验算环节车桥耦合动力放大系数的计算流程，实现了车桥耦合问题静力化的目的，对于指导铁路钢筋混凝土形式桥梁设计具有通用性和高效性。

2） 可以进一步对本方法进行参数修正并依据本方法对其他形式的桥梁结构进行推广，以满足今后工程实际中的需求。