用作图法巧解动态平衡问题

祁宜纯(静宁县界石铺中学 甘肃 平凉 743421)

动态平衡是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态.解决动态平衡问题常用的方法有解析法和作图法，解析法一般适用于物体受3个或3个以上力的作用而平衡的问题，作图法适用于物体受3个力作用而平衡的问题，其原理是当物体受3个力作用而处于平衡状态时，其合力为零，3个力首尾相连可构成闭合的矢量三角形，通过分析矢量三角形，各力的大小及方向一目了然.本文结合例题，对用作图法解决动态平衡问题的方法进行梳理.

1 矢量三角形法则

题型特点：

(1)物体受3个力的作用而处于平衡状态.

(2)3个力中有一力的大小、方向均不变(通常为重力，也可以是其他力)，另一个力的方向不变，第3个力的大小、方向均发生变化.

解题思路：

(1)明确研究对象.

(2)分析物体所受的力并根据共点力的平衡条件作出矢量三角形.

(3)在矢量三角形中找到变化的角，画出变化后的三角形.

(4)根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况.

【例1】如图1所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计摩擦，在此过程中( )

图1 例1题图

A．FN1始终减小，FN2始终增大

B．FN1始终减小，FN2始终减小

C．FN1先增大后减小，FN2始终减小

D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大

解析:对小球受力分析如图2所示，由平衡条件可知，3个力可构成闭合的矢量三角形，其中重力mg大小、方向均不变，FN1的方向始终不变，FN2与重力的夹角逐渐变小，通过作图可以看出，在此过程中FN1和FN2一直在减小，则选项B正确.

图2 小球受力分析

素养拓展1：水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0<μ<1).现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动.设F的方向与水平地面的夹角为θ，如图3所示，在θ从零逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则( )

图3 木箱受力方向分析

A．F先减小后增大 B．F一直增大

C．F一直减小 D．F先增大后减小

解析：对木箱受力分析如图4所示，木箱受4个力：重力、支持力、滑动摩擦力和拉力F，将支持力FN和滑动摩擦力Ff合成为一个力F合.其中重力mg大小、分向均不变，F合的方向保持不变，变化的力是F，作出矢量三角形，由图4可知，当θ从零逐渐增大到90°的过程中，F先减小后增大，选项A正确.

图4 木箱受力构成的矢量三角形

2 等腰三角形法则

题型特点：

(1)物体受3个力的作用而处于平衡状态.

(2)3个力中有一个力的大小、方向均不变，另两个力方向改变但大小始终相等.

解题思路：

(1)明确研究对象.

(2)分析物体所受的力并根据共点力的平衡条件作出等腰三角形.

(3)判断等腰三角形中顶角的变化情况，并画出变化后的三角形.

(4)根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况.

【例2】如图5所示．用钢筋弯成的支架，水平虚线MN的上端是半圆形，MN的下端笔直竖立．一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物G．现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从C点处沿支架缓慢地向最高点B靠近(C点与A点等高)，则绳中拉力( )

图5 例2题图

A．先变大后不变 B．先不变后变大

C．先不变后变小 D．保持不变

解析：滑轮受力如图6所示，将3个力首尾相接构成等腰三角形.由实际过程可知，等腰三角形的顶角先保持不变，然后减小，则绳中张力先保持不变，后逐渐减小，则选项C正确.

(a) (b)

素养拓展2：目前，我市每个社区均已配备了公共体育健身器材．如图7所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点．由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示，但两悬挂点仍等高．座椅静止时用F表示所受合力的大小，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比( )

A．F不变，F1变小 B．F不变，F1变大

C.F变小，F1变小 D．F变大，F1变大

(a) (b)

解析：座椅受力如图8所示，将3个力首尾相接构成等腰三角形.两根支架向内发生了稍小倾斜，则等腰三角形的顶角变小，绳中张力F1变小，由于座椅仍静止则所受合力F始终为零，选项A正确.

(a) (b)

3 相似三角形法则

题型特点：

(1)物体受3个力的作用而处于平衡状态.

(2)3个力中有一个力的大小、方向均不变，另两个力方向都在改变.

解题思路：

(1)明确研究对象.

(2)分析物体所受的力并根据共点力的平衡条件作出矢量三角形.

(3)在图中找到与矢量三角形相似的几何三角形，根据相似三角形的性质，建立比例关系，进行讨论.

【例3】半径为R的光滑球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图9所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的大小变化的情况是( )

图9 例3题图

A.变大，变小 B.变小，变大

C.变小，先变小后变大 D.不变，变小

(a) (b)

素养拓展3：如图11所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC.此过程中，杆BC所受的力N和拉力F的变化情况是( )

图11 拓展用图

A.大小不变 B.逐渐增大

C.逐渐减小 D.先增大后减小

解析：以B点为研究对象，受力分析并作出矢量三角形，可以看出矢量三角形与几何三角形ABC相似，则有

又T=G，使∠BCA缓慢变小时，边AC和BC保持不变，AB变小，则力N保持不变，F变小．

4 圆周图解法则

题型特点：

(1)物体受3个力的作用而处于平衡状态.

(2)其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的大小不变、方向改变，第3个力的大小、方向都改变.

解题思路：

(1)明确研究对象.

(2)分析物体的受力并作矢量三角形.

(3)以已知恒力的始端为圆心，以已知大小的变力为半径作圆，根据变化过程作出不同状态下力的矢量图，再根据有向线段的长度判断各个力的变化情况.

【例4】如图12所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M和N两个测力计通过细线拉橡皮条的端点，使其到达O点，此时α+β=90°，然后保持M的示数不变，而使α角减小，为保持端点位置不变，可采用的办法是( )

图12 例4题图

A．减小N的示数同时减小β角

B．减小N的示数同时增大β角

C．增大N的示数同时增大β角

D．增大N的示数同时减小β角

解析：以结点O为研究对象，受到3个拉力，如图13所示分别为FM，FN，F合，将3个力构成矢量三角形(如图所示的实线三角形)，以O为圆心，FM为半径作圆，需满足力F合大小、方向不变，角α减小，则动态矢量三角形如图中画出的一系列虚线表示的三角形.由此可知FN的示数减小同时β角减小，选项A正确.

图13 结点受力分析

5 巧用圆周角法则

题型特点：

(1)物体受3个力的作用而处于平衡状态.

(2)其中一个力的大小、方向均不变，另两个力之间的夹角保持不变.

解题思路：

(1)明确研究对象.

(2)分析物体的受力并作矢量三角形.

(3)作该矢量三角形的外接圆，根据变化过程作出不同状态下的力的矢量图，根据有向线段的长度判断各个力的变化情况.

【例5】如图14所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时沿顺时针方向转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变(α>90°)，物体保持静止状态.在旋转过程中，设绳OA的拉力为T1，绳OB的拉力为T2，则( )

图14 例5题图

A.T1先减小后增大 B.T1先增大后减小

C.T2逐渐减小 D.T2最终变为零

解析：如图15所示，以绳子结点O为研究对象，受到3根绳子的拉力，分别为T1，T2，T3，3个力构成矢量三角形CDE，作该矢量三角形CDE的外接圆，其中T1矢量箭头将始终落在圆周上.初始时刻，T2恰好为其外接圆的直径，当绳转过90°时，T2=0，故T2逐渐减小，T1先增大后减小.

(a) (b)

总之，巧解动态平衡问题的方法，就是将共点力的平衡条件、矢量运算法则以及数学中的几何图形知识相结合，使求解过程简洁明快、形象直观的方法，这种方法体现了应用数学知识处理物理问题的能力.