黏弹性岩体中圆形巷道位移反分析的唯一性研究

张志增，尹晨旭，刘晓丽，吴顺川，张 兵

(1.中原工学院建筑工程学院，河南 郑州 450007； 2.清华大学水利水电工程系，北京 100084； 3.昆明理工大学国土资源工程学院，云南 昆明 650093； 4.盾构及掘进技术国家重点实验室，河南 郑州 450001)

随着岩体稳定性分析数值计算方法越来越成熟，数值计算方面的误差不超过5%，影响稳定性分析结果的主要因素是力学参数的选取[1]。但是，岩体是经过漫长的时间演化出的极其复杂的地质体，不仅有尺寸效应，而且具有时间效应，想要获取准确的力学参数非常困难，参数获取不准已成为岩体力学理论分析和数值模拟的瓶颈问题[2]。常规的参数获取方法有原位试验法、实验室试样试验法和经验类比法，但各自具有其局限性[3-5]。大量研究表明，基于现场量测信息的位移反分析方法为确定岩体力学参数提供了一条新的途径[6-7]，并且在岩体工程的变形预测、施工反馈设计以及稳定性评价中发挥重要作用。从实现监控和预测预报的要求来看，与弹性和弹塑性反分析相比，有时间效应的黏弹性位移反分析具有更大的使用价值和应用前景[8-9]。

反分析的唯一性是位移反分析中最重要的理论问题之一，但至今国外学者尚未有相关论文发表，国内的相关论文也较少。吕爱钟等[10-11]推导了参数可辨识性条件，论证了地下洞室弹性位移反分析的多种唯一性问题，并指出某些问题无论安装多少个位移测点其反分析的结果都不是唯一的；张路青等[12]进一步研究考虑剪应力时弹性位移反分析的唯一性问题；YANG等[13]则利用几何作图法证明了图谱反分析的唯一性；张志增等[14-17]分析了横观各向同性岩体中圆形、椭圆形和复杂形状巷道位移反分析的唯一性。但以上文献均假设岩体为弹性的，没有考虑岩体的流变特性，尚未有文献对黏弹性岩体位移反分析的唯一性进行研究。因此，本文基于研究对黏弹性岩体中圆形巷道位移反分析的唯一性进行研究。

1 圆形巷道黏弹性解析解

图1 圆形巷道计算模型Fig.1 Calculation model of circular roadway

反分析唯一性研究的前提是位移解析解，因此首先要得到圆形巷道黏弹性位移解析解。若在弹性岩体中开挖水平圆形巷道，围岩的边界条件如图1所示，其径向位移[18]应满足式(1)。

ur=

(1)

式中：E为弹性模量；σ为竖直方向地应力；λ为侧压力系数；a为开挖巷道半径；μ为泊松比。

将其转换为K-G型参数式，可得式(2)。

(2)

Maxwell模型的本构方程见式(3)。

(3)

式中，η为黏滞系数。

黏弹性岩体本构方程的微分形式见式(4)。

f(D)σ=g(D)ε

(4)

对比Maxwell模型本构方程可得式(5)。

(5)

式中，τr=η/E。

对式(5)进行拉氏变换可得式(6)。

(6)

由蠕变柔量公式和广义蠕变柔量公式[19]可得式(7)和式(8)。

(7)

J2(t)=

(8)

相对于式(2)，对应黏弹性解为式(9)。

ur(t)=ArJ1(t)+BrJ2(t)

(9)

将Ar和Br代入式(9)可得式(10)。

(10)

若令t=0,则式(10)可退化为圆形巷道瞬时弹性位移解析解，与杨志法等[20]移解析解一致，这证明了本文黏弹性位移解析解推导的正确性。

式(10)中给出了黏弹性岩体的径向位移和σ、λ、E、η、μ这5个参数的关系，根据此关系利用参数可辨识条件进行位移反分析唯一性的探讨。

2 位移可辨识条件

吕爱钟[10]推导了位移反分析唯一性的参数可辨识条件：设fi为第i个位移输出值，βj为第j个要进行唯一性辨识的参数，则将fi关于βj的一阶导函数∂fi/∂βj定义为βj的灵敏系数。如果在测量范围内，所有待求参数的灵敏系数线性无关，则根据量测值可以同时唯一地辨识出所有待求参数；反之，如果待求参数的灵敏系数线性相关，则不能同时唯一地辨识出所有待求参数。

可根据式(11)进行判断参数的灵敏系数线性相关或线性无关。

(i=0,1,2,…,n)

(11)

式中：β1,β2,…,βm为要进行反分析的m个参数；n为测量点的数量，n≥m。

灵敏系数线性相关是指对于i=0,1,2,…,n,至少存在一个不等于0的Cj(j=0,1,2,…,m)使得式(11)成立。灵敏系数线性无关是指对于i=0,1,2,…,n,只有当Cj(j=0,1,2,…,m)都等于0时式(11)才成立。

3 位移反分析的唯一性

由式(10)可得到各参数的灵敏系数见式(12)～式(16)。

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

将各个灵敏系数代入参数可辨识条件，见式(17)。

(17)

整理得到式(18)。

(18)

若不考虑圆形巷道周围测量点布置的影响，即测量点的位置可以随意布置，式(18)中的r和θ为变量，则根据式(18)可以得到关于C1～C5的方程组，见式(19)。

(19)

方程组式(19)的系数矩阵见式(20)。

由矩阵式(20)可知，方程组的系数矩阵的秩R=3，即方程组最多可以求解出3个未知数，而方程组有5个未知数，根据参数可辨识条件，至少已知2个参数，才有可能唯一地反分析出其他参数。

为了更清晰地分析结果，对唯一性进行区分：条件唯一，绝对唯一和不唯一。条件唯一是指参数之间满足某个条件时，反分析才唯一；绝对唯一是指无论参数之间有何关系，反分析都唯一；不唯一是指无论参数之间有何关系，反分析都不唯一。

3.1 已知2个参数，反演另外3个参数

已知2个参数,反演另外3个参数时，有3个方程和3个未知数，通过示例说明分析过程。

1) 示例1：已知σ和λ这2个参数，反演E、η和μ这3个参数，此时∂ur/∂σ和∂ur/∂λ等于0，方程组式(19)中含有C1和C2的项为0，矩阵中剩下C3、C4和C5对应的3列见式(21)。

当系数矩阵的秩R<3时，方程组式(19)有非0解，待求参数的灵敏系数线性相关，反分析不唯一；当系数矩阵的秩R=3时，方程组式(19)只有0解，待求参数的灵敏系数线性无关，反分析唯一。对于矩阵(21)，其秩R=2，因此示例1反分析不唯一。

2) 示例2：已知η和E这2个参数，反演λ、σ和μ这3个参数，此时∂ur/∂η和∂ur/∂E等于0，方程组式中含有C3和C4的项为0，矩阵中剩下C1、C2和C5对应的3列见式(22)。

(22)

对于矩阵式(22)，其秩为R=3，因此示例2反分析绝对唯一。

3) 示例3：已知σ和E这2个参数，反演λ、η和μ这3个参数，此时∂ur/∂σ和∂ur/∂E等于0，方程组式中含有C1和C3的项为0，矩阵中剩下C2、C4和C5对应的3列见式(23)。

(23)

对于矩阵式(23)，当σ=0时，求得其秩为R=0，反分析不唯一，当σ≠0时，其秩R=3，反分析唯一,因此示例3反分析条件唯一。

由表1和表2可知：①在表1中所列的10种情况中，反分析不唯一的情况有4种，条件唯一的情况有3种，绝对唯一的情况有3种；②参数σ是否为0对反分析的唯一性影响明显，当σ作为已知参数且为0时，反分析不唯一，σ≠0时反分析唯一；③表2反映了各个参数的可辨识性顺序，其中参数λ的可辨识性最好，σ次之，μ、η和E最差。

表1 已知2个参数时的反分析唯一性Table 1 Back analysis of uniqueness for the case of 2 known parameters

续表1

表2 已知2个参数时的反分析结果统计Table 2 Statistics of back analysis results for the case of 2 known parameters

3.2 已知3个参数，反演另外2个参数

已知3个参数，反演另外2个参数时，有2个未知数和3个方程，通过示例说明分析过程。

1) 示例4：已知σ、λ和E这3个参数，反演η和μ这2个参数，此时∂ur/∂σ、∂ur/∂λ和∂ur/∂E等于0，方程中式(19)含有C1、C2和C3的项为0，矩阵剩下C4和C5对应的2列见式(24)。

当系数矩阵的秩R<2时，方程组式(19)有非0解，待求参数的灵敏系数线性相关，反分析不唯一；当系数矩阵的秩R=2时，方程组式(19)只有0解，待求参数的灵敏系数线性无关，反分析唯一。对于矩阵式(24)，当侧压力系数λ≠1且地应力σ≠0时，矩阵的秩为R=2，反分析唯一；当λ=1时，矩阵的秩R=1，反分析不唯一；σ=0时，矩阵的秩R=0，反分析不唯一,因此，示例4条件唯一。

(24)

2) 示例5：已知E、η和μ这3个参数，反演σ和λ这2个参数，此时∂ur/∂E、∂ur/∂η和∂ur/∂μ等于0，方程组式(19)含有C3、C4和C5的项为0，矩阵剩下C1和C2对应的2列见式(25)。

(25)

对于矩阵式(25)，其秩为R=2,因此，示例5反分析绝对唯一。

由表3和表4可知：①在表3中所列的10种情况中，反分析绝对唯一的情况有1种，条件唯一的情况有9种，没有不唯一的情况；②参数λ是否为1和参数σ是否为0对反分析的唯一性影响明显，当λ作为已知参数且为1时，反分析不唯一，λ≠1时反分析唯一，当σ作为已知参数且为0时，反分析不唯一，σ≠0时反分析唯一；③表4反映了各个参数的可辨识性顺序，其中参数σ和λ的可辨识性最好，参数E、η和μ可辨识性次之。

表3 已知3个参数时的反分析唯一性Table 3 Back analysis of uniqueness for the case of 3 known parameters

表4 已知3个参数时的反分析结果统计Table 4 Statistics of back analysis results for the case of 3 known parameters

3.3 已知4个参数，反演另外1个参数

已知4个参数，反演另外1个参数时，有1个未知数和3个方程，通过示例说明分析过程。

1) 示例6：假设已知σ、λ、E和η这4个参数，反演μ这1个参数，此时，∂ur/∂σ、∂ur/∂λ、∂ur/∂E和∂ur/∂η等于0，方程组式(19)中含有C1、C2、C3和C4的项为0，矩阵式(20)中只剩下C5对应的1列见式(26)。

当系数矩阵的秩R<1时，方程组式有非0解，待求参数的灵敏系数线性相关，反分析不唯一；当系数矩阵的秩R=1时，方程组式只有0解，待求参数的灵敏系数线性无关，反分析唯一。对于矩阵式(26)，当σ=0时，其秩为R=0，反分析不唯一，当λ=1时，其秩为R=0，当σ≠0且λ≠1时，其秩R=1，反分析唯一，因此示例6反分析条件唯一。

2) 示例7：假设已知λ、E、η和μ这4个参数，反演σ这1个参数，此时∂ur/∂λ、∂ur/∂E、∂ur/∂η和∂ur/∂μ等于0，方程组式中含有C2、C3、C4和C5的项为0，矩阵中只剩下C1对应的1列见式(27)。

(27)

对于矩阵式(27)，其秩R=1，因此示例7反分析绝对唯一。

由表5和表6可知：①在表5中所列的5种情况中，绝对唯一的情况有1种，条件唯一的情况有4种，没有不唯一的情况；②参数λ是否为1和参数σ是否为0对反分析的唯一性影响明显，当λ作为已知参数且为1时，反分析不唯一，λ≠1时反分析唯一，当σ作为已知参数且为0时，反分析不唯一，σ≠0时反分析唯一；③参数σ可辨识性最好，λ、E、η和μ次之。

表5 已知4个参数时的反分析唯一性Table 5 Back analysis of uniqueness for the case of 4 known parameters

表6 已知4个参数时的反分析结果统计Table 6 Statistics of back analysis results for the case of 4 known parameters

4 工程实例

已知一个开挖均质岩体的圆形巷道，假定岩体力学性质可用Maxwell模型表示，已知参数为η=1017p，a=2 m，r=2 m，σ=20 MPa，E=900 MPa，λ=6，μ=0.3。已知3个测点C1(2,0°)、C2(2,60°)、C3(2,90°)的位置如图2所示。在不同时刻，不同测点的位移实测值见表7。

图2 圆形巷道的测点布置Fig.2 Measuring point arrangement of circular roadway

1) 实例1：根据位移实测值反演E，并与实际值作比较。由表5可知，已知σ、λ、η、μ这4个参数且σ≠0、λ≠1时可以唯一地反分析出参数E。把已知参数和t=6 h时的位移实测值代入到式(10)，结果见表8。由表8可知，反演出的E与已知参数误差在0.05%以内。

表7 各测点在不同时刻的位移实测值Table 7 Measured displacement values of each measuring point at different times

表8 岩体参数E的反演结果Table 8 Results of displacement back analysis for parameter E

2) 实例2：根据位移实测值反演参数E、σ、η，并与实际值作比较。由表1可知，已知λ、μ不能唯一地反分析出参数E、σ、η。把位移实测值和已知参数代入式(10)，得到式(28)。式(28)无解或有多解，说明不能唯一地反分析出参数，与表1结果一致。由此可知反演结果能够比较准确地反映岩体的实际参数，可以用来指导工程设计和计算。

(28)

5 结 论

1) 无论布置多少测点都不能唯一地反分析出所有的5个参数，必须在已知2个参数的前提下，才有可能唯一地反分析出其他的参数，并分3种类别分别讨论了反分析的唯一性。

2) 已知2个参数时，地应力σ是否为0对反分析唯一性影响明显；当σ为已知参数且为0时，反分析不唯一，侧压力系数λ是否为1对反分析唯一性没有影响。当已知参数为3个及以上时，侧压力系数λ是否为1和地应力σ是否为0对反分析唯一性影响明显；当λ和σ为已知参数且λ为1或σ为0时，反分析不唯一。

3) 随着已知参数的增多，参数的可辨识性增强；总体来看，地应力σ和侧压力系数λ的可辨识性最好，E、μ和η次之。