农业机械中势能法求解渐开线直齿圆柱齿轮啮合刚度研究

潘彦江

（定西中医药科技中等专业学校，甘肃 定西 748100）

0 引言

农业机械设计中应用势能法求解渐开线直齿轮啮合刚度，能提高农机产品中的科技含量，降低生产成本，提高生产效率，是推进农业机械设计更加规范、科学智能的有效措施。因此，如何在农业机械设计中合理应用势能法求解渐开线直齿轮啮合刚度，是大部分研究人员关注的问题，以有效提高农业机械生产力[1]。

齿轮传动作为机械传动的关键构成部分，在传送运动和力的过程中起着重要作用。因齿轮传动具有传动效率高、结构紧凑、运行安全可靠、使用周期长、传动比稳定等优点，广泛应用于农业机械的生产加工中。齿轮传动系统是农业机器的主要构成部分，齿轮传动系统优劣决定着机器是否可正常运行以及运转成本的高低，随着科技的不断发展，设计者对齿轮进行静态分析的同时不断延伸到动态力学研究，使齿轮传动系统具有更高的承载能力、传动性能稳定、抗冲击能力强，因此，在原有对齿轮失效形式分析、刚度及疲劳强度计算与校验的基础上，有必要进行齿轮啮合刚度计算[2-3]。

由于齿轮在啮合传动时处于单双齿交替进行，使得啮合刚度也会随之产生变化，而这种变化是有规律的，可以视为周期性变化。这种刚度的周期性变化也是齿轮产生振动与噪声的主要原因，为了减少对其的影响，有必要对其啮合过程中的刚度进行计算，以减少齿轮啮合刚度的平均值，从而尽可能避免此现象的产生。

直齿圆柱齿轮作为齿轮的重要形式，由于具有传动平稳、较低的冲击和噪声、重合度大、承载能力强等优点，被广泛应用于高速和大功率的齿轮传动中，并起到传递运动和动力的作用。其缺点是在其传动的过程中齿面间会产生轴向推力，使得齿轮传动不稳定，产生振动，因此有必要对其进行刚度啮合计算。

在齿轮啮合传动时，其时变啮合刚度作为齿轮动力学模型关键参数的一部分，也是一种重要的动态激励来源，因此，如何准确计算齿轮啮合刚度非常重要。而直齿圆柱齿轮一般采用势能法对其啮合刚度进行研究，其优点在于能够将齿轮简化视作悬臂梁模型来进行准确分析，可以计算出在啮合过程中刚度的变化，又可以考虑其受力及其环境等因素的变化影响，相比于其他的分析方法有很大优势。

1 研究现状

现阶段，农业机械设计中渐开线直齿圆柱齿轮啮合刚度研究，基本还在沿用传统的设计理念，在设计手段和方法上无法与农业机械现有作业环境相匹配，并且形成的完整理论体系较少，大多都是定性理论，设计计算通常需要使用类比法。农业机械产品呈现出特殊性主要是由于设计方式老套、设计时间长、生产成本高。在农业机械产品设计中，需要注意机械齿轮啮合的应力与变形，使其对产品的强度与刚度进行设计计算时提供相关可靠数据。

虽然国内外学者以齿轮啮合为主题的研究文献较多，但是大多数关注点集中在齿轮啮合结构、原理、过程等分析方面，对其啮合刚度的计算比较少。近年来，大多数研究者以分析研究为主，对于齿轮啮合刚度计算的研究的落脚点主要集中在直齿圆柱齿轮上，具有以下不足：1）研究方法不够深入。对于直齿圆柱齿轮的研究方法主要运用传统的方法，未能将现有的直齿圆柱齿轮啮合公式进一步推导创新。2）研究方法复杂。现有的方法进行直齿圆柱齿轮啮合刚度计算需要进行复杂的受力分析，计算量比较大，误差大，需要花费大量的时间。3）研究未能形成系统化。通过查阅资料可知，对于直齿圆柱齿轮的研究不够系统化，可供查阅参考资料很少，而直齿圆柱齿轮的研究不够系统集中，虽有少量的关于啮合时刚度计算的研究，但对于不同参数变化对啮合刚度影响的研究比较少。

国外专家对于齿轮啮合刚度计算的研究可以划分为简单表达式推导、有限元分析法理论和简化波方法推理。但通过势能法来研究齿轮啮合刚度计算的较少，而势能法是以Fakher Cheari列出的解析法为基础，YANG 等从能量变化角度而推导出的，经常用于对齿轮发生故障时的时变啮合刚度进行计算。势能法经过Tian 的创新，可以快速计算出齿轮啮合时的刚度，其结果与ITSO所提供的相一致[4]。

2 研究方法

2.1 文献研究法

通过查找、收集和整理相关文献，了解和掌握了齿轮动力学的理论基础、研究进展和研究现状以及未来研究的方向，并结合国内外相关文献，分析各种类型的齿轮啮合刚度计算方法，多角度、宽领域、系统性地探讨齿轮啮合的刚度计算。本研究共收集多篇参考文献，文献以论文为主，同时也涉及书籍、期刊，所收集的文献主要涉及农业机械中齿轮动力学基础、啮合原理、齿轮啮合的刚度计算等内容。

2.2 材料力学法

材料力学法作为固体力学的一个重要分支，主要运用于机械零部件的承载能力分析，其主要任务是将机械零部件转化为结构简单的维杆件，从而有利于简化研究分析，为机械零部件的设计制造提供理论数据基础。本研究中将直齿圆柱齿轮简化为悬臂梁模型，进行载荷受力分析，并利用现有的直齿圆柱齿轮啮合刚度计算公式进行创新改进，运用相应的方法推导出适合于农业机械生产过程的齿轮啮合刚度计算公式，进行分析处理。

3 直齿圆柱齿轮啮合原理分析

3.1 直齿圆柱齿轮正确啮合条件

为进一步研究直齿圆柱齿轮啮合过程以及刚度，笔者以果树育苗机为例应用势能法计算出圆柱齿轮啮合刚度。根据相关文献可知，齿轮齿廓啮合的过程中，要使两齿轮达到正确的啮合，则其瞬时传动比需为一常数，其节点P需定为一定点。

要使齿轮进行传动，则需使齿轮的每一个齿处于啮合的状态。一对或多对齿轮进行啮合传动时，则需使处于啮合线上的各个轮副都处于啮合状态，如图1 所示。轮1 为主动轮，轮2 为从动轮，当主动轮1的轮齿根渐开线与从动轮2 的轮齿顶渐开线在啮合线上C1点进行接触时，表明此齿轮进入啮合状态，而C1称为初始啮合点。同理，在齿轮进行传动过程中，当主动轮1 的轮齿顶渐开线与从动轮2 的轮齿根渐开线在啮合线上C2点进行接触时，表明此齿轮退出啮合，C2点表示啮合终止点。由此可知，是齿轮处于啮合中实际经过的轨迹，称为实际啮合线，则表示理论啮合线。

图1 直齿圆柱齿轮啮合传动

在齿轮传动的过程中，要使一对齿轮进行正确的啮合，则需要使其传动比固定，即两齿轮的法向齿距相等。其正确啮合的条件为：

式中，m1、m2为齿轮1、2 的模数，α1、α2为齿轮1、2 的压力角。由式（2）可得齿轮啮合的条件应为：

3.2 直齿圆柱齿轮啮合传动特点

一对或者多对齿轮进行啮合传动时，具有以下特点：1）瞬时传动比保持恒定不变。如图1 所示，当齿轮处于啮合传动过程中，经过任意啮合点做两齿廓的公法线，它一定与两齿轮基圆相内切，由于其内切线只有一条且过齿轮啮合传动时节点P，因此，其瞬时传动比保持不变[5]。2）齿轮啮合线为一条直线。由图1 可知，为啮合线，它是由齿轮啮合的轨迹所组成的，其作用力的方向始终沿着公法线的方向，齿面间作用力的大小也保持不变，这就可以使齿轮进行平稳的传动。3）齿轮啮合传动重合度。当齿轮处于啮合传动时，之前的齿轮在C1点退出啮合的同时，之后的齿轮在C2点开始啮合，这就使得实际啮合线的长度大于等于法向齿距，因此，重合度也相应≥1。

4 直齿圆柱齿轮啮合刚度计算

4.1 直齿圆柱齿轮啮合刚度计算模型建立

在齿轮副传动系统中，因为齿轮的啮合是相互交替进行，而造成齿轮传动过程中产生的形变是处于周期性变化的，在此期间发生的扭转和振动也是由于单双齿啮合交替所造成的。因此，有必要对齿轮啮合的刚度变化进行计算。

通过查找文献可知，运用势能法计算齿轮啮合刚度的过程中总势能是由剪切势能Us、弯曲势能Ub、轴向压缩势能Ua、赫兹势能Uh这四部分构成，将齿轮简化为悬臂梁模型，并运用材料力学和弹性力学的知识可以演变出剪切刚度ks、弯曲刚度kb、压缩刚度ka、赫兹刚度kh的表达式：

式中，F为齿轮传动时位于啮合点处的作用力[6]，其方向沿着的方向，且可将F沿轴向和径向分解为轴向力Fa和切向力Fb，其表达式为：

式（5）～（8）中，E表示杨氏弹性模量，G是剪切模量，Ix表示啮合点处距离基圆x处的轮齿之间的惯性矩，Ax表示该处的横截面积，h表示啮合点处到轮齿对称中心线的长度，d表示的是啮合点到齿轮齿根圆的长度，根据相关文献可知：

式中，v为泊松比，L是齿轮的面齿宽度，rb表示基圆半径，α2是齿顶圆处所对应的压力角，其表达式为：

其中，z为齿轮的齿数。

由图2中的几何关系可知：

图2 直齿圆柱齿轮受力图

则dx可以表示为：

4.2 直齿圆柱齿轮啮合刚度计算模型求解

联立以上公式，经过推导变形可以得出直齿圆柱齿轮相应的刚度表达式：

根据以上公式则可求出一对齿轮在啮合传动中所储存的总势能为：

又有啮合过程中各个势能与刚度之间的相互关系式，其总势能可表示为：

式中，1 与2 分别表示一对齿轮啮合过程中的主动轮和从动轮[7]，由上式可知齿轮啮合过程的总刚度k可变换为：

由上式可求得一对齿轮的啮合刚度，但是结果与实际值偏大，由于齿轮在啮合的过程中存在着由角挠度所引起的变形，则齿基刚度可表示为：

L*、P*、M*、Q*所代表的含义及具体计算公式见文献[8]，uf、sf之间的关系如图3 所示。

图3 齿基刚度几何参数图

对于重合度的齿轮啮合来说，在齿轮传动的过程中，在一个传动周期内可能同时存在多对齿轮的啮合，其啮合的总刚度为：

上式，1 和2 分别表示齿轮啮合时的主从动轮，而n反映的是在齿轮传动时同时处于啮合状态的轮齿对数[9]。

5 结束语

综上所述，笔者通过结合材料力学、弹性力学以及齿轮动力学的相关知识，运用势能法求解出了直齿轮的啮合刚度，并在此基础上进一步研究分析，进行了一系列推导研究，以此确保农机产品的设计质量和效率，为其后续工作夯实基础[10]。另外，在农业机械设计中有效融合先进设计理念，能够从虚拟机分析、评估、检测、改造等环节入手，对农机产品的使用性能进行严格把关，将农业机械产品的研发时长缩短，并降低研发成本。