翻转课堂在高等数学教学中的研究——以“旋转体的体积”为例

曾玲莉，任苗苗

（西北大学 数学学院，陕西西安 710127）

1 传统高等数学教学现状及问题

高等数学是很多高校开设的一门重要的公共基础课，对理工科学生专业课程的学习影响较大。高等数学课程涉及的概念抽象、定理及性质逻辑推导强，学生在理解概念、实现定理应用、计算过程中有很大的困难。

（1）由于高等数学自身课程特点，使得部分学生的学习积极性不高，学习动力不足。首先，高等数学课程面向的是本科一年级的学生，他们的水平参差不齐，数学基础和能力相差很大。再加之，高等数学的课程内容多、繁杂而且抽象，这对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力要求更高。一些学生原本初等数学的基础就差，进入大学后，没有任课教师的随时督促，课前不预习，上课对于课程内容的理解不到位，听不懂，课后又不复习。时间长了就会使学生的学习积极性与自信心下降[1]。其次，高等数学的内容大多是理论推导，内容枯燥、乏味，很容易使学生缺乏学习兴趣。再次，高等数学是一门公共课，面向的不是数学专业的学生，本课程内容在他们专业课程中的应用会相对滞后，这样学生不会立刻体会高数课程的重要性，这些都影响了学习的积极性[2]。最后，教师在课堂上更多的是对高数的基本知识与理论进行传播，对于作业的反馈以及学生的推理、解题能力等方面基本没有时间指导。而学生在课下自觉学习的积极性又不足，从而导致对基本知识掌握得不好，会对高等数学后期课程的学习有一定影响。

（2）课堂的引导者——教师的综合教学能力也有待提高。高等数学涉及的内容多，需要的课时长，大多数教师把精力投入到知识点的讲解上，很难既完成教学任务，又充分调动学生积极性，未能及时反馈学生的问题，课堂很容易沉闷[3]。同时，高等数学教师的数学基础知识很扎实，理论推导逻辑性强，但与其他专业课程的联系与应用了解甚少，不能很好地让学生体会高等数学这门课在学生各专业中的应用，从而不能充分感受高等数学的重要性，学习积极性不高。

（3）教学评价有待完善。高等数学课程传统的考评方式就是期中考试与期末考试。很多学生平时不认真学习，作业应付，等到临近考试的前两周，临时抱佛脚，导致知识点不理解，内容不易消化，挂科率高。这种只体现终结性结果的考评方式，不利于督促学生平时的学习，以及学习兴趣和参与课堂活动积极性的提高。

2 采用翻转课堂教学模式的意义

高等数学教学现状和问题，使我们意识到传统的高等数学教学方式有很多需要改进的地方。如何调动学生的学习积极性，把要我学变成我要学、我爱学；如何把枯燥、沉闷的课堂，变成学生积极参与、主动分享的活跃课堂，是解决问题的关键所在。而翻转课堂教学模式可以很好地解决以上问题，弥补传统教学的不足。

翻转课堂是指课前教师录制教学视频或者提供优质教学资源，学生提前在相关教学平台上自主学习，自主探索。课堂上，通过师生互动、小组合作等多种教学形式，循序渐进地传授教学内容，实现知识点内化[4]。这是一种“课前学习、课上互动解决问题”的教学模式，它翻转了传统教学的“课上授课、课下作业”的教学模式[5]。上课前，将所讲内容涉及的知识储备，以微视频的方式上传至雨课堂或超星学习通等教学平台，供学生课前观看，课堂上让学生分享讨论，充分参与互动，解决课前自主学习部分的遗留问题，且将内容进行延伸拓展，避免传统教学单一、乏味的课堂氛围，真正实现以学生为中心，让其主动学、热爱学。

3 翻转课堂在高等数学课程教学中的实例应用——“旋转体的体积”

高等数学的教学内容多，课程学时长，下面以“旋转体的体积”为例进行详细讲解，阐述翻转课堂在高等数学教学过程中的具体应用。

3.1 准备阶段

这个阶段教师要确定教学目标、优化教学内容、设计教学资源。

（1）确定教学目标。考虑到学生对“旋转体”在中学阶段的认知水平，以及已学习的定积分的概念和基本运算，将本节课的教学目标定为：

知识目标：①理解微元法的基本思想；②掌握旋转体体积的计算。

能力目标：①培养学生几何观察能力、从特殊到一般的逻辑分析能力以及总结归纳能力；②提升自主学习，合作探索的能力。

情感目标：①通过我国的航天探月工程，增强学生爱国主义情怀；②揭示微元法本质，培养学生唯物辩证主义思想。

（2）优化教学内容。除了教材要求的基本教学内容：会求旋转轴为X 轴、Y 轴时旋转体的体积。我们还将教学内容进行了拓展，探讨旋转轴不是坐标轴，但平行于坐标轴的情形。以及旋转轴为任意一条直线时的情形。同时会适当融入思政育人元素。

（3）设计教学资源。根据教学目标及内容设计好辅助视频资源以及练习题、思考题。

3.2 课前学习资源、自主探索

课前，教师将神舟十三号载人飞船发射视频以及课程相关微视频上传至超星学习通的资源库，请学生课前观看。并回答以下问题：

（1）航天设备的构成部分，大多数是什么几何体？

（2）旋转体的定义是什么？请查阅资料。

（3）你知道的计算体积的方法有哪些？

（4）旋转体的体积该如何求解？提示：微元法。

设计意图：对祖国航天事业的关注，增强学生爱国主义情怀。同时，设计以上层层递进的问题，翻转课堂，让学生主动学习、自主探索，用问题驱动提高学生学习积极性。

3.3 课中生生合作、师生互动

有了课前的准备，翻转课堂的课中教学活动我们这样设计。

（1）分享交流。让学生分享观看神舟十三号发射视频的感受，活跃课堂气氛。

（2）知识再现。针对第二部分的问题：什么是旋转体，什么是微元法？学生在课前已经进行自我探索，有了初步答案，教师在课堂教学过程中要重现知识点，但是时间不宜长，提纲挈领即可。

（3）小组合作。将学生进行分组，要求循序渐进，紧扣教学内容的问题：

①问题一：旋转轴为x 轴时，旋转体体积的计算公式？

②问题二：旋转轴为y 轴时，旋转体体积的计算公式？

③问题三：旋转轴平行于坐标轴时，旋转体体积的计算公式？

让学生通过小组协作，分工合作，共同探讨完成目标任务。这个过程可以让学生对课前自我探索部分进行反馈，小组交流合作解决之前遇到的问题，深入思考，提高发现问题、解决问题以及自主创新的能力。教师也将参与小组的讨论，对正确的思路方法予以肯定，对存在的问题及时指正、反馈，循序渐进地引导和启发学生探究每种情形下旋转体体积的计算公式。

（4）GeoGebra 绘图，实践操作。

针对旋转体这个特殊的几何研究对象，本节课还有一个创新点，就是利用GeoGebra 软件绘制几何动图（见图1），这些动图可以帮助学生更直观地理解旋转体的形成过程，激发他们的学习兴趣。而且，教师不只是提供这些动图，还让学生参与其中，指导学生自己动手操作，完成绘图。这样的课堂真正实现了让学生动起来、让课堂活起来的以学生为中心的教学理念。

图1 旋转体演示图

（5）互评自评，教师总评。

小组合作得到讨论结果后，进行生生点评，包括小组与小组之间的互评和组内自评。最后，教师根据点评结果进行总评以及课堂总结。并适当引入思政元素：求解旋转体体积用的微元法，蕴含唯物辩证法的两大规律，对立统一规律与量变质变规律。

设计意图：翻转课堂的优势是让学生课前自主学习，延伸有效的学习时间，这样教师在课堂教学过程中，就可以有针对性地进行讲解，提高教学效果。而且，教师有更充裕的时间组织各种丰富多彩的教学活动，调动学生的学习积极性，提高他们解决问题的能力及创新实践的能力。同时，适当融入思政元素，提高学生辩证的哲学思想。

3.4 课后拓展延伸、教学评价

课后留一道开放性的思考题：旋转轴不平行于坐标轴时，旋转体体积的如何计算？鼓励大家查阅资料，实现网络学习。

教学评价，我们采用的是多维多元过程性评价和定性定量终结性评价相结合的方式[6]。其中过程性评价包括：主题分享，课堂讨论，随堂测试，课后作业。主题分享与课堂讨论更能体现学生对课堂活动的参与度，所以占比会相对高一点。终结性评价指的是期中与期末考试。

4 教学反馈

目前，教学团队在高等数学课程中应用翻转课程的教学方式已有两年。经过对我校2020 级和2021 级两届学生的实践，发现学生高等数学的学习成绩有很大提升，优秀率比改革前平均增加5%，不及格率下降10%。同时，学生学习兴趣提高，不但出勤率、抬头率增加，而且参与课堂活动的积极性也显著增加。最后，创新实践能力加强。很多理工科的学生都积极参加全国大学生数学建模竞赛，并且取得优异成绩。

5 结语

高等数学课程的传统教学模式存在很多问题，翻转课堂教学方式是对传统课堂教学的有益变革，可以有效弥补传统教学模式的不足。实践证明，采用课堂翻转教学模式，合理利用网络资源，精心设计让学生动起来、让课堂活起来的教学过程，可以很好地提高学生的学习积极性，加强创新实践能力培养。教师把握翻转课堂的精髓，坚持以学生为中心的教学理念，能够提高高等数学教学质量，促进学生的全面可持续发展。