巧解绳牵连系统的运动问题

方照明 张文理

(南京师范大学附属中学，江苏 南京 210003)

绳牵连系统的运动问题是高中物理中的一类典型问题，主要涉及通过轻绳连接的多个物体的运动学和动力学规律。绳牵连系统的运动问题的难点在于涉及多个物体的运动和受力情况，需先假设物体的速度大小和方向，将速度沿绳和垂直于绳的方向进行分解，对物体运用动量定理，结合沿绳方向速度相等的约束条件，列出多个方程，涉及的未知数较多，求解过程复杂，对学生的思维缜密性和数学运算能力要求较高。本文介绍绳牵连系统运动问题的一种简单分析方法，解决问题时围绕“沿绳方向速度相等”这一条件展开，涉及的方程数明显减少，过程更加简洁，方法的普适性和拓展性较强。学生掌握了分析问题的关键，为研究更为复杂的问题提供了参考。

1 单牵连基础模型分析

通过轻绳相连的两个物体组成系统，给其中某一物体一个瞬时冲量，研究另一物体的运动情况。

例1：如图1所示，两个质量均为m的小球，用已拉紧的不可伸长的轻绳互相连接，放在光滑的水平桌面上，若突然给小球1一个水平的瞬时冲量I，冲量I与小球1、2连线的夹角为α=60°，求小球2开始运动时的速度。

图1

1.1 常规思路

1.2 巧解思路

2 多物体开放式绳牵连问题

通过轻绳依次相连的3个或3个以上的物体组成系统，首尾两物体不闭合，给其中某物体一个瞬时冲量，研究其他物体的运动情况。

例2：如图2所示，4个质量均为m的小球，用已拉紧的不可伸长的轻绳互相连接，放在光滑的水平桌面上，α=60°，若给小球1一个沿着小球2、1 连线方向的冲量I，求小球4刚开始运动时的速度。

图2

2.1 常规思路

如图3所示，设小球1和2间、小球2和3间、小球3和4间的轻绳产生的冲量大小分别为I1、I2和I3，球1、2、3和4的瞬时速度分别为v1、v2、v3和v4，其中v2与小球1和2连线的夹角为β、v3与小球2和3连线的夹角为γ。根据动量定理，对于球1有：I-I1=mv1；对于球2有：I1-I2cosα=mv2cosβ，I2sinα=mv2sinβ；对于球3有：I2-I3cosα=mv3cosγ，I3sinα=mv3sinγ；对于球4有：I3=mv4。根据沿绳方向速度相等的约束条件，沿小球1、2连线方向上有：v1=v2cosβ，沿小球2、3连线方向上有：v2cos (β+α)=v3cosγ，沿小球3、4连线方向上有：v3cos (γ+α)=v4。

图3

分析：(1) 4个小球刚开始运动时，绳子恰好被拉直，绳子的位置不变；(2) 小球1受到的力产生两个共线的冲量，小球4受到的力产生一个冲量，两者速度方向沿绳方向。小球2、3受到的力产生两个不共线的冲量，可对小球2、3分方向运用动量定理；(3) 由于3段轻绳不可伸长，小球沿绳方向速度相等，可得到三个约束关系。[1]

2.2 巧解思路

为简化上述分析过程 ，我们尝试运用“沿绳方向速度相等”这一条件展开分析，具体如下。

图4

分析：(1) 在以上求解中没有分析4个小球的实际速度，利用动量定理，直接写出小球沿绳方向的分速度表达式；(2) 由于3段绳不可伸长，每段绳两端小球沿该绳的分速度大小相等。通过以上处理，所列方程中涉及的未知量数量大为减少，计算简便。

3 多物体闭合式绳牵连问题

通过轻绳依次相连的3个或3个以上的物体组成系统，首尾闭合，给其中某物体一个瞬时冲量，研究其他物体的运动情况。

图5

3.1 常规思路

如图6所示，设AD和DC绳中力产生的冲量大小分别为I1和I2，D和C质点的瞬时速度分别为vD和vC，其中vD可正交分解为vD1和vD2。 根据动量定理，对于质点C有：2I2cosα=mvC；对于质点D有：I1cosα-I2cosα=mvD1，I1sinα+I2sinα=mvD2。

图6

根据沿绳方向速度相等的约束条件，沿AD绳方向上有：vcosα=vD1cosα+vD2sinα；沿DC绳方向上有：vCcosα=vD1cosα-vD2sinα。

分析：(1) 根据对称性，质点B和D的速度大小相同，即有vD1=vB1和vD2=vB2，绳AD和AB中力产生的冲量都为I1，绳DC和BC中力产生的冲量都为I2；(2) 对4个质点分方向运用动量定理，由于AD和DC两段绳不可伸长，质点沿两绳方向的速度分量相同，可找到两个约束关系。

3.2 巧解思路

为简化上述分析过程，笔者尝试抓住“沿绳方向速度相等”这一条件展开分析。

图7

分析：(1) 根据对称性，绳AD和AB中力产生的冲量都为I1，绳DC和BC中力产生的冲量都为I2，质点D、B的运动情况一样，可以只分析3个质点；(2) 根据动量定理，可写出3个质点沿绳方向分速度的方程；(3) 由于绳不可伸长，每段绳两端的质点沿绳方向上的分速度相等。[2]通过以上处理，所列方程中涉及的未知量数量大为减少，计算简便。

4 结语

在平时的教学中，对于同一类问题采用不同的解决思路，有利于拓宽学生的思维和视野，帮助学生抓住问题情境的本质。对于绳牵连系统的运动问题的研究，笔者通过围绕“沿绳方向速度相等”这一条件展开，极大简化了问题解决的步骤，降低了运算量，在实际教学中，笔者发现学生对“沿绳方向速度相等”的分析思路更容易理解，且能很快地运用这种方法解决更复杂的问题。