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图的Aα-谱半径与平均度之差的上(下)界*

2022-05-10陈鸿章李建喜涂东鑫

关键词:上界下界特征向量

陈鸿章,李建喜,涂东鑫

(闽南师范大学 数学与统计学院,福建 漳州 363000)

1 引言

设A(G)和D(G)分别为图G的邻接矩阵和度对角矩阵,图的无符号拉普拉斯矩阵定义为Q(G)=D(G)+A(G).对于任意的α∈[0,1],Nikiforov在文献[2]中给出了如下Aα-矩阵的定义:

Aα(G)=αD(G)+(1-α)A(G).

显然,

由于Aα(G)是实对称矩阵,故Aα(G)的所有特征值都是实数.把Aα(G)的特征值按非增顺序排列为λ1(Aα(G))≥λ2(Aα(G))≥…≥λn(Aα(G)).同时,Aα(G)的最大特征值λ1(Aα(G))称为图G的Aα-谱半径,记为ρα(G).

被称为图G的度数偏差.Nikiforov在文献[4]中对ε(G)与s(G)之间的关系进行了研究,建立了两者之间的关系式.更多关于图的不正则性的度量方面的研究可参见文献[6].值得注意的是Nikiforov在文献[4]中建立了如下ε(G)与s(G)的关系不等式:

最近, Ji等人在文献[7]中将上述结果推广到图的Aα-矩阵的谱上,得到了如下结论.

定理1.1 设G为G(n,m)中的一个图, 那么对于α∈[0,1),有

定理1.2 设G为G(n,m)中的一个图,那么对于α∈[0,1),有

(2) 注意到, 在α∈[0,1)时,对比定理1.1和1.2上下界有以下情况.

上界:注意到当α∈[0,1)时,α2≤2α-α2,故定理1.2的上界优于定理1.1的上界.

下界:注意到当α∈[0,1)时,α2·2m△≤α2n△2≤(2α-α2)n△2,故定理1.2的下界要优于定理1.1的下界.

2 预备知识

在本节中,我们将列出下述引理,其对证明定理1.2有至关重要的作用.

对于n阶的实对称矩阵N,把其特征值按非增顺序排列为λ1(N)≥…≥λn(N).以下引理中的第一个是Weyl矩阵谱理论的经典结果, 适用于更一般的Hermitian矩阵.

引理2.1([8]) 设A和B是两个n阶的实对称矩阵,其特征值按非递增顺序排列,则对于任意的1≤i,j≤n,有λi+j-1(A+B)≤λi(A)+λj(B).等号成立当且仅当存在一个n维的非零向量, 使得其为这个不等式中的三个特征值中每一个的特征向量.

设矩阵M的第i行行和为Si(M).对于一个实对称矩阵的行和与其特征值的关系, Ellingham和Zha给出了如下结论.

引理2.2([9]) 设M为n阶的实对称矩阵,并令μ为M的特征值且其对应的特征向量x非负,则有

进一步,若x为正向量,则当且仅当M的所有行和都相等时,其中的任意一个等号均成立.

3 定理1.2的证明

引理3.1 对于任意的图G∈G(n,m),n>1,以及α∈[0,1],有

α2·2m△+2(1-α)2m.

因而

(3.1)

于是

注意到

则有

证毕.

引理3.2设G1和G2是两个拥有相同顶点集V的n阶图,令G'=(V,E(G1)E(G2)),则有

证明令G''=(V,E(G1)∪E(G2)).由引理2.1可得

ρα(G1)≤ρα(G'')≤ρα(G2)+ρα(G').

根据(3.1)可以得到

证毕.

引理3.3设G为G(n,m)中的一个图,那么对于α∈[0,1),有

证毕.

结合引理3.1和引理3.3, 我们可以得到本文的主要结论定理1.2.

致谢本论文得到数字福建气象大数据研究所和福建省数据科学与统计重点实验室的资助,在此表示感谢!

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