固定阶次H∞控制器在天线伺服系统的应用

黄观钦，闻 成，卢洁莹，苏为洲

(华南理工大学 自动化科学与工程学院，广东 广州 510640)

0 引言

H∞控制器自上世纪80年代提出起便受到了广泛的关注，由于其高自由度的设计和优异的理论性能，大量深入研究涌现。根据文献[1-3]，H∞控制器阶次跟权重函数和控制对象阶次有关，在实际应用中，权重函数和控制对象阶次一般较高，会导致计算得到的H∞控制器阶次过高，而高阶控制器由于其计算量大、数值误差大等缺陷，很难应用于实际系统。因此，直接设计低阶的固定阶次H∞控制器更具有实际应用的价值。

对于固定阶次H∞控制器的设计，目前研究主要有2种技术路线：一是直接设计低阶H∞控制器；二是先设计全阶控制器再降阶。文献[4-8]使用实有界引理和变量消除引理把次优H∞控制器的求解转化为对线性矩阵不等式(LMI)[9]的求解。文献[10]采用广义KYP引理求解次优H∞控制器，同时保证闭环系统渐进稳定。文献[11]利用实有界引理和变量约束把问题转化为LMI。这3种方案为了将优化问题转化为凸问题，需要额外满足其他LMI或等式约束，均存在保守性。文献[12]采用了第2条技术路线，采用GKYP引理进行控制器降阶，使低阶控制器和高阶控制器在特定频段的开环频率特性尽量接近，从而获得近似性能，但是无法保证闭环稳定性。文献[13]给出了一个基于互质因式分解的保H∞性能控制器降阶的充分条件，把固定阶次H∞控制器设计问题转化为了频率加权的模型降阶问题。受LMI设计方法和文献[13]的启发，本文提出了一种基于互质因式分解和KYP引理的固定阶次H∞控制器设计方法，最终以LMI形式得到问题的解。

本文算法将在一个机载小口径天线上进行验证。由于小口径天线具有较好的刚性，目前国内主要采用经典的PID控制器。然而机载小口径天线由于重量的限制，其柔性较为明显，陀螺环对象特性存在明显谐振。此时使用PID控制方案，由于PID控制器的局限性，会导致在谐振频点附近存在陡峭的稳定裕度衰减，进而使得PID控制器的性能大为受限，而H∞控制器针对存在谐振的对象，性能表现优异。同时，为减小高阶次带来的负面影响，机载小口径天线适合采用本文固定阶次H∞控制器算法设计的低阶H∞控制器。

1 问题描述

本文使用以下标记符号：S表示一簇稳定的、正则的、实有理的函数集；I表示适当维度的单位矩阵；在不引起歧义前提下，使用G表示传递函数矩阵G(s)；G*表示传递函数矩阵G的共轭转置。一个下线性分式变换定义为：

Fl(M,X):=M11+M12X(I-M22X)-1M21，

(1)

(2)

考虑n阶线性时不变广义对象P，由如下状态空间方程描述：

(3)

式中，x(t)∈n为状态变量；w(t)∈mw和u(t)∈mu分别为外部输入和控制输入；y(t)∈py和z(t)∈pz分别为测量输出和被控输出；A，B1，B2，C1，C2，D11，D12，D21，D22为维数相容的实常数矩阵，并且假设P是可镇定的和可检测的。对于P的传递函数模型，简化表示如下：

P=P11P12P21P22=A1B1B2C1D11D12C2D21D22。

(4)

考虑闭环系统，其框图如图1所示。

图1 闭环系统框图Fig.1 Block diagram of closed-loop system

图中，K为mu×py控制器，则闭环系统传递函数为：Tzw=P11+P12K(I-P22K)-1P21=Fl(P,K)。

关注以下次优H∞控制问题：

注1这里之所以只讨论次优H∞控制器，而不考虑最优H∞控制器，是因为最优H∞控制器的阶次过高，而在工程应用中，往往要求控制器为较低阶次，这时采用最优控制器则不能满足阶次要求。此外，虽然最优H∞范数理论上给出了闭环性能所能到达的极限，但是实际应用中往往没有这个必要，甚至有时是不希望设计一个最优H∞控制器的。综上，获得范数意义上很接近最优的次优H∞控制器更有意义。

根据次优H∞控制的描述，本文研究的问题叙述如下：

下面引理给出了所有次优H∞控制器的参数化形式。

图2 次优控制器参数化示意Fig.2 Block diagram of suboptimal controller parameterization

(5)

式中，

N∞=N11N12N21N22=A^B^1B^2C^1D^11D^12C^2D^21D^22

(6)

N∞的阶次等于广义对象P的阶次；N11为mu×py传递函数矩阵；N12，N21，N22分别为维数相容的传递函数矩阵。

实际应用中，P包含了权重函数和控制对象，阶次较高，因而需要固定阶次次优H∞控制器阶次小于广义对象P的阶次，固定阶次控制器的求解才有实际意义。又N∞与P的阶次相等，则固定阶次控制器的阶次应小于N∞的阶次。由式(5)可知，K的阶次与Q的取值有关，为得到一个低阶的固定阶次次优H∞控制器，直观的思路就是恰当地设计Q，使得K为一个低阶的控制器。那么，固定阶次次优H∞控制器问题可等价描述如下：

虽然上述描述给出了可通过寻找Q求解固定阶次次优H∞控制器的思路，但是直接寻找这样的Q是很困难的。下面将给出一个利用式(5)参数化方法推导而来的保H∞性能控制器降阶的充分条件，利用此充分条件进一步可基于LMI得到固定阶次次优H∞控制器的解。通过此方法可直接得到固定阶次次优H∞控制器的分子和分母，这是一种间接求Q的方法。简洁起见，接下来的描述以固定阶次H∞控制器代替固定阶次次优H∞控制器。

2 主要结果

由于后续结果是基于互质因式分解框架的，下面给出次优H∞控制器互质因式分解形式参数化的相关结果。

K=(Φ11Q+Φ12)(Φ21Q+Φ22)-1，

(7)

式中，(Φ11Q+Φ12)(Φ21Q+Φ22)-1为K在S上的右互质分解。令Q=0得到的Ksub=Φ12Φ22-1则为所谓中心控制器。式(5)、式(7)所示控制器参数化方法被称为Youla参数化[14]。

证明有

(8)

Fl(N∞,Q)=N11+N12Q(I-N22Q)-1N21=

(Φ11Q+Φ12)(Φ21Q+Φ22)-1，

(9)

证毕。

利用以上结果，下面给出基于互质因式分解的保H∞性能控制器降阶的充分条件。

(12)

引理3在已知次优H∞控制器参数化结果的前提下，把H∞控制问题转化为频率加权控制器降阶问题。然而，引理3没有给出求取[UV]T的具体方法。下面将利用以上结果进一步推导固定阶次H∞控制器的求解方法。

引理4[16](KYP引理)给定Acl∈k×k，Bcl∈k×l，Π=ΠT∈(k+l)×(k+l)，若对所有ω∈，有det(jωI-Acl)≠0，那么以下陈述等价：

∀ω∈∪{∞}，

(13)

② 存在一矩阵P=PT∈k×k，使得:

(14)

引理4可以把引理3转化为LMI形式，从而把固定阶次H∞控制问题转化为LMI优化问题。下面给出具体推导。

(15)

代入状态空间数据可得：

(16)

对比引理4有:

(17)

注3当Gcl的状态空间数据Acl，Bcl，Ccl，Dcl中包含设计向量时，式(17)为一个BMI[17]。BMI往往是非凸的，难以求解。下面将通过变换，把问题转化为LMI。

引理5[18](舒尔补引理)对于矩阵Θ=ΘT，Ψ=ΨT<0以及Ξ，以下2个陈述等价：

①Θ-ΞΨ-1ΞT<0，

(18)

(19)

式(17)可化简为:

(20)

应用引理5，则式(17)等价于下式：

(21)

式(21)即为熟知的实有界定理的LMI表示形式。若令Acl，Bcl为常数矩阵，Ccl()，Dcl()为的仿射，则式(21)为一个LMI。

Gd(s,)

(22)

取Gd(s,)的实现为{Ad,Bd,Cd(),Dd()}，其中,Ad，Bd为常数矩阵，Cd()，Dd()为的仿射，使得

(23)

至此，固定阶次H∞控制问题转化为了LMI形式的优化问题。

注4当Gd(s,)阶次较高且具有较大的零极点或增益时，若不注意实现的形式，比如取为能控标准型，其实现的Ad和Cd()会含有很大的数值。由于Gd(s,)的实现{Ad,Bd,Cd(),Dd()}会直接用于算法的数值运算，若含有过大的数值，会导致计算机无法表示和求解。因此，Gd(s,)的实现需要取为恰当的形式，使得{Ad,Bd,Cd(),Dd()}中的系数大小分布均匀，避免出现过大的数值，从而提高运算的数值稳定性。

注5由于定理1可整定固定阶次控制器的分子和分母，其结果可用于各种形式的H∞控制器求解，例如：① 固定结构控制器，如PID控制器、超前滞后控制器和固定阶次控制器；② 闭环回路整形，如使用混合灵敏度整形；③ 可通过迭代减小γ，以逼近在给定阶次水平下的最优H∞控制器。

下面把本文的固定阶次H∞控制器算法步骤总结如下：

② 根据式(10)和式(11)，计算Φ和Φ-1；

③ 根据给定阶次r以及控制器结构，设计U，V的共同常系数分母Den(s)，以及分子NumU(s,)和DenV(s,)；

3 天线伺服系统固定阶次H∞控制器设计

研究对象为0.8 m机载小口径天线的方位轴陀螺环伺服系统，对象为单输入单输出模型，如下：

该天线方位轴陀螺环对象伯德图如图3所示，可见10.7 Hz处存在一个幅值接近15 dB的谐振峰，说明对象存在很大的柔性，这为控制器设计带来很大难度，使用传统的PID控制方案难以达到满意效果，将使用固定阶次H∞控制器对谐振峰进行整形。本文考虑到天线方位轴陀螺环对阶跃的跟踪问题，故采用图4所示的控制结构。

(a) 控制对象模型幅值响应

(b) 控制对象模型相位响应图3 小口径天线方位轴陀螺环对象伯德图Fig.3 Bode diagram of the azimuth axis gyro of small antenna

图4 陀螺环控制框图Fig.4 Block diagram of the gyro loop control

在图4中，r-e跟踪误差通道传递函数表示如下：

(24)

由于还要考虑闭环系统的稳定性，需关注系统的r-y跟踪通道传递函数，表示为:

(25)

为获得较好的跟踪性能，考虑使用加权函数WS对跟踪误差通道S进行整形，以使S的低频增益尽量小。同时，为保证系统的鲁棒稳定性，需要跟踪通道T的高频增益较小，考虑使用加权函数WT对T进行整形。同时，考虑系统跟踪性能和鲁棒稳定性的设计示意框图如图5所示。

图5 H∞控制器设计示意框图Fig.5 Block diagram of H∞ controller design

图5中，w为外部输入，u为控制输入，z=[z1z2]T为被控输出，z1为WS加权跟踪误差通道输出，z2为WT加权跟踪通道输出，y为测量输出。

于是得到广义对象P和闭环传递函数Tzw分别为:

(26)

(27)

由于需要同时保证较好的跟踪性能和闭环稳定性，本文设计WS为低通环节以获得较好的跟踪性能，设计WT为高通环节以获得较好的闭环鲁棒稳定性。具体权重函数如下：

结合上面对对象特性的分析，为处理对象的谐振并保留PID控制器的优势，希望得到一个PI控制器串联陷波器的控制器形式，故选择给定阶次为3，接着应用上一节的算法便可计算固定阶次H∞控制器。

需要说明，在算法第③步确定常系数多项式分母Den(s)时，由于本次实验需要设计阶次为3的控制器，结合天线陀螺环对象特性，只需在对象带宽内取3个合理极点即可，本实验取Den(s)=(s+10)(s+50)(s+100)。应用算法第④步时，考虑到运算的数值大小限制和精度，Gd(s,)的实现取为适当形式，从而使得矩阵{Ad,Bd,Cd(),Dd()}的系数数值尽量小，有利于后面的算法数值计算。

经计算，得到三阶固定阶次H∞控制器如下：

该三阶控制器可看作由一个二阶陷波器和一个PI控制器组成。

为了对比，给出一个性能较好的PI控制器如下：

(28)

表1 不同控制器的和ε对比Tab.2 ε comparison of the controllers

(a) 不同控制器幅值响应

(b) 不同控制器相位响应图6 不同控制器伯德图Fig.6 Bode diagram of the controllers

(a) 不同控制器开环幅值响应

(b) 不同控制器开环相位响应图7 不同控制器开环伯德图Fig.7 Open-loop bode diagram of the controllers

表2 不同控制器开环性能指标对比Tab.2 Open-loop performance comparison of the controllers

图8 不同控制器仿真阶跃响应图Fig.8 Simulated step responses of the controllers

图9 不同控制器实测阶跃响应Fig.9 Tested step responses of the controllers

4 结束语

本文探索和验证了基于LMI和互质因式分解的固定阶次H∞控制器设计方法。利用KYP引理，把基于互质因式分解的保H∞性能控制器降阶问题转化为给定阶次约束下的H∞控制器设计问题，最终把问题转化对LMI的求解。在天线伺服系统上的仿真和测试结果表明，本文得到的固定阶次H∞控制器性能优于传统方法的H∞控制器和常用PI控制器，所描述算法实用有效。针对单输入单输出系统进行固定阶次H∞控制器设计，下一步将把算法扩展至多输入多输出系统。